степенно-показательная функция

Дифференцирование неявных и
параметрически заданных функций.
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным
относительно у , то функция задана в явном виде ( явная
функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения F(x;y)=0,не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как
неявно заданную уравнением f(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко ,а иногда и невозможно разрешить уравнение
относительно у (например у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).
Если функция задана неявно , то для нахождения производной
от у по х нет необходимости рахрешать уравнение относительно
у: достаточно продифференцировать это уравнение по
х,рассматривая при этом у как функцию х ,и полученное затем
уравнение разрешить относительно y  .
Производная неявной функции выражается через аргумент х и
функцию у.
Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением
x3  y 3  3xy  0
Решение : Функция у задана неявно . Дифференцируем по х
x3  y 3  3xy  0
равенство
Из полученного соотношения :
3x 2  3 y 2 y  3(1  y  x  y)  0
y 2 y  xy  y  x 2
y 
yx
y2  x
2
Функция ,заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана
параметрически в виде двух уравнений  x  x (t )
(1)

 y  y (t )
Где t- вспомогательная переменная ,называемая параметром.
Функцию у=f(х), определяюмую параметрическими
уравнениями(1) , можно рассматривать как сложную функцию
у=у(t), где t   ( x) .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
1
.
Где
yx  yt  t x
Получаем:
t x 
xt
1
yt
yx  yt  , т.е. yx 
xt
xt
Полученная формула позволяет находить производную yx
От функции заданной параметрически , не находя
непосредственной зависимости у от х.
Пример: Пусть  x  t 3
Найти
yx .

2
y

t

2t
2
Решение: Имеем xt  3t , yt  2t. Следовательно, yx  2 ,
3t
2
т.е.

yx 
3t
В этом можно убедиться,найдя непосредственно зависимость у
от х.
2

2
y

3
Действительно, t  3 x. Тогда y  x . Отсюда x 3t ,
Т.е.
2
yx 
3t
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно
заданную функцию сначала прологарифмировать.А затем
результат продифференцировать. Такую операцию называют
логарифмическим дифференцированием . 2
( x  2)  4 ( x  1)3  e x
Пример: Найти производную функции y 
( x  5)3
3
Решение:Можно найти lnyy ln( x с2) помощью
правил и формул
4
дифференцирования.Однако
такой
способ
слишком
громоздкий.
Применим логарифмическое дифференцирование.
Логарифмируем функцию: ln y  ln( x 2  2)  3 ln( x  1)  x  3ln( x  5)
4
Дифференцируем это равенство по х:
2
1
1
3
1
1

y  2
 2x  
1 3
y
x 2
4 x 1
x5
Выражаем
Т.е
y
:
 2x
3
3 
y  y   2

1

x5
 x  2 4( x  1)
( x 2  2)  4 ( x  1)3  e x  2 x
3
3 
y 
 2

1

3
( x  5)
x5
 x  2 4( x  1)
Существуют функции ,производные которых находят лишь
логарифмическим дифференцированием.К их числу относится
так называемая степенно-показательная функция y  u v .
Где u=u(x) и v=v(x) –заданные дифференцируемые функции от
х.Найдем производную этой функции:
Логарифмируем :
ln y  v ln u
Дифференцируем:
1
1
y
 y  v  ln u  v 
u
 u
1


y  y  v  ln u  v   u 
u


1

v
y  u  v  ln u  u   u 
u


Выражаем y :
Т.е.:
Или
(*)
v 
v
v 1

u

u

ln
u

v

v

u
 u
 
Правило :Производная степенно-показательной
функции равна сумме производной показательной
функции , при условии u=соnst,и производной
степенной функции,при условии v=const/
Пример: Найти производную функции
Логарифмируем:
ln y  ln(sin 2 x)
x2 1
y   sin 2 x 
x2 1
ln y  ( x  1)lnsin 2 x
2
Дифференцируем: 1
y
2
2


 y  ( x  1)  lnsin 2 x  ( x  1)(lnsin 2 x)
1
1
2
 y  2 x  lnsin 2 x  ( x  1)
 cos2 x  2
y
sin 2 x
cos 2 x  2
y  y  (2 x  ln sin 2 x  ( x  1) 
)
sin 2 x
2
Подставляем в полученное равенство
y  (sin 2 x)
x 2 1
Получим:
y  (sin 2 x)
x2 1
 lnsin 2 x  2 x  ( x  1)(sin 2 x)  cos2 x  2
2