Программа - Кафедра вычислительной механики

Вейвлеты и их применение
в вычислительной механике
проф. А. Л. Афендиков
Аннотация
Теория вейвлетов может рассматриваться как интенсивно развивающаяся ветвь гармонического анализа. Однако
широкой публике больше известно о применении вейвлетов в алгоритмах по идентификации отпечатков пальцев,
используемых FBI, а также об их использовании для сжатия информации и, например, для преобразования *.bmp и
*.tiff файлов в *.jpg файлы. В последнее время появились и плодотворные приложения вейвлетов к решению
различных задач численного анализа и вычислительной механики. В спецкурсе предполагается рассказать, какие
свойства вейвлетов, открытых Альфредом Хааром в 1910 г. (и вскоре надолго забытых), привели к взрывообразному
росту их применения не только в науке, но и в повседневной жизни почти век спустя.
Настоящий курс является вводным и предназначен для студентов, начиная с третьего курса, аспирантов и всех
интересующихся применением вейвлетов и их обобщений (риджлетов и т. д.) в различных областях науки и техники. От
слушателей предполагается лишь твердое знание математического анализа и знакомство с теорией рядов Фурье.
Программа
1.
Функции Хаара, их полнота в L2 и основные идеи теории вейвлетов.
2.
Анализ Фурье (обзор). Явление Гиббса и приближение разрывных функций.
3.
Преобразование Фурье и свертка. Быстрые алгоритмы дискретного
преобразования Фурье и дискретной свертки.
4.
Применение анализа Фурье в обработке сигналов. Частотная фильтрация.
5.
Преобразование Фурье обобщенных функций. Формула Пуассона и теорема
Шеннона–Котельникова.
6.
Принцип неопределенности в квантовой механике и оконные
преобразования Фурье.
7.
Непрерывное вейвлетное преобразование и его основные свойства.
Порождающие вейвлеты и теорема Кальдерона–Гросмана–Морле.
8.
Дискретное вейвлетное преобразование и кратномасштабный анализ.
9.
Вейвлеты Добеши, Лемарье и др.
10.
Сжатие информации, выделение особенностей, конусы влияния.
11.
Вейвлетные предобуславливатели в методе конечных элементов.
12.
Многомасштабный метод конечных объемов для законов сохранения.
Список литературы
[1] CH. BRISLAWN: [1995] Fingerprints go digital. Notices of AMS V. 42, N11, 1278–83.
[2] I. DAUBECHIES: Ten lectures on wavelets. 1992.
[3] O. BRATELLI, P. JORGENSEN: Wavelets through a looking glass. 2003.
[4] M. PINSKY: Introduction to Fourier analysis and wavelets. 2002.
[5] D. WALNUT: An introduction to wavelet analysis. 2002.
[6] S. MALLAT: Wavelet tour for signal processing. 1999.
[7] A. COHEN: Wavelet methods in numerical analysis. 2000.