Комбинаторика

АДМИНИСТРАЦИЯ АНГАРСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
МОУ «Ангарский лицей №2»
ПРОГРАММА
интегрированного спецкурса
«Комбинаторика»
(рассчитан на 26часов, для учащихся 10 класса информационно-технологического
профиля.)
Авторы:
Гоголева В.М. –учитель математики,
высшая квалификационная категория
Блескина Н. А. – учитель информатики,
высшая квалификационная категория
2007 г.
2
Пояснительная записка
Актуальность программы
В настоящее время нет необходимости в обосновании того, что комбинаторные задачи имеют огромное практическое применение
при решении прикладных задач. Комбинаторные методы используются для решения проблем теории информации, задач линейного
программирования, для решения транспортных задач и много другого. Рассмотрение с учащимися комбинаторных задач и методов их
решения способствует значительному повышению их математической и алгоритмической культуры. Комбинаторные задачи представляют
богатый материал для изучения основных конструкций, методов и приемов программирования, позволяют показать не только красоту
математики, но и возможности новых компьютерных технологий при решении практических математических задач. Задачи дискретной
математики, к которым относятся многие задачи практического программирования и большинство олимпиадных задач по информатике,
часто сводятся к перебору различных комбинаторных конфигураций объектов и выбору среди них наилучшего, с точки зрения условия той
или иной задачи. Поэтому знание алгоритмов генерации наиболее распространенных комбинаторных конфигураций является необходимым
условием успешного решения задач в целом. Опыт проведения занятий показал, как велика роль комбинаторных задач как средства
развития мышления учащихся, формирования приемов умственной деятельности, кроме этого поддерживается на достаточно высоком
уровне познавательный интерес учащихся и к математике, и к информатике, идет укрепление межпредметных связей.
Новизна программы
Данный спецкурс реализует взаимосвязь между предметами математики и информатики.
Основная идея, положенная в основу программы, является проведение интегрированных занятий.
Концептуальными положениями программы развития лицея №2 являются предпрофильнное и профильное обучение, развитие
ключевых компетентностей (толерантности, веры в себя, ответственности, коммуникативности). Все эти идеи находят отражение в
разработанной программе.
В школьном курсе математика и информатика рассматриваются как две отдельные дисциплины, и наверно было бы очень
эффективно показать учащимся непрерывную связь этих двух дисциплин.
Уже на первых практических занятиях учащиеся сталкиваются с первыми трудностями: приходится производить математические
вычисления с очень большими величинами, некоторые задачи возможно решить только путем перебора огромного количества вариантов.
Существует большой класс комбинаторных задач, решение которых стало возможно лишь с появлением электронных вычислительных
3
машин. В связи с этим все более целесообразным становится использование языков программирования для решения комбинаторных задач,
при этом роль решения задач "на бумаге" также не стоит умалять.
Курс практических занятий может быть построен следующим образом. При разборе задач определяются способы решений:
1.
Решение комбинаторных задач без использования вычислительной техники. Во время таких занятий происходит знакомство с
основными методами расчетов, алгоритмами нахождения комбинаторных чисел. Здесь учащиеся получают представление об
использовании практических приложений науки в разных областях знаний, получают опыт самостоятельных расчетов.
2.
Программирование действий с основными комбинаторными конфигурациями. При изучении данного раздела происходит
закрепление полученных знаний и методов работы, путем реализации их на языке программирования.
При подобном распределении практических занятий происходит постепенное и наиболее качественное усвоение учащимися
фундаментальных понятий комбинаторики. Возможность перейти от долгого ручного счета к автоматизированным действиям на
компьютере позволяет более полно и быстро разобрать большее количество примеров. Раздел программирования закрепляет полученные
учащимися знания.
Цель программы:
Углубление знаний учащихся по математике и информатике, развитие творческого мышления.
Задачи:
1. Рассмотреть основной понятийный аппарат вычислительной комбинаторики.
2. Дать понятие комбинаторной задачи и научить решать вычислительные комбинаторные задачи.
Методологические основы программы
Традиционных, адаптированных и авторских программ .
Данная программа разработана в соответствии с требованиями к образовательному стандарту. В основу программы легли отдельные
темы курсов математики и информатики, но сама программа основана на интеграции этих предметов, структурировании имеющегося
учебного материала, адаптированного применительно к лицею, а также к дальнейшему продолжению обучения в профильных группах лицея
и в ВУЗах естественнонаучного цикла. Выбранные темы являются основополагающими при решении информационных задач и наиболее
часто встечаюшиеся в практической деятельности.
4
Программу спецкурса следует рассматривать как расширение вариативной части учебного плана лицея.
В научно-методической литературе поддерживается идея проведения интегрированных уроков, но на наш взгляд было бы
эффективней проводить именно спецкурс, так как в этом случае будут проведены не отдельные уроки, а комплекс занятий, что благоприятно
скажется на всей системе обучения.
Программа рассчитана на 24 часа. Занятия проводятся по 2 часа в неделю. На занятиях применяются коллективные, групповые и
индивидуальные формы работы.
Конкретные требования к уровню знаний, умений и навыков по каждому разделу программы приведены в таблице “Содержание
курса “.
Прогнозируемые результаты
Полученные знания, умения и навыки при изучении данного курса позволяют повысить мотивацию учащихся, применяются при
написании исследовательских работ, а лучшие работы выдвигаются на различные лицейские, городские и областные научно-практические
конференции.
Критерии отслеживания результатов:
 промежуточные зачетные проекты;
 участие в городских и областных конкурсах и олимпиадах.
Краткая структура спецкурса
№
ТЕМА
Кол-во
час.
1
Исторический обзор
2
Основные понятия комбинаторики. Термины и символы. Развитие комбинаторики.
Магические квадраты. Понятие вероятности и зарождения науки о закономерностях
случайных явлений. Исторические задачи.
2
Элементы теории множеств
4
Познакомить с понятиями конечного множества, выборки с повторениями и без
повторений, упорядоченной и неупорядоченной. Научить определять характер выборки.
Определить понятия пересечения, объединения, дополнения множеств.
2
Введение в комбинаторику
18
Понятие комбинаторной задачи. Правило умножения. Дерево вариантов. Пространство
ТЕМА УРОКА
5
перебора и как избежать перебора. Перестановки, размещения, сочетания. Сокращение
перебора. Отсечение лишних вариантов. Разбор задачи о расстановке ферзей.
Использование симметрии. Группирование элементов. Факториалы. Использование
рекурсии для записи алгоритма. Решение задач при помощи перебора с возвратом.
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.
Всего
26
Описание разделов программы учебно-тематического плана
№ Наименование
занят
темы
ия
1
1
2,3
2
Исторический
обзор
Содержание
учебного
материала
Форма
занятия
3
4
Исторический путь
лекция
развития
комбинаторики,
методы
исследования.
Элементы теории Понятие множества,
леционномножеств
выборка с
практическая
повторениями и без
повторений. Понятия
пересечения,
объединения,
дополнения
множеств.
Средст
ва
обучен
ия
5
Должны знать
Должны уметь
6
7
презент Историю появления
ация
раздела математики –
комбинаторика.
ЭВМ и
ТPascal
Понятие множества и
подмножества.
Операции над
множествами.
Применять процедуры и
функции, предназначенные
для работы с множествами.
6
6
Процедуры и
функции для работы с
множествами.
Понятие
леционнокомбинаторной
практическая
задачи. Правило
умножения. Дерево
вариантов.
ЭВМ и
ТPascal
Определять
комбинаторные
задачи.
Находить способы решения
задая.
Алгоритмы
сокращения
переборов.
Решать задачи с помощью
переборов.
Сокращать
перебор или вообще его
избегать.
4
Понятие
комбинаторной
задачи. Правило
умножения.
Дерево
вариантов.
5
Пространство
перебора и как
избежать
перебора.
Разбор переборных
задач.
леционнопрактическая
ЭВМ и
ТPascal
Перестановки,
размещения,
сочетания.
Размещения,
разбиения числа на
слагаемые,
скобочные
последовательности.
леционнопрактическая
ЭВМ и
ТPascal
Применять формулы
перестановки, размещения
и сочетанмя.
7
7,8
Сокращение
перебора.
Отсечение
лишних
вариантов.
Принципы подхода леционнопри
сокращении практическая
перебора Задача о
расстановке n ферзей.
ЭВМ и
ТPascal
Алгоритмя
сокращения
перебораи отсечения
лишних вариантов.
Сокращать перебор.
Отсекать лишние варианты.
9
Использование
симметрии.
Прием использования леционносимметрии. Задача о практическая
шашках и о ферзях.
ЭВМ и
ТPascal
Алгоритмы
использования
симметрии.
Сокращать перебор с за
счет симметрии.
10
Группирование
элементов.
Задача о расстановке
знаков и задача о
минимальном пути.
ЭВМ и
ТPascal
Алгоритмы
группировки
элементов.
Применять
алгоритмы
группировки элементов при
решении задач.
леционнопрактическая
8
11
Факториалы.
Использование
рекурсии для
записи
алгоритма.
12
13
Общая схема
алгоритма с
возвратом. Задача о
раскраске карты,
укладка рюкзака.
леционнопрактическая
ЭВМ и
ТPascal
Рекурсивный метод
решения задач.
Улучшать
алгоритм
помощью рекурсии.
с
Решение
задач Алгоритмы перебора
при
помощи с возвратом.
перебора
с
возвратом.
леционнопрактическая
ЭВМ и
ТPascal
Понятие метода
«перебор с
возвратом»
Применять
алгоритмы
перебора с возвратом.
Треугольник
Паскаля. Бином
Ньютона.
леционнопрактическая
ЭВМ и
ТPascal
9
Средства обучения
1. Компьютерные классы, оснащенные вычислительной техникой IBM РС АТ.
2. В состав программных средств должны входить:
 операционная система WINDOWS-9Х;
 среда программирования Turbo Pascal;
3. Раздаточный материал для работы учащихся по всем разделам программы.
10
ЛИТЕРАТУРА
ЛИТЕРАТУРА, НЕОБХОДИМАЯ УЧИТЕЛЮ
1. Петухин В.А. Решение комбинаторных задач. Методические указания. Иркутск, 1999.
2. Карпова, И.В. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики / И.В. Карпова // Методические
указания по математике для учащихся, студентов, учителей. – Хабаровск: ХКЦТ, 2004г., 80с.
3. Андреева Е.В. Комбинаторные задачи. Информатика №2/2005
4. Карпова И.В. Комбинаторика МИФ – 2- 2003 -№3
ЛИТЕРАТУРА, ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ ПРОГРАММЫ
5. Петухин В.А. Решение комбинаторных задач. Методические укахания. Иркутск, 1999.
6. Карпова, И.В. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики / И.В. Карпова // Методические
указания по математике для учащихся, студентов, учителей. – Хабаровск: ХКЦТ, 2004г., 80с.
ЛИТЕРАТУРА, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ УЧАЩИМИСЯ
7. Петухин В.А. Решение комбинаторных задач. Методические укахания. Иркутск, 1999.
8. Карпова, И.В. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики / И.В. Карпова // Методические
указания по математике для учащихся, студентов, учителей. – Хабаровск: ХКЦТ, 2004г., 80с.
ПЕРЕЧЕНЬ ДИДАКТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ, РАЗРАБОТАННЫХ УЧИТЕЛЯМИ
Литература:
1. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей.–М.: Просвещение, 1976.
2. Виленкин Н.Я. и др. «Алгебра и математический анализ» для 11 кл.–М.: Просвещение, 1993.
3. Гельфанд С.И. и др. Задачи по элементарной математике. Последовательности. Комбинаторика. Пределы. – М.: Наука, 1965.
4. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие / Под ред. В.В.Вавилова. – М.: Наука, 1987.
5. Задачи по элементарной математике / Под ред. В.Б. Лидский и др. 1973.
6. История математики в школе 9-10 классы: Пособие для учителей / Г.И.–М.: Просвещение, 1983.
7. Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей: Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов.–М.: Просвещение, 1983.
11
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.–М.: Просвещение,
2003.
9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией М.И. Сканави.– Москва: «Высшая школа»,1978.
10. Статья в газете-приложении к «Первому сентября» «Математика» А. Мордкович, П. Семёнов «События, вероятности, статистическая обработка данных».
№34, 35, 41, 43, 44, 48/2002г., 11, 17/2003г.
11. Ткачёв М.В., Федоров Н Е. Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной школы // Математика в школе.– 2003.–№3.
12. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей // Математика в
школе.– 2003.–№5.
13. Математика: Учебник / Под ред. Г.В. Дорофеева.–М.: Просвещение, 1983.
1. Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика. 5 -9 кл.: Пособие для общеобразоват.учеб.заведений / Е.А.
Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002. – 160с.
2. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 207с.
3. Ежов, И.И. Элементы комбинаторики / И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. – М.: Наука, 1977. - 80с.
3. Карпова, И.В. Комбинаторика / И.В. Карпова // МИФ – 2. – 2003. - №3, с. 46-53.
4. Карпова, И.В. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики / И.В. Карпова // Методические
указания по математике для учащихся, студентов, учителей. – Хабаровск: ХКЦТ, 2004г., 80с.
5. Карпова, И.В. Элементы теории вероятностей / И.В. Карпова // МИФ – 2. – 2003. - №4, с. 7-18.
6. Тарасов, Л.В. Мир, построенный на вероятности / Л.В. Тарасов. – М.: Просвещение, 1984. – 191с.