Дискретное преобразование Фурье Численные методы в оптике кафедра

Дискретное преобразование
Фурье
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Одномерное
преобразование Фурье
Прямое преобразование Фурье

~
f     f  x   e 2ix d  F  f  x 

Обратное преобразование Фурье
f x  




~
2ix
1 ~
f    e
dx  F f  





где
 – пространственная частота
~
f   – Фурье-образ функции
F – оператор преобразования Фурье
F  f  x 
– сокращенная запись преобразования Фурье
Преобразование Фурье является обратимым:
~
F
f ( x)  f ( )
3
Двумерное
преобразование Фурье
Преобразование Фурье двумерной функции

 
   f x, y   e  2ix
~
f  x , y 
x
 y y 
dxdy  F  f x, y 
 
Обратное преобразование Фурье
 
~
2i  x x  y y 
1 ~
f  x, y     f  x , y  e
d x d y  F f  x , y

 



4
Использование преобразования
Фурье в оптике
Комплексная амплитуда в изображении точки
U  x , y   F 1  f  x ,  y 
Функция рассеяния точки


h x ,y  F
1
 f  x ,  y 
2
Оптическая передаточная функция



D  x ,  y  F h  x , y



описывает влияние оптической системы как фильтра пространственных
частот
основа мат.аппарата для описания распространение электромагнитного
поля через оптическую систему и дифракции
5
Преобразование Фурье в
одиночной линзе
Если предмет расположен в передней фокальной
плоскости линзы, то его изображение в задней фокальной
плоскости можно описать преобразованием Фурье

без учета ограничения пучка
передняя фокальная
плоскость
(предмет)
задняя фокальная
плоскость
(изображение)
6
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
, x  0
 0, x  0
 x   
1
f(x)
f(x)
1
1
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
дельта-функция = функция Дирака
4
3
2
1
0
1
2
3
4
7
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ

combx  
comb  x 
  x  n 
n  
f(x)
f(x)
1
1
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
решетка Дирака = гребенка Дирака
4
3
2
1
0
1
2
3
4
8
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
1, x [0.5;0.5];
rectx   
0, x [0.5;0.5].
sinc  x  
sin( x )
 x
f(x)
1
f(x)
1
0.5
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
4
3
2
1
0
0.5
1
2
3
4
9
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
x  [1;1];
 0,

tr( x)  1  x, x  [1;0];
1  x, x  [0;1].

sinc 2  x 
f(x)
1
f(x)
0.75
1
0.5
0.25
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
10
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
e
Фурье-образ
  x 2
e
f(x)
1
   x 2
f(x)
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
функция Гаусса
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
11
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
  x  0.5    x  0.5
cosx 
2
f(x)
1
f(x)
1
0.5
0.5
x
4
3
2
1
0
0.5
1
1
2
3
x
4
1
0.5
0
0.5
1
12
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
  x  0.5    x  0.5
sin x 
2i
f(x)
1
f(x)
0.5
0.5
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
0.5
0
0.5
1
0.5
0.5
1
13
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
 1, x  0;
sign( x)  
 1, x  0.
i
 x
f(x)
2
2
f(x)
1
1
x
x
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
1
2
1.5
1
0.5
0
1
2
2
полуплоскость
0.5
1
1.5
2
14
Осесимметричные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
circr 
Bessinc ( r ) 
J1 2 r 
 r
f(r)
f(  r )
4
1
3
2
1
r
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
3
2
1
r
0
1
1
2
3
15
Осесимметричные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
1
J o 2r 
 1   r2
1.5
f(  r )
f(r)
1
1
0.5
0.5
r
r
3
2
1
0
0.5
1
2
3
1
0.5
0
0.5
1
16
Свойства Фурье-образа
линейность
Функция
Фурье-образ
 c n  f n  x, y 
~
 cn  f n  x , y

n
n
масштаб
смещение
свертка

f ax, by 
1 ~  x  y 
 f  , 
ab  a b 
f  x  a, y  b 
~
 2i  a x  b y 
f  x , y  e
f  x, y   g  x, y 



 
~
f  x , y  g~  x , y

a, b и c – произвольные константы
f (x)
произведение ширины
функции и ширины
спектра постоянно
~
f ( )
17
Свертка и автокорреляция
f(x,y)
Свертка двух функций

f x, y   g  x, y     f  x, y   g  x  x, y  y   dxdy
x
g(x,y)

f ( x, y )  g ( x, y )  g ( x, y )  f ( x, y )
f ( x, y)  g ( x, y)  h( x, y)  f ( x, y)  g ( x, y)  f ( x, y)  h( x, y)
Автокорелляция – свертка функции самой с собой
f x, y   f x, y 


для некогерентного освещения интенсивность на изображении – свертка
ФРТ и интенсивности на предмете I ( x, y )  I ( x, y )  h( x, y )
ОПФ – автокорелляция зрачковой функции D( x ,  y )  f (  x ,  y )  f (  x ,  y )
18
Свертка (пример)
19
Свойства симметрии
Функция
Фурье-образ
вещественная и четная
вещественный и четный
вещественная и нечетная
мнимый и нечетный
вещественная и не симметричная
Комплексный:
вещественная часть четная
мнимая часть нечетная
20
Свойства Фурье-образа
Теорема о центральном значении:

~
f (0)   f ( x)dx
f ( 0) 


~
 f ( )d

Теорема Парсеваля (закон сохранения энергии):



2
f ( x) dx 


~ 2
f ( ) d

Теорема о производной:
 n f ( x) F ~
n




f
(

)

2

i

x n
21
Свойства Фурье-образа
Фурье-образ двумерной функций с разделяющимися
переменными можно определить как произведение
Фурье-образов составляющих её множителей:




 
~
~
~
f  x , y  F  f x, y   F  f x x   F f y  y   f x  x   f y  y
Модуль Фурье-спектра обычно убывает
~
1
 n 1

где n – порядок дифференцируемости исходной функции

чем более гладкая функция, тем быстрее убывает ее Фурье-спектр
22
Спектр периодической функции
Спектр периодической функции (с периодом T)
существует только в отдельных точках, то есть является
дискретным с шагом 1/T
f  x   g  x  nT 
f x 
F
T
 T
f x   g ( x)  comb x

~
f  
1
T
~
f    g~    combT 
огибающая дискретного спектра – Фурье-образ одного периода функции
23
Спектр дискретной функции
Спектр дискретной функции с шагом дискретизации x ,
есть периодическая функция с периодом T  1 x , а в
пределах одного периода – спектр огибающей выборки
Частота Найквиста   1 2x – предельная частота, на
которой еще имеет смысл говорить о спектре выборки
f x 
x
F
~
f  
1 
2 x
T  1/ x
24
Принципы дискретизации функций
Непрерывная функция
Точность (адекватность)
Экономичность (объем памяти)


выбор шага
выбор количества элементов в выборке
выборка
25
Теорема о выборке
теорема о выборке = теорема Уиттекера-Шеннона = теорема Котельникова
Любая двумерная функция с финитным Фурье-образом
однозначно определяется выборкой с шагами Δx и Δy ,
величина которых удовлетворяет неравенствам:
1
Δy 
2 y
1
Δx 
2 x

Δx 
1
N  Δν x
1
Δy 
N  Δν y
если Nвыборки = Nспектра
где  x и  y – предельные частоты в Фурье-образе этой функции
~ 
f 
f x 
x
x
T  1
x

Финитная функция – функция, отличная от нуля только на конечном интервале
26
Дискретное
преобразование Фурье (ДПФ)
Прямое дискретное преобразование Фурье
1
~
fm 
N
N 1

k 0
fk  e
 2 i
km
N
Обратное дискретное преобразование Фурье
1
fk 
N

N 1 ~

m0
fm  e
2 i
mk
N
где m – номер элемента в выборке функции,
k – номер элемента в выборке Фурье-спектра
N – размерность выборок
27
Алгоритмы быстрого
преобразования Фурье (БПФ)
Алгоритмы БПФ:




алгоритм Кули-Тьюки
алгоритм Гуда-Томаса
алгоритм Винограда
другие
FFTW – библиотека БПФ, выполненная на С++

быстрые алгоритмы работают наиболее эффективно с выборками,
размерность которых является 2n, т.е.
2, 4, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 и т.д.
28
Проблемы ДПФ
Непрерывное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье

необходимо циклическое смещение на N/2
29
Сдвиговое дискретное
преобразование Фурье (СДПФ)
Сдвиговое дискретное преобразование Фурье
~
fm 


N 1

k 0
fk  e
 2 i 
k  k s m  ms 
N
где ms – величина сдвига функции, k s – величина сдвига спектра
для получения Фурье-образов с расположением начала координат в
центре выборки ms  N 2 k s  N 2
СДПФ легко выражается через ДПФ
kms


N

1

2



i

~
N
fm     fk  e
 k 0 

  2 i km   2 i k s m
 e
N e
N




30
Вычисление СДПФ
Домножение функции на сдвиговую экспоненту e
обеспечивающие смещение спектра
 2 i
kms
N
,
Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма
БПФ
Домножение спектра на сдвиговую экспоненту e
компенсирующие смещение выборки
 2 i
ks m
N
,
31
Двумерное СДПФ
Двумерное сдвиговое дискретное преобразование Фурье
~
fm 


N 1

k 0
fk  e
 2 i 
k  k s m  ms 
N
e
 2 i 
l  l s n  ns 
N
где ms , n s – величина сдвига функции; k s , l s – величина сдвига спектра
для получения Фурье-образов с расположением начала координат в
центре выборки ms  N 2 ns  N 2
ks  N 2 ls  N 2
Двумерное СДПФ через ДПФ
kms
lns


N

1

2



i


2



i

~
N e
N
fm     fk  e
 k 0 

  2 i km  2 i ln   2 i k s m  2 i ls n
 e
N e
N e
N e
N




32
Вычисление двумерного СДПФ
Домножение функции на сдвиговые экспоненты,
обеспечивающие смещение спектра
km
ln
 2 i s
 2 i s
N
N
e
e
Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма
БПФ
Домножение спектра на сдвиговые экспоненты,
компенсирующие смещение выборки
e
 2 i
ks m
N
e
 2 i
ls n
N
Преобразование Фурье.
Задачи
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
34
Смещение и масштабирование
функций
 f (x)
вращение вокруг OX
f ( x)
вращение вокруг OY
f ( x  a)
смещение вправо на a вдоль OX
f ( x / a)
растяжение в a раз вдоль OX
f ( a  x)
сжатие в a раз вдоль OX
 xa
f1  rect 

 b 
x

f 2  rect   a 
b

f3  rect b x  a 
f 4  rect bx  a 
35
Дельта-функция
, x  0
 x   
 0, x  0
f(x)
1
x

  x   dx  1
4
3
2
1
0
1
2
3
4

f  x     x  a   f a     x  a 
f(x)
1

 f x    x  a   f a 
x

f x    x  a   f ( x  a)
4
3
2
1
0
1
2
3
4
36
Пример
Описать функцию и найти ее преобразование Фурье
f(x)
1
0.5
x
a
0
a
ix
Формула Эйлера e  cos( x)  i sin( x)