Загрузил Татьяна Толмачёва

перестановки

Реклама
Элементы
комбинаторики
Термин «комбинаторика» происходит от
латинского слова «combina», что в переводе на
русский означает – «соединять».
Комбинаторика раздел математики, изучающий
вопросы о том, сколько различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям, можно
составить из заданных объектов.
Комбинаторика занимается различного рода
соединениями, которые можно образовать из
элементов некоторого конечного множества.
Комбинаторика - важный раздел
математики, необходимый представителям
самых разных специальностей.
С комбинаторными задачами встречаются
физики,
химики,
биологи,
лингвисты,
криптографы и др.
Комбинаторные методы лежат в основе
решения многих задач теории вероятностей и
ее приложений.
Комбинаторные соединения — это
различные комбинации из каких-либо
элементов.
Факториал числа — это произведение всех
натуральных чисел до этого числа включительно.
Обозначается с восклицательным знаком (!) после
числа.
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n
Пример:
3!=1*2*3=6
5!=1*2*3*4*5=120
0! =1
1!=1
Значения факториалов от 0 до 10.
0! = 1
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320
9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880
10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800
Типы соединений:
Перестановки
Размещения
Сочетания
Схемы выбора элементов:
Без повторений
С повторениям
Задача
Сколькими способами могут три человека встать в
очередь к театральной кассе?
Решение:
Существует 3 места, которые должны занять 3 человека.
На первое место может стать любой из 3 человек, т.е. способов
занять первое место – 3.
После того, как один человек стал на первое место, осталось 2
места и 2 человека, которые могут быть на них размещены, т.е.
способов занять второе место – 2. Аналогично для третьего
места – 1 человек – 1 способ.
Получаем
произведение
3*2*1.
Такое
произведение
обозначается как 3! (читается три факториал) и называется
перестановкой P3.
ПЕРЕСТАНОВКИ
без повторений —
комбинаторные соединения,
которые могут отличаться друг
от друга лишь порядком
входящих в них элементов
Пример: Даны элементы 1,2,3
Все перестановки:
(1,2,3) (2,1,3) (3,1,2)
(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)
Количество перестановок без
повторений определяют по
формуле: Pn=n!,
где n – количество элементов
Пример: Даны элементы 1,2,3
n=3
Р3=3!=1*2*3=6
с повторениями — комбинаторные
соединения, которые могут отличаться
друг от друга лишь порядком входящих
в них элементов, при чем среди
образующих элементов имеются
одинаковые
Пример: Даны элементы 5,3,3
Все перестановки:
(5,3,3) (3,5,3) (3,3,5)
Количество перестановок с
повторениями определяют по
n!
формуле: Pn,m1,m2 …=
,
m1 ! m 2 !...
где n – общее количество элементов
mi – количество элементов каждого вида
Пример: Даны элементы 5,3,3
n=3 , m1=1, m2=2 ,Р3,1,2= 3! =6/2=3
1!2!
Задача 1. Сколько четырёхзначных чисел можно
записать с помощью цифр 1,2,3,4, если каждая
цифра входит в число только один раз?
Решение:
n=4, перестановки без повторений
Pn = 4! = 1*2*3*4 = 24
Задача 2. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день
в течение 5 дней она даёт сыну по одному фрукту.
Сколькими способами это может быть сделано?
Всего фруктов 5: n=5, перестановки с повторением
Яблок – 2: m1=2
Груш – 3: m2=3
Решение: Pn = 5!/(2!*3!) = (1*2*3*4*5)/(1*2*1*2*3) =
=20/2=10
Задание для самостоятельного решения
с использованием формул перестановок
(с повторением и без повторения)
смотрим в прилагаемом pdf-файле.
При выполнении задания учитывается:
- аккуратность выполнения
- своевременность выполнения
- правильность выполнения
Скачать