Решение комбинаторных задач

Решение комбинаторных задач
Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с
использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике,
кибернетике.
Элементы теории вероятностей, в частности элементы комбинаторики, на современном этапе являются
составной частью всего курса математики, начиная с начальной школы. Поэтому знание этого раздела
математики необходимо студентам – будущим учителям. От увлеченности учителя элементами комбинаторики,
от умения решать комбинаторные задачи зависит заинтересованность учеников этим материалом.
В практической деятельности человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать
число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов
осуществления некоторого действия. Приходится выбирать из некоторого конечного множества совокупности
объектов его подмножества, обладающие тем или иным свойством, подсчитывать, сколько различных
комбинаций можно составить из конечного числа элементов, принадлежащих данной совокупности, располагать
эти элементы в определенном порядке.
С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: прорабу при
распределении между рабочими различных видов работ, диспетчеру при составлении графика движения. Завуч
школы, составляя расписание учебных занятий, использует разные комбинации, шахматист из различных
комбинаций выбирает наилучшую и т.д.
В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях. Задачи такого типа называются комбинаторными, а
область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
Появление компьютеров резко увеличило возможности комбинаторики и расширило сферу ее применения.
Комбинаторные методы применяются в физике, химии, биологии, экономике, лингвистике и многих других
науках.
Мы рассмотрим некоторые комбинаторные задачи и способы их решения.
Решение большинства комбинаторных задач основано на двух основных законах комбинаторики, которые
называют правилом суммы и правилом произведения.
^ Правило суммы.
Знакомство с правилом суммы начнем с примера.
Пример 1. На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать тот или иной фрукт?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать шестью способами, а грушу – тремя. Так как
в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша», то, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо
сложить количество выборов этих фруктов, т.е. 6 + 3 = 9. Значит, девятью способами можно выбрать один из
фруктов.
Говорят, что в данном случае задача решена по правилу суммы.
^ Правило суммы. Если элемент а можно выбрать т способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор
элемента а отличается от любого выбора элемента b, то выбор «а или b» можно осуществить
способами.
Правило суммы и его следствие применяются для решения комбинаторных задач. Часто приходится разбивать
все множество перечисляемых комбинаций на попарно не пересекающиеся группы комбинаций, подсчитывать
число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.
Пример 2. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, а 15 – английский. Каким может быть число студентов,
знающих оба языка; знающих хотя бы один язык?
Решение. В задаче рассматривается множество А – всех студентов и его подмножества: В – студентов, знающих
немецкий язык, и С – студентов, знающих английский язык. Известно, что п(А) = 50, п(В) = 20, п(С) = 15.
Возможные отношения между множествами А, В и С можно изобразить при помощи кругов Эйлера (рис. 1).
^ Рис. 1
Вопрос о числе студентов, знающих оба языка, сводится к определению числа элементов в пересечении
множеств В и С, а вопрос о числе студентов, знающих хотя бы один язык, – к определению числа элементов в
объединении множеств В и С. Если х – число студентов, знающих оба языка, то, используя рис. 1, заключаем, что
Если у – число студентов, знающих хотя бы один язык,
то
Таким образом, правило суммы позволяет найти число элементов в объединении конечных множеств.
^ Правило произведения.
Задачи комбинаторики, как было сказано, решаются и по другому правилу, правилу произведения.
Это правило подсчета элементов декартова произведения конечных множеств.
Рассмотрим пример.
Пример 3. Из Сургута до Тюмени можно добраться поездом, теплоходом, самолетом, автобусом;
из Тюмени до Екатеринбурга – самолетом, поездом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить
путешествие по маршруту Сургут – Тюмень – Екатеринбург?
Решение. Очевидно, число разных путей из Сургута до Екатеринбурга равно
так как, выбрав один
из четырех возможных способов путешествия от Сургута до Тюмени, имеем три возможных способа путешествия
от Сургута до Екатеринбурга (рис. 2).
Рис. 2.
При решении задачи 3
мы воспользовались
правилом
комбинаторики, которое
называется правилом произведения.
^ Правило произведения. Если элемент а можно выбрать т способами, элемент b можно выбрать п способами,
то пару (а, b) можно выбрать т  п способами.
Иначе говоря, если некоторое действие (например, выбор пути от Сургута до Тюмени) можно осуществить т
различными способами, после чего другое действие (выбор пути от Тюмени до Екатеринбурга) можно
осуществить п способами, то два действия вместе (выбор пути от Сургута до Тюмени, выбор пути
от Тюмени до Екатеринбурга) можно осуществить
способами.
Пример 4. На тарелке лежат 6 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из
яблока и груши?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать шестью способами, а грушу – тремя. Так как
в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, груша), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать
6  3 способами.
Пример 5. Сколько номеров, состоящих из двух букв, за которыми идут пять цифр, можно составить, использовав
32 буквы и 10 цифр?
Решение. Обозначим множество из 32 букв через А, а множество из 10 цифр – через В. Каждый номер
требуемого вида является кортежем из декартова произведения
n(A) = 10, то имеем:
Так как n(A) = 32,
Пример 6. В столовой предлагают два различных первых блюда а1 и а2, три различных вторых блюда b1, b2, b3 и
два вида десерта с1 и с2. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая?
Решение. Пусть А – множество первых блюд, В – множество вторых блюд, а С – множество третьих блюд. По
условию известно, что
Схему решения представим в виде рисунка 3.
Рис. 3
Согласно правилу произведения, число обедов можно
составить следующим образом: (а1, b1, с1),
(а1, b2, с1) и т.д. Очевидно, число таких кортежей будет
равно произведению выборов блюд: