ограниченная

Числовая
последовательность
и её предел
Сходимость
последовательности
Определение.
an  
Ограниченная последовательность
числовая последовательность
ограниченная сверху
  M  R : an  M n
ограниченная снизу
  m  R : an  m n
ограниченная
  m, M  R :
m  a n  M n
a n  m, M 
Примеры.
.....  n,....,3,2,1
ограниченная сверху
1,2,3,......, n,....
ограниченная снизу
n 1
an 
n
ограниченная
M 0
m 1
1  an  2
Определение.
an  ограниченная   K  R : n | an | K
an  неограниченная
  K  R n : | an | K
Пример.
2 
n
неограниченная
 K  R : n : | an | K
an  2
n
2 K
n
n  log 2 K
Определение.
Бесконечно большая и бесконечно малая
последовательности
an  
бесконечно
большая
 M  0  N : n  N | an | M
lim a n  
n 
an  
бесконечно
малая
 lim a n   0
n
Определение.
lim a n    M  0  N : n  N an  M
n 
lim a n    M  0  N : n  N an  M
n 
Утверждение.
Если
an   бесконечно малая и bn   ограниченная, то
an  bn   бесконечно малая
Пример.
n 2  cos n 3
lim
n 
n4 1
n2
 lim 4
 cos n 3  0
n  n  1
Утверждение.
an  бесконечно большая
 an   неограниченная
M  0  N : n  N | an | M 
 n  N  1  M  0 n : | an | M
Обратное неверно.
  
3


n
sin
n

sin
,
2
sin

,
3
sin
,
4
sin
2

,....

 
  0,2,0,4,0,6,....
2  2
2


Теорема 4 (об ограниченности сходящейся
последовательности)
 an   сходящаяся  ограниченная
lim a n  A   M  R : an  M n
n 
Доказательство:
A
a1
(
a N 1
  0 N : n  N
lim a n  A
n 
a N 2
A
an 
A   a N a3
)
A   , A   
a1 , a2 ,........a N   A   , A   
a  min a1 , a2 ,........a N 
a  max a1 , a2 ,........a N 
m  min a , A   
M  max a , A   
a1 , a2 ,........a N  m, M 
n  N 1
an 
 A   , A     m, M 
n a n  m, M 
Ограниченность последовательности является необходимым
условием сходимости, но не достаточным.
Пример.
an   1,0,1,0,1,0,...
an   ограниченная
lim a n  A
n 
1
1
  0  
N : n  N a n  A 
4
4
1
1
1 A 
0 A  A 
4
4
1 1 1
1  1  A  A  1  A  A   
4 4 2
Монотонные последовательности.
Число е.
Определение.
an  
последовательность
an 
невозрастающая
 an1  an
n
an 
неубывающая
 an1  an
n
 a n1  a n
n
 an1  an
n
a n  возрастающая
a n 
an  
убывающая
монотонная, если она
неубывающая или невозрастающая
Утверждение.
1.Неубывающая последовательность ограничена,
если она ограничена сверху.
2.Невозрастающая последовательность ограничена,
если она ограничена снизу.
Доказательство:
1) M  верхняя грань : an  M n
 an  a1 , M 
2) m  нижняя грань : a n  m n
 an  m, a1 
Теорема.
Всякая монотонная ограниченная
последовательность имеет предел.
an  
ограниченная
  M  тояная верхняя и
m  точная нижняя грани a n 
an   неубывающая
Докажем,что
lim a n  M
n 
M  точная верхняя грань
an 
  0  a N : M    a N  M
 n  N 0  M  an  M  a N
0  M  an  
 an  M   n  N
Для невозрастающей ограниенной
an  m
a n  lim
n 
Утверждение.
Монотонность не является необходимым условием сходимостиa n .
Пример.
  1n 1 


n


немонотонная, но
lim a n  0
n 
Следствие .
Принцип вложенных отрезков
Пусть задана последовательность отрезков
 n  an , bn  n  1,2,...  n1   n
d n  bn  an  длины отрезков
Тогда
! C   n  an , bn 
lim d n  0
n
Пример.
 n 
{x n }  
, n  N
 n  1
{ xn }
{ xn }
монотонно возрастает
n
n 1
n  N 

n 1 n  2
 n 2  2n  n 2  2n  1  0  1
ограниченная
n
 1 n
n 1
1 –точная верхняя грань
  0  n1 : 1   
  lim x n  1
n 
n1  1
1
n1
n
a1  2,
 1
a

1  
n
Число e.
 n
2
3
1
1
1
1 1




a 2  1    2  , a 3  1    2  
4
3 27
 2
 3
(1  x) n  1  nx
n
 1
1    1  n  1 / n  2
 n
a1  a2  a3
-неравенство Бернулли
ограничена снизу 2
n 1
 1   n 1
 1

bn  1    a n  1    
 n  n 
 n
n 1
n 1
bn
bn 1
 n  1


2 n 3
(n  1) 2 n  4  n
(n  1) 2 n  4  n

n  1
n






 n 1
n2
n2
n2
n2
(n  1)(( n  1)  1)  (n  1)  1
(n  1)n  n  2 
n  n  2
n 2


 n 1 
2n4
n
(n  1)


n  1 (n  1) 2  1 n 2


2
n  n  1 

 

n  1  n  12  1
n2
bn
n  1
n 
n2 


 1 
 n  1  1  n   1
2
bn 1 n  1  n  1  1



n 
1

 1 

n  1  n  12  1
bn  bn 1
n2
bn   монотонная и ограниченная снизу
  lim bn  B
n 
  lim a n  lim
n 
n 
bn
1
1
n
 lim bn
n
 1
e  lim 1  
n 
 n
e  2,7183....  иррациональное
ln x  log e x  натуральный логарифм числа x
Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия.
Определение.
Подпоследовательностью для {xn }
называется бесконечное подмножество { xnk }
элементов данной последовательности ( k  1,2.... n1  n2  n3 .....)
Пример
{xn }  n, n  N
{x n }  2k , k  N подпоследовательность четных чисел;
{x3k 1}  3k  1, k  N
k
подпоследовательность чисел, дающих в остатке 1 при делении на 3.
Определение 2
Число
называется частичным пределом данной последовательности

{xn} , если {x n } ее подпоследовательность ,сходящаяся к
lim xn k  
k
 , т.е.
n
Пример.
{xn }  {( 1n )}   1,1,1,1,1,1, , , , , ,
{x2k }  {( 1 )}  1,1,1,.....
2k
 lim x 2 k  1
{x2 k 1}  {( 12k 1 )}   1,1,1,......
k 
 lim x 2 k 1  1
k 
Теорема (Больцано-Вейерштрасса):
Любая ограниченная последовательность содержит
сходящуюся подпоследовательность
Или
Любая ограниченная последовательность имеет по меньшей
мере один конечный частичный предел.
A : xn  A, n  1,2.....
 {x nk } lim x nk  C  const
k 
Доказательство:
x n 
ограниченная
xn  A   A  xn  A
xn  I 0   A, A
I 1  I 0 / 2 -содержит бесконечное множество x n
b1  xn1  I 1
I 2  I1 / 2 -содержит бесконечное множество x n
b2  x n2  I 2 : n2  n1
bk  и I k 
I 0  I1  I 2  ...  I k  I k 1  ...
bk  I k bk  x nk , nk  nk 1 k
bk  подпоследовательность x n 
I k  последовательность вложенных отрезков, длины которых
стремятся к нулю.
 ! C   I k
k
lim bk  C
k 
Следствия:
Следствие 1. Любое бесконечное подмножество
ограниченной последовательности имеет частичный
предел.
Следствие 2. Если все частичные пределы
последовательности одинаковы и равны а, то она
сходится к a , т.е.
lim x
n
n
a
Следствие 3. Последовательность, для которых

хотя бы два различных частичных предела, расходящаяся.
Пример.
lim x
k 
2k
{ xn }
1 c
c1  c2 
 {( 1n )}, n  N
lim x
k 
 {( 1n )}
2 k 1
 1  c2
расходящаяся последовательность
Теорема 2
(критерий Коши)
an   a1 , a2, a3 ,....an ,......
A A  lim a n 
n 
  0  N : n, m  N
a n 
an  am  
- фундаментальная, если
удовлетворяет условию Коши