Применение пакета Mathcad для моделирования кинематических процессов в теоретической механике Сибирский технологический университет Лесоинженерный факультет Кафедра Высшей математики и информатики доцент, к.ф.-м.н., Казаков Ю.В. Красноярск 2005 1 2 Примеры задач • Двойной маятник • Система грузов с пружинами • Движение «шарика» по внутренней поверхности параболоида • Ссылки и литература 3 1. Двойной маятник Пример демонстрирует возможности пакета Mathcad 1. «автоматизация» получения Лагранжиана для механической системы 2. аналитическое дифференцирование и «автоматизация» получения системы ОДУ первого порядка и вектора правой части для метода Рунге-Кутта 3. создание анимации для отображения динамики процесса 4 Получение Лагранжиана системы 5 Использование аналитического дифференцирования Mathcad для получения уравнений движения 6 Вид правой части системы ОДУ. Математическая постановка задача Коши 7 Часть Mathcad – документа для интегрирования системы ОДУ и получение координат грузов i0 x Rkadapt ( i0 0 end N D) 1 x1 L1 sin x 1 2 x2 L1 sin x L2 sin x 1 y1 L1 cos x 1 2 y2 L1 cos x L2 cos x 2 2 0 0 kt 1 N k FRAME 5 8 Тестовый расчет (m1/m2=1000) 9 Координаты грузов в зависимости от времени (стохастический режим) 10 Зависимость угла отклонения от угловой скорости для первого и второго груза 11 2. Грузы на пружинах с внешним воздействием Пример демонстрирует возможности пакета Mathcad 1. 2. 3. «автоматизация» получения системы ОДУ первого порядка и получения вектора правой части для метода Рунге-Кутта на основе исходной системы ОДУ второго порядка, аналитическое получение матрицы Якоби для расчета жестких систем ОДУ получение амплитудно-частотной характеристики создание анимации для отображения динамики процесса 12 Постановка задачи 13 Уравнения движения Аналитические выражения для вторых производных eq1 m1 x1'' k1 ( x1 L1) k2 ( x2 x1 L2 ) d1 x1' eq2 m1 x1'' m2 x2'' k1 ( x1 L1) k3 x rc a1 sin ( t) x2 L3 d1 x1' d2 x2' x1'' ( x1'' x2'' ) eq solve x2'' x1'' x2'' x1 L1 x2 x1 L2 x1' k1 k2 d1 m1 m1 m1 collect k1 k2 k3 L2 x1 x2 x rc a1 sin ( t) x2 L3 x2' k2 k3 d2 m2 m2 m2 14 Аналитическое получение ОДУ T V ( x1 x1' x2 x2' ) T V' ( x1' x1'' x2' x2'' 0 ) x1' k2 x1 k1 x1 k1 L1 k2 x2 k2 L2 k2 d1 x1' m1 x2' V' k2 x1 k2 x2 k2 L2 k2 k3 x k3 a1 sin ( t) k3 x2 k3 k3 L3 d2 x2' rc m2 0 x1 k2 x 0 k1 x 0 k1 L1 k2 x 2 k2 L2 k2 d1 x 1 m1 x3 D ( t x ) Rep ( V' V x ) k2 x 0 k2 x 2 k2 L2 k2 k3 x rc k3 a1 sin x 4 t k3 x 2 k3 k3 L3 d2 x 3 m2 0 x1 10 x 0 5 5 x 2 .5 x 1 D(t x) x3 x 0 2 x 2 17 .5 sin x 4 t .1 x 3 0 L1 0 S1 ( ) rkfixed x rc L3 0 20 2000 D 0 15 Тестовый расчет (равновесие при a1=0, dL(k)=-1, k=1,2,3) 16 Расчет динамической задачи 17 Получение матрицы Якоби 18 Определение частоты максимальной амплитуды 19 Амплитудно-частотная характеристика 20 Анимация динамики процесса 21 4. Движение «шарика» по внутренней поверхности параболоида • Постановка задачи • Пример решения «дифференциальноалгебраической» системы в Mathcad • Варианты решений Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ: Òðàåêòîðèÿ øàðèêà Differential Algebraic Equations: Marble Trajectory Steven Finch, MathSoft Engineering & Education, Inc. Êàçàêîâ Þ.Â. ï åðåâîä è ìîäèôèêàöèÿ äîêóìåíòà 22 Èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü, 2 2 îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì z x y . Íà åå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê (òî÷å÷íàÿ ìàññà), åãî íà÷àëüíàÿ êîîðäèíàòà ( x y z) 0 H H. Îïðåäåëèòü õàðàêòåð äâèæåíèÿ è òðàåêòîðèþ øàðèêà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò åìó ïðèäàåòñÿ ñêîðîñòü v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñè Îõ. Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ L x y z x' y' z' m d2 2 : 1 m x'2 y'2 z'2 ( m g z) x2 y2 z 2 x ( t) 2 x ( t) ( t) y ( t) 2 y ( t) ( t) z( t) m g ( t) dt m d2 2 2 x y 2 z dt m d2 2 dt Äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé ñâÿçè: 2 x x' 2 y y' 2 2 x x'' x' y y'' y' z' z'' Èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ ðàâåíòñâ íàõîäèì : ( 0) 2 m v g M S 2H 1 23 Ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, íà÷àëüíûå äàííûå, ïàðàìåòð òî÷íîñòè, Áëîê Given-Odesolve m 1 TOL 10 g 9.8 H .25 8 R 2 x ( t) y ( t) Given m x'' ( t) x ( 0) 2 x ( t) ( t) 0 y ( 0) z( 0) x y z v R 2 g k H H H m y'' ( t) x' ( 0) v y' ( 0) 0 z' ( 0) 0 2 z( t) 2 y ( t) ( t) ( 0) 2 m v g 2H 1 m z'' ( t) m g ( t) x y Odesolve t end z 24 k 0.39 Ãðàôèêè ïðîñòðàíñòâåíûõ êîîðäèíàò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðè 0.5 x ( t) 0.5 y ( t) 0 0.5 0 2 4 0 0.5 6 t 0 2 4 6 t 0.40 0.41 0.46 0.2 z ( t) 0.1 0 0 2 4 t 6 z 0.4 0.0447 0.41 0.042 0.42 0.04 0.43 0.0387 0.44 0.0381 0.45 0.0382 0.46 0.039 25 2 2 F( u v) u v x ( t) G ( t) y ( t) z( t) M CreateMesh F H H H H S CreateSpace ( G 0 end 500) M S M S k 0.39 v 0.863 end 6 26 Траектория движения по окружности при v=2.214 м/сек M S M S k1 v 2.214 end 6 27 Расчет скорости стационарного движения по окружности sin 1 2 2 R .25 cos R 2 H tan 2 R R .25 N cos m R N sin m g 2g V R R 2 R 2 2 V R 2g 28 Ссылки и литература 1. 2. 3. 4. http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html http://www.exponenta.ru/forum/viewforum.asp?f=1 http://collab.mathsoft.com 1. Айзерман М .А . Классическая механика . – М .: Наука ,1974, 1980. 2. Маркеев А .П . Теоретическая механика . – М .: Наука ,1990. 3. Бухгольц Н .Н . Основной курс теоретической механики . – М .: Наука , 1966. 4. Журавлев В .Ф . Основы теоретической механики . – М .: Наука , 1997. 29