Глава 1 Математическое описание непрерывных (аналоговых) изображений

Глава 1
Математическое описание
непрерывных (аналоговых)
изображений
ВВЕДЕНИЕ
►
►
Многие отрасли техники, имеющие отношение к получению, обработке,
хранению и передаче информации, в значительной степени
ориентируются в настоящее время на развитие систем, в которых
информация имеет характер изображений. Изображение, которое можно
рассматривать как двумерный сигнал, является значительно более емким
носителем информации, чем обычный одномерный (временной) сигнал.
Вместе с тем, решение научных и инженерных задач при работе с
визуальными данными требует особых усилий, опирающихся на знание
специфических методов, поскольку традиционная идеология одномерных
сигналов и систем мало пригодна в этих случаях. В особой мере это
проявляется при создании новых типов информационных систем,
решающих такие проблемы, которые до сих пор в науке и технике не
решались, и которые решаются сейчас благодаря использованию
информации визуального характера.
Современные системы обработки изображений можно разделить на три
класса: аналоговые (оптические), цифровые и аналогово-цифровые
(оптико-цифровые). В аналоговых системах обработки изображений
используются когерентные и некогерентные оптические вычислительные
устройства. Цифровая обработка изображений предполагает
использование ЭВМ. В гибридных оптико-цифровых системах
используются ЭВМ и оптические процессоры.
1. Аналоговые (оптические) системы обработки изображений
Математическое описание непрерывных (аналоговых) изображений
Изучение методов и систем обработки и анализа изображений начнем с рассмотрения
математического аппарата, используемого при аналоговой (оптической) обработке.
Для простоты будем во всех случаях описывать изображение, сформированные некоторой
физической системой, с помощью функции f ( x, y, t )  0 . Для одноцветной системы функция
f ( x, y, t ) представляет собой распределение яркости или какой-либо другой физической
величины, связанной с яркостью. Для цветных изображений f ( x, y, t ) есть одна из координат
цвета, которые пропорциональны интенсивностям красного (R), зеленого (G) и синего (В)
цвета, смесь которых дает заданный цвет. Во многих системах воспроизведения изображений
изображение не меняется во времени и переменная t может быть опущена (статические
изображения). Мы в основном будем рассматривать именно такие изображения. Иногда для
простоты изложения некоторые методы обработки и анализа демонстрируются для одномерных
изображений f(x). Большое значение в обработке изображений имеют операция свертки и
преобразования Фурье, относящиеся к классу интегральных преобразований.
1.1. Свертка и ее свойства
Если функция f(x) абсолютно интегрируема, т.е. интеграл


f ( x) dx (1.1)
конечен, а функция h(x) ограничена на интервале (- ∞, ∞), то существует функция

g ( x)  f ( )h( x   ) d (1.2)



которая называется сверткой двух функций f (x) и h(x) . Переменная x задает
последовательность сдвигов функции h(x) относительно f (x). Подынтегральное выражение
интеграла (1.2) равно произведению f ( ) на перевернутую функцию h( x   ) , сдвинутую
относительно первой функции на величину x.
Если  заменить на x   , то, изменив пределы интегрирования, получим
g ( x) 



f ( )h( x   ) d   h( ) f ( x   )d
(1.3)
т. е. операция свертки является коммутативной. Другие свойства свертки рассмотрим в
разделе, посвященном преобразованию Фурье.


1.2. Обобщенные функции
Достаточным условием существования свертки (и преобразования Фурье) является абсолютная
интегрируемость исходной функции, т.е. конечность интеграла (1.1). Однако, эти
преобразования можно рассматривать на совсем другом классе функций, а именно на классе
функций с интегрируемым квадратом. Если существует интеграл

(1.4)
2
f
(
x
)
dx


который иначе называется квадратом нормы функции f ( ) и обозначается

2
2
(1.5)
f ( x) dx  f


то требование конечности нормы функции f позволяет существенно расширить класс
функций над которыми можно совершать преобразования свертки и Фурье.
Введем понятие скалярного произведения двух функций f (x) и g (x)(перекрестная норма):

(1.6)
f ( x) g ( x)dx  f ( x), g ( x)


Если скалярное произведение функции f (x) на функцию g (x) существует, то

(1.7)
f ( x)h( x), g ( x)   f ( x)h( x) g ( x)dx  f ( x), g ( x)h( x)

При переносе одной функции на величину x 0 , получаем
f ( x  x0 ), g ( x) 



f ( x  x0 ) g ( x)dx 

 f ( x) g ( x  x0 )dx 

При сжатии одной из функций в а раз, имеем
f ( x), g ( x  x0 )
(1.8)

f (ax), g ( x) 

f (ax) g ( x)dx 

1
a



1
 x
 x
f ( x) g  dx 
f ( x), g  
a
a
a
(1.9)
В трудах О. Хэвисайда, П. Дирака, С. Соболева, Л. Щварца обобщено понятие функции на так
называемые сингулярные (пример -  -функция) и “трудные” функции ( 1( x) sin x ,и др.).
Если взять произвольную обобщенную функцию f (x) , то задание чисел

(1.10)
f ( x), g ( x)  f ( x) g ( x)dx


определенных для любой “хорошей” функции g (x) , достаточно, чтобы полностью определить
свойства f (x) , не определяя ее непосредственно. Например,  -функция определяется как
1, x  0 (1.11)
 ( x)  
0, x  0
причем

(1.12)
 ( x)dx  1


Однако,  -функцию можно определить, указывая на результат операции

(1.13)
 ( x  x ) g ( x)dx  g ( x )


0
0
►
►
►
для любой “хорошей” функции g (x) , т.е. функции, имеющей непрерывные производные всех
порядков и финитной. К понятию обобщенной функции необходимо обращаться в следующих
случаях:
исходная функция неинтегрируемая абсолютно;
исходная функция входит в класс сингулярных;
необходимо осуществить дифференцирование функций абсолютно интегрируемых, но имеющих
разрывы.
1.3. Примеры обобщенных функций
1.3.1.Обобщенная -функция Дирака
Обобщенная  -функция Дирака определяется следующим функционалом:
 ( x), g ( x)  g (0) (1.14)
Аналогичный функционал записывается для сдвинутой  -функции  ( x  x0 ) :
 ( x  x0 ), g ( x)   ( x), g ( x  x0 )  g ( x0 ) (1.15)
Данную функцию можно интерпретировать как точечный источник света расположенный в
точке x0 . Вычислим
x ( x), g ( x)   ( x), xg ( x)  xg ( x)x0  0 (1.16)
Отсюда следует неочевидное свойство:
x ( x)  0
(1.17)
1.3.2. Функция Хэвисайда
По определению функция Хэвисайда, или единичная ступенька, имеет вид:
(1.18)
1, x  0
Y ( x)  
0, x  0
Вычислим производную функции Хэвисайда. Пусть некоторая функция f (x) непрерывна и
обладает непрерывной производной. Построим функционал

df ( x)
df ( x)
(1.19)
, g ( x)  
g ( x)dx
dx
 dx
Интегрируя по частям и учитывая, что функция g (x) обращается в нуль вне конечного отрезка,
a, b получим

df ( x)
dg ( x)
dg ( x)

(1.20)
, g ( x )  f ( x ) g ( x )    f ( x )
dx  f ( x),
dx
dx
dx

'
Производная Y ( x) функции Хэвисайда определяется функционалом

dY ( x)
dg ( x)
dg ( x)
(1.21)
, g ( x)  Y ( x),
 
dx  g (0)   ( x), g ( x)
dx
dx
dx
0
откуда
dY ( x)
  ( x)
dx
(1.22)
Дальнейшие дифференцирование позволяет определить производные от  -функции:
dg (0)
(1.23)
 ' ( x), g ( x)    ( x), g ' ( x)  
dx
аналогично
 ( n ) ( x), g ( x)  (1) n g ( n ) (0)
(1.24)
1.4. Преобразование Фурье и его свойства
Преобразованием Фурье функции называться функция

(1.25)
F ( )  F  f ( x)   f ( x)e iwx dx

где интеграл понимается в смысле главного значения

A
(1.26)
iwx
iwx
f
(
x
)
e
dx

lim
f
(
x
)
e
dx



A
A
Обратное преобразование Фурье функции F(w) определяется выражением
1 
1
(1.27)
F F ( w) 
F ( w)e iwx dw

2 
►
►
►
Достаточным, но не необходимым условием существования преобразования (1.25), является
выполнение следующих условий:
функция f (x) должна быть абсолютно интегрируемой;
функция f (x) должна иметь конечное число разрывов, максимумов и минимумов в пределах
любой конечной области;
функция f (x) не должна иметь разрывов 2 рода.
Очевидно, что  -функция не удовлетворяет третьему условию существования преобразования
(1.25), а f ( x)  1 x  , f ( x)  Y  x  , f ( x)  sgn  x  , f ( x)  sin  x  – первому условию существования.
Однако, для этих обобщенных функций можно, как мы увидим в дальнейшем, определить
обобщенные фурье-образы, с которыми можно обращаться так же, как и с обычными.
1.4.1. Свойства преобразования Фурье
1. Линейность
Пусть F1 ( w), . . ., Fn ( w) - фурье-образы функций f1 ( x), . . ., f n ( x) , а a1 , . . ., a n - произвольные
комплексные числа, то фурье-образ функции f ( x)  a1 f1 ( x)  ...  an f n ( x), равен
F ( w)  a1 F1 ( w)  ...  an Fn ( w), т.е. линейной комбинации соответствующих фурье-образов. Это
общее свойство для всех линейных преобразований.
2. Изменение масштаба
Если а – действительное число, то
1  w
(1.28)
F  f (ax)  F  
a a
Пусть a  0 . Тогда
w

i 
1
1  w
iwx
F  f (ax)   f (ax)e dx   f ( )e a d  F  
a 
a a

Аналогично, если a  0 , то
w
w
i 
i 
1 
1
1  w
a
F  f (ax)   f ( )e d    f ( )e a d   F  
a
a 
a a
Окончательно:
1  w
(1.29)
F  f (ax)  F  
a a
При a  1 , F  f ( x)  F  w .
3. Теорема о переносе
Если функцию f (x) сдвинуть на величину x0 , то Фурье-образ новой функции f ( x  x0 ) окажется
равным


(1.30)
iwx
F  f ( x  x0 )   f ( x  x0 )e dx   f ( x)e iw( x x0 ) dx  e iwx0 F  f ( x)


Таким образом, при переносе функции f (x) на величину x0 ее фурье-образ умножается на
4. Свойства симметрии
*
Вычислим фурье-образ f ( x) , т.е. функции, комплексно-сопряженной с f (x)
eiwx0
*


i (  w) x
dx   F * ( w)
 f ( x)e dx   f ( x)e

 

Таким образом,
(1.31)
F f * ( x) F * (w)

*
iwx
5. Интегральная теорема Фурье
Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:
F 1F  f   FF 1  f   f
(1.32)
Покажем сначала, что для любых функций f (x) и g (x), имеющих фурье-образы F  F  f , G  F g ,
справедливо соотношение


(1.33)
ix
g ( ) F ( ) e d  G( y ) f ( x  y )dy




Действительно:

 ix
iy
g
(

)
F
(

)
e
d


g
(

)
f
(
y
)
e
dy



 e d 


 






i ( y  x )
  f ( y)   g ( ) e
d  dy   G( y  x) f ( y)dy   G( y ) f ( x  y)dy



 


ix

Теперь, для любых   0 , Можно записать



1  y
 g ( ) F ( ) e d    G   f ( x  y)dy   Gu  f ( x  u)du



При   0, получаем (с учетом абсолютной и равномерной по  сходимости крайних
ix
интегралов)


g (0)  F ( )e d  f ( x)  G (u )du
ix


откуда следует, что
f ( x) 
g (0)


i x
F
(

)
e
d


G
(
u
)
du


Поскольку g (x) – произвольная функция, то нормированный множитель так же произвольно
может быть назначен. Мы будем полагать, что
g ( 0)
1


2
 G (u )du

тогда
1
f ( x) 
2

 F (w) e
iwx
dw  F --1F  f  x   FF --1 f  x 

что и требовалось доказать.
6. Соотношение взаимности
Если F(w) – фурье-образ функции f (x), то
F F ( x)  2 f ( w)
(1.35)
Это соотношение вытекает из равенства

2 f ( x)   F ( w)e  iwx dw

(1.36)
7. Дифференцирование по координате
Выполним дифференцирование обеих частей равенства
(1.37)
1 
iwx
f ( x) 
2
 F (w)e

dw
(1.34)
n раз по координате x , получим
d n f ( x) 1

dx n
2

 (iw)
n
F ( w)e iwx dw  F 1 (iw) n F ( w)
(1.38)

Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.38), получим
(1.39)
 d n f ( x) 
n
F

(
iw
)
F
(
w
)

n
 dx 
Рассмотрим функцию

(1.40)
g ( x)  f ( )d


Если G ( w)  F g ( x) , то
dg ( x)
 f ( x)
dx
iwG( w)  F ( w)
(1.41)
(1.42)
Таким образом,

 F ( w)
(1.43)
F   f ( )d  
iw
 

8. Теорема свертки
Фурье-образ свертки двух функций равен произведению их фурье-образов. Действительно,


 
F   f ( ) g ( x   )d    f ( )F g ( x   )d   f ( )G( w)e iw d  F ( w)G( w) (1.44)


 
Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.44) при
получаем:

1 
(1.45)
 f ( ) g ( )d  2  F  f ( x)F g ( x)dw


x = 0,
9. Теорема автокорреляции
Фурье-образ автокорреляционной функции равен квадрату модуля ее Фурье-преобразования.
Действительно,
 
  
F   g ( ) g ( x   )d    g ( )F g ( x   )d 

 

  g ( )e G ( w)d  G ( w)G ( w)  G ( w)

iw
*
2
(1.46)

10. Теорема Парсеваля
Осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.46), получим:

1
g
(

)
g
(


x
)
d



2


При x  0 , имеем

1 
2
2
 g ( ) d  2  G(w) dw



2
iwx
 G(w) e dw

(1.47)
1.4.2. Преобразования Фурье обобщенных функций
Основным соотношение, задающим свойства Фурье-образа обобщенных функций, является
равенство (1.45), которое запишем в виде
1
(1.48)
f ( x), g ( x) 
F  f(x),F g(x)
2
Это соотношение является определением фурье-образа F  f(x) обобщенной функции f (x) . При
этом функция g (x) входит в класс “хороших” функций. Вычислим, исходя из соотношения
(1.48), фурье – образы некоторых обобщенных функций.
1. Обобщенная функция δ(х)


F  (x),G(w)  2  ( x), g ( х)   ( x),  e G( w)dw   G( w)dw  1( w), G( w)
iwx


Таким образом,
F  (x)  1( w)
(1.49)
Применяя теорему взаимности к равенству (1.49), получим
F 1(x)  2 ( w)
(1.50)
Аналогично
F  (x - x0 ),G(w)  2  ( x  x0 ), g ( х) 


  ( x  x0 ),  e G( w)dw   eiwx0 G( w)dw  e iwx0 , G( w)
iwx

F  (x - x0 )  e iwx0

(1.51)
Применяем теорему взаимности к равенству (1.51), получим
F e iw0 x  2 ( w0  w)  2 ( w  w0 ) (1.52)
 
2. Гармонические функции coswox, sinwox
Согласно формулам Эйлера
e iw0 x  e iw0 x
eiw0 x  e iw0 x
cos w0 x 
, sin w0 x 
2i
2
Используя соотношение (1.52), легко находим
F cos w0 x    ( w  w0 )   ( w  w0 ) (1.53)
F sin w0 x  i  ( w  w0 )   ( w  w0 ) (1.54)
3. Знаковая функция sgn(x)
Эта функция имеет вид
 1, x  0
sgn( x)  
 1, x  0
Очевидно, что
sgn( x)  2Y ( x)  1
(1.55)
(1.56)
Производная Y (x) функции Хэвисайда равна  (x) , поэтому

 F  ( x) 1( w) (1.57)
F Y ( x)  F    ( x)dx 
 

iw

iw
и отсюда получаем уравнение
F Y ( x)iw  1( w)
(1.58)
Для w  0 , очевидно,
1( w)
F Y ( x) 
iw
(1.59)
Однако, распространить решение на точку w  0 нельзя, т.к. в этой точке может быть задана
обобщенная функция, и такой обобщенной функцией является распределение Дирака.
Легко проверить, что решением уравнения (1.58) является обобщенная функция
1( w)
(1.60)
F Y ( x) 
  ( w)
iw
Тогда
2
2i
1

F sgn( x)  F 2Y ( x)  1( x)  2   ( w)  2 ( w) 

iw
w
 iw

1.5. Двумерное преобразование Фурье
Пусть задана комплексная функция двух переменных f ( x, y). По определению
преобразованием Фурье F  f ( x, y ) этой функции будет комплексная функция F (u1 , u 2 )
 
(1.61)
F (u1 , u 2 )  F  f x, y  
  f x, y exp[i(u1 x  u2 y)]dxdy
 
Переменные u1 ,u 2  называются пространственными частотами. Как и в одномерном случае
справедливо обратное преобразование
f ( x, y )  F
F u1 , u2  
-1
 
1
F (u1 , u 2 ) exp[i(u1 x  u 2 y )]dxdy


4  
2
(1.62)
Соотношение (1.62) можно рассматривать как представление функции f ( x, y) в виде
линейной комбинации элементарных функций exp i (u1 x  u 2 y , а спектр Фурье F (u1 , u 2 ) как набор
комплексных весовых множителей, на которые следует помножать каждую из элементарных
функций, чтобы получить исходную функцию f ( x, y) .
Рассмотренные выше свойства преобразования Фурье, справедливы и в двумерном
случае. В частности, если F (u1 , u 2 ) и G (u1 , u 2 ) - фурье-образы функций f ( x, y) и g ( x, y ) , а, b –
действительные числа, то
(1.63)
1  u1 u2 
F  f (ax, by) 
F , 
ab  a b 
F  f ( x  a, y  b)  e i ( au1 bu2) F (u1 , u2 )
(1.64)
 

F    f ( , ) g ( x   , y   )dd   F (u1 , u2 )G(u1 , u2 )
 

 
  g ( x, y )
 
2
dxdy 
 
1
G (u1 , u 2 )


4  
2
2
du1du2
  

F    f ( , ) g ( x   , y   )dd   F  (u1 , u2 )G(u1 , u 2 )
 

f ( x, y)  F -1F  f x, y   FF -1 f x, y 
(1.65)
(1.66)
(1.67)
(1.68)
Пусть функция f ( x, y)  f ( x 2  y 2 )  f (r ) . Тогда, осуществляя в плоскостях координат и частот
переход к полярным координатам по формулам:
r  x 2  y 2 , x  r cos , y  r sin  ,
2
2
u  u1  u 2 , u1  u cos , u 2  u sin  ,
и учитывая, что якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен r, получаем
следующее выражение для фурье-образа функции f (r ) :

2
(1.69)
F  f (r )   rf r dr  exp iur cos(   d
0
0
Используя формулу для интегрального представления функции Бесселя первого рода нулевого
порядка
1 2
I 0 a  
exp ia cos(   d

2 0
получаем
(1.70)

F  f (r )  2  rf r I 0 (ur) dr
(1.71)
0
Преобразование вида (1.71) называется преобразованием Фурье-Бесселя.
1.6.Анализ линейных систем с помощью преобразования Фурье
Для линейной системы, представляющей собой “черный ящик”, выходное изображение g ( x, y )
может быть получено в результате действия линейного оператора Т на входное изображение
f ( x, y) , то есть
g ( x, y )  T  f  x, y 
(1.72)
Равенство (1.72) можно записать в виде
 
g  x, y   T [ 

 
 f ( , ) ( x   , y   )dd ] 
 
  f ( , )T [ ( x   , y   )]dd
(1.73)
 
Функцию h( x, y; , )  T [ ( x   , y   )] называют импульсным откликом системы. Теперь
выходное изображение может быть представлено в виде интеграла суперпозиции
g  x, y  
 
  f ( , )h( x, y; , )dd
 
(1.74)
Линейная система называется пространственно-инвариантной, если h( x, y; , )  h( x   , y   ) .
В этом случае интеграл суперпозиции становится интегралом свертки
g  x, y  
 
  f ( , )h( x   , y   )dd
 
(1.75)
Оптические системы, формирующие изображения, как правило, пространственно-инвариантны.
Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.75) и используя теорему
свертки, получаем
G (u1 , u 2 )  F (u1 , u 2 ) H (u1 , u 2 )
(1.76)
где G (u1 , u 2 )  F g ( x, y ) , F (u1 , u 2 )  F  f ( x, y ), H (u1 , u 2 )  F h( x, y ) .
Выполняя обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (1.76), находим
g ( x, y ) 
 
1
F (u1 , u 2 ) H (u1 , u 2 ) exp[i(u1 x  u 2 y )]dxdy


4  
2
(1.77)
т.е. изображение на выходе линейной системы может быть получено в результате обратного
преобразования Фурье от произведения спектра входного изображения на частотную
характеристику системы.
Bal’t | 2006