Задачи с параметром - МОУ Лицей №10 г. Перми

МАОУ «Лицей №10»
Учитель математики
Золотухина Л. В
Пермь,2012
Содержание
 Простейшие уравнения и неравенства с параметром
 Параметр как переменная
 Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного






уравнения
Теорема Виета для уравнения высших степеней
Графический способ
Метод областей
Домашнее задание
Литература
Параметр
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
ax  1
a
Решение:
Если a  0  0  x  1, решений нет;
1
Если a  0  a  x  1, решенияе x  .
a
0
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
ax  1
Решение:
Если a  0  0  x  1, решений нет;
1
если a  0  ax  1, x  ;
a
1
если a 0  ax  1, x  .
a
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
xa
0
x 1
Решение:
Если a  1  решений нет;
если a  1  x  a.
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
x a
2
a
Решение:
Если a  0  x 2  0, x  0;
если a  0  x 2  a, x   a ;
если a 0  действительных корней нет.
0
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример: Для каждого значения a решите относительно x:
x a
a
Решение:
Если a 0  x  0;
0
если a  0  x  a .
2
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
a
2 a
x
Решение:
Если a  0  x  R;
если a  0  x   log 2 a.
x
0
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Решение:
Для каждого значения a решите относительно x:
log a x 1
Если a  0;1  x  a;
если a 1  x  0; a .
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Решение:
Для каждого значения a решите относительно x:
sin x  a
Если a  - ;-1  x  R;
если a  - 1;1  x  arcsin a  2n;   arcsin a  2n , n  Z ;
если a1  действительных корней нет.
a
1
x
0
-1
Параметр как переменная
 В разных задачах параметр рассматривается как
фиксированное, но неизвестное число. Между тем
с формальной точки зрения параметр –
переменная. Например, f(x;a) – функция с двумя
переменными.
Параметр как переменная
Пример:
Найти все значения a , при которых уравнения
имеют общий действительный корень
x  x  4a  0 и a x  ax  4a  0.
2
2 2
Параметр как переменная
Пример:
Найти все значения a , при которых уравнения имеют
общий действительный корень
x 2  x  4a  0 и a 2 x 2  ax  4a  0.
Решение:

 x  x  4a  0,
 2 2

a x  ax  4a  0.
2

 x  x  a x  ax  0,
 2

 x  x  4 a  0.
a  1 x1  a   1x  0,
 2
 x  x  4 a  0.
2
2
2
a  1,
a) 2
 x  x  4 a  0.
 x  0,
б ) 2
 x  x  4 a  0.
 x  xa  1  0,
в ) 2
 x  x  4 a  0.
a ) решений нет;
б )0;0 ;
в ) x; a  :
 1;0,   2; 1 ,  2; 3 

2 
2
Задачи, сводящиеся к исследованию
квадратного уравнения
ax 2  bx  c  0, a  0,
ax 2  bx  c  0, ax  x1 x  x2 ,
D  b 2  4ac0, действительных корней нет.
D  b 2  4ac  0, x  
b
.
2a
D  b 2  4ac 0, два действительных корня
 b  b 2  4ac
x
.
2a
Теорема Виета
b
x 1  x2   ,
a
c
x1  x2  .
a
Задачи, сводящиеся к исследованию
квадратного уравнения
Пример:
Решение:
При каких значениях параметра a множество решений
неравенства
будет
2
 ax  1 0
интервал длины5? x
Пусть x1 и x 2  корни квадратного неравенства. По условию
x1  x2  5.
x1  x2 
x1  x2 2  x1  x2 2  4 x1 x2
По т Виета получаем :
x1  x2 
a 
a
a 2  4  5.
21.
21 или a  - 21.
Теорема Виета
для уравнений 3 степени
a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0  0, a3  0

a2
 x1  x2  x3   ,
a3


a1
x
x

x
x

x
x

,
 1 2 1 3 2 3
a3


a0
 x1 x2 x3   .
a3

Теорема Виета
для уравнений 3 степени
Пример:
Определить все значения a при каждом из которых
3 различных корня образуют геометрическую прогрессию.
Найти эти корни.
Решение:


x 3  a 2  9a x 2  8ax  64  0
Пусть q - знаменатель прогрессии,
x 2  qx1 , x3  q x1. По т Виета
2
x1 x2 x3  64, qx1   64, x2  4.
3
x1  q 1 x2  4q 1 , x2  4, x3  qx2  4q :

 


4 q 1  1  q   a 2  9a ,

1
16 q  1  q  8a,
 x  4.
 2

Ясно, что a  0. Из первого и второго
уравнения получаем 2  a  9  a  7.
Из второго уравнения находим
7
5
1
q  1  q -1   q 2 - q  1  0  q  2, q  .
2
2
2
Пусть q  2. Находим x1  2,x2  4, x3  8.
Пусть q 
1
. Находим x1  8,x2  4,x3  2.
2
Графический способ решения
y
y
   arctg
x1; y1 
b
a
x2 ; y2 
x
x
x  x1
y  y1

x2  x1
y 2  y1
y
ax  by  c  0
y  xa
a
x
Графический способ решения
y
y
y
x
x
ax  b
,
cx  d
графиком дробно - линейной
функции есть гипербола.
y
ax2  bx  c  0, a  0,
уравнение параболы.
x  x0 2   y  y0 2  R 2 ,
уравнение окружности
с центром в x0 ; y0 
и радиусом R.
x
Графический способ решения
Пример:
При каких значениях параметра а уравнение
x  2  a x 1 имеет единственное решение?
Найдите это решение.
Решение:
y
Заметим, что x  1 не будет решением исходного
уравнения. Пусть x  -;1  1;    .
x2
a
.
x-1
Рассмотрим графики функций
x2
x2
a
при x1 и a 
при x1.
x-1
1-x
Получаем, что исходное уравнение :
при a  -1 не имеет решений;
при -1 a  1 имеет единственное решение;
при a1 имеет два решения.
1
-1
1
x
Метод областей
При решении неравенства f(x,y)
методом областей нужно найти
все кривые, на которых f(x,y)  0.
Данные кривые разбивают плоскость
на множества, на которых знак
функции постоянный.
Выбираем подмножества,
на которых f(x,y)  0.
Метод областей
Пример:
Решение:
Найти площадь множества точек (х;у),
удовлетворяющих неравенствам:
 x  y  2 x  4 y  1,

3x  2 y  1  0.
2
x  12   y  2  4  0,

3x  2 y  1  0.
S 
R 2
2
S  2 .
y
2
.
2
0
1
x
Домашнее задание
При каких значениях параметра a уравнение
x
x
2
имеет единственное решение 4  5a  3 2  4a  3a  0 ?
2. При каких значениях выражения принимают
одинаковые значения a 1 lg 2a  3 и a 1 ?
3. При каких значениях b в области допустимых
значений функции содержится ровно 7
натуральных чисел f ( x)  x  b  log 2 12  x  ?
1.
Литература
ЗвавичЛ. И, Алгебра и начала анализа.
Разноуровневые контрольные работы для
подготовки к ЕГЭ. 11 класс/ Л. И. Звавич, Л. Я.
Шляпочник.- М.: Издательство «Экзамен», 2011. –
237 с.
2. Козко А. И., Панферов В. С, ЕГЭ 2011. Математика.
Задачи С5 с параметром/ Под ред. А. Л. Семенова
и И. В. Ященко. – М.: МЦМНО, 2011. – 144с.
1.
ПАРАМЕТР















ПАРАМЕТР (от греч. parametron - отмеривающий) в математике - величина, числовые значения которой позволяют выделить
определенный элемент (напр., кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Напр., в уравнении x2 + y2 = r2 величина r
является параметром окружности.
Большой Энциклопедический словарь. 2000.
ПАРАМЕТР
См. также в других словарях:
ПАРАМЕТР — (греч., от para возле, подле, и metron мера). В геометрии: принятая, постоянная величина, от которой зависит
построение и уравнение линии или поверхности. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910.
ПАРАМЕТР 1) … Словарь иностранных слов русского языка
ПАРАМЕТР — ПАРАМЕТР, параметра, муж. (от греч. parametreo меряю, сопоставляя). 1. Величина, входящая в математическую
формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к
другому явлению, к… … Толковый словарь Ушакова
Параметр — переменная величина, значение которой передается процедуре или функции из внешней среды. Различают
формальные и фактические параметры. См. также: Подпрограммы Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
ПАРАМЕТР — (в технике) величина, характеризующая какое либо свойство процесса, явления или системы, машины, прибора
(напр., электрическое сопротивление, теплоемкость, быстродействие, масса, коэффициент трения и др.). Параметры могут быть
сосредоточенными… … Большой Энциклопедический словарь
параметр — м тех., физ. Kennwert m 1a; Parameter m 1d рабочие параметры Arbeitswerte m pl … Большой немецко-русский и руссконемецкий словарь
ПАРАМЕТР — ПАРАМЕТР, а, муж. (спец.). Величина, характеризующая какое н. основное свойство машины, устройства, системы
или явления, процесса. Параметры реактора. | прил. параметрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю.
Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
параметр — I (от греч. parametrōn отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить
определенный элемент (например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Например, в уравнении х2 + у2 = r2
величина r… … Энциклопедический словарь
параметр — а; м. [от греч. parametrōn отмеривающий] 1. Матем. Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая
своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. 2. Физ., техн. Величина или величины, характеризующие какие л.
свойства процесса … Толковый словарь русского языка Кузнецова
параметр — сущ., кол во синонимов: (3) • ↑метеопараметр (1) • ↑предиктор (4) • ↑приведенка (4) Словарь синонимов ASIS, Тришин
В.Н., 2010 … Словарь синонимов
ПАРАМЕТР — (от греч. parametnm отмеривать) англ. parameter; нем. Parameter. 1. В математике величина, значение к рой является
постоянным в пределах рассматриваемой задачи. 2. Величина, характеризующая к. л. свойство устройства, процесса, вещества; то
же,… … Энциклопедия социологии