Спектральная плотность стационарной случайной функции

Спектральная плотность
стационарной случайной функции
1. Основные понятия спектральной
плотности
2. Статистический метод анализа
САУ
3. Статистическая проверка гипотез
1. Основные понятия спектральной
плотности
Стационарность модели движения колеса
автомобиля по микропрофилю дороги
связана с тем, что преобразование
случайной функции микропрофиля в
случайный процесс воздействия
осуществляется линейным
преобразованием аргумента перемещения
вдоль оси дороги в аргумент времени этого
перемещения.
При нелинейной связи аргументов генерируемое
стационарным микропрофилем возбуждение
утрачивает признаки стационарности – т.е. при
неустановившихся режимах движения
автомобиля с изменяющейся скоростью
случайная модель микропрофиля в виде
случайной стационарной функции не дает
оснований для позитивных характеристик его
воздействия на автомобиль, известных для
стационарных процессов.
Воздействие одного и того же
микропрофиля при разгоне и торможении
автомобиля будет совершенно
различным.
Отработанных методик оценки
нестационарного процесса
воздействия такого типа не имеется.
При равномерном движении
автомобиля с постоянной скоростью
описание модели микропрофиля
легко преобразуются в модели
воздействия с такими же общими
признаками — стационарностью,
гауссовским законом, эргодичностью
и центрированностью.
1 Эргодичность — специальное свойство
некоторых изменяющихся (динамических)
систем, состоящее в том, что почти каждая точка
её с определённой правильностью проходит
вблизи любой другой точки системы.
2 При расчетах трудно рассчитываемое время
можно заменить фазовыми (пространственными)
показателями.
3 Система, в которой фазовые средние
совпадают с временными, называется
эргодической.
4 Эргодические системы можно описывать
статистическими методами. Например,
температура газа — это мера средней энергии
молекулы
Дисперсия случа́йной величины́ —
мера разброса данной случайной величины,
т.е. её отклонение от математического
ожидания.
Квадратный корень из дисперсии
называется среднеквадрати́чным
отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием
или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех
же единицах, что и сама случайная
величина, а дисперсия измеряется в
квадратах этой единицы измерения.
корреляция - статистическаяю зависимость
соседних чисел. Исходным параметром
является нормированный коэффициент
корреляции, который определяет
нормированную корреляцию соседних
отсчетов случайного процесса и практически
задается из интервала от 0.9 до 0.9999.
Когда этот коэффициент равен 1, то все
значения случайного процесса становятся
одинаковыми, а когда этот коэффициент
стремится к 0, то получается модель
дискретного белого гауссовского шума.
1. Статистический метод анализа САУ
Задача анализа САУ состоит в определении точности работы
системы (в определении ее ошибок) в случае, если задающие
и
возмущающие
воздействия
представляют
собой
стационарные случайные процессы. В частном случае
задающее воздействие может быть регулярной, т. е. заданной
функцией времени или содержать регулярные составляющие.
На
первом
этапе
анализа
САУ
определяются
статистические характеристики случайных воздействий —
корреляционная функция R (т) и спектральная плотность S
(со), являющиеся неслучайными функциями.
Второй этап анализа состоит в преобразовании случайной
функции
линейной
системой.
Задача
линейного
преобразования случайной функции сводится к задаче такого
же линейного преобразования нескольких неслучайных
функций, являющихся ее статистическими характеристиками.
Статистический метод совокупность взаимосвязанных
приемов исследования массовых
объектов и явлений с целью
получения количественных
характеристик и выявления общих
закономерностей путем устранения
случайных особенностей
отдельных единичных наблюдений
Многомерная
классификация данных
при помощи кластерного
анализа - предназначен
для разбиения
совокупности объектов
на однородные группы
(кластеры или классы).
Существует 2 основные
разновидности:
1 Иерархический кластерный
анализ
2 Кластеризация методов kсредних.
Метод работает даже
тогда, когда данных мало
и не выполняются
требования нормальности
распределений случайных
величин и другие
требования классических
методов статистического
анализа
Вы провели анкетирование сотрудников и хотите
определить, каким образом можно наиболее
эффективно управлять персоналом, т.е. необходимо
разделить сотрудников на группы и для каждой из них
выделить наиболее эффективные рычаги управления.
При этом различия между группами должны быть
очевидными, а внутри группы респонденты должны
быть максимально похожи.
Иерархический кластерный анализ
Кластер
Му
ж
30-50
лет
>50
лет
Льго
ты
з/п
ста
ж
Образ
ов.
1
80
%
90%
5%
70
%
10
%
12%
95
%
30
%
30%
2
40
%
35%
45%
13
%
60
%
70%
60
%
40
%
20%
3
50
%
70%
10%
5%
30
%
20%
70
%
20
%
50%
Рук. Мед
Чтобы при стационарном воздействии выходная
величина системы была тоже стационарной,
необходимо, чтобы параметры системы были
постоянными, т. е. чтобы и система была
стационарной.
Пусть на вход системы с комплексной передаточной
функцией поступает стационарный случайный
сигнал. Для определения спектральной плотности
случайного процесса применяется интеграл Фурье
Каждое элементарное колебание,
приложенное к системе, вызовет на ее
выходе реакцию. Для линейной системы
в соответствии с принципом
суперпозиции реакция системы на сумму
воздействий равна сумме реакций на
отдельные воздействия. Следовательно,
реакцию системы на воздействие можно
представить в виде суммы реакций,
вызванных бесконечным рядом
парциальных колебаний.
Пример: На испытательной дороге с
высокочастотным составом неровностей
сглаживание должно проявляться особенно
выразительно, так как основные элементы
конструкции покрытия (выступающий булыжник)
меньше длины пятна контакта шины.
Спектральная плотность сглаженного воздействия
зависит от скорости движения. Для одного и
того же микропрофиля при изменении скорости
существенно изменяется исходный спектр
воздействия, а операция сглаживания, в свою
очередь, меняет спектр воздействия в
зависимости от скорости движения.
При скорости более 40 км/ч спектральная
плотность стационарного случайного процесса
воздействия дороги типа бельгийская мостовая
вследствие сглаживающих свойств шины
уменьшается незначительно. По сравнению с
исходным значением при частотах 60— 65 рад/с
это снижение составляет около 50 %. При 20 км/ч
спектральная плотность стационарного
случайного процесса воздействия из-за
сглаживания в этом же диапазоне частот
снижается более чем в 10 раз. Практически это
означает, что с понижением скорости движения
воздействия на автомобиль неровностей дороги
снижаются прежде всего в результате
сглаживающих свойств шины.
3 Статистическая проверка гипотез
Зачастую статистическое изучение
явления базируется на данных
выборочного наблюдения. Поэтому
любое статистическое исследование
использует определенные
предположения, допущения - гипотеза.
Однако не каждое такое предположение
называется гипотезой. Статистическими
гипотезами называются только те
предположения, которые можно
проверить, опираясь на имеющиеся
данные наблюдения.
В математической статистике
одним из основных ее разделов
является теория испытания
(проверки) гипотез. Смысл проверки
статистической гипотезы состоит в
том, чтобы по имеющимся
статистическим данным принять или
отклонить статистическую гипотезу с
минимальным риском ошибки. Эта
проверка осуществляется по
определенным правилам.
Статистическая проверка гипотез
имеет вероятностный характер принятие решения по тем или иным
результатам статистического
изучения данного явления.
Если вероятность ошибки невелика,
то статистические показатели
исчисленные при изучении явления,
могут быть использованы для
практических целей при малом
риске ошибки.
При проведении экономико-статистических
исследований в первую очередь приходится
решать задачи статистической проверки
гипотез о:
1) принадлежности «выделяющихся» единиц
исследуемой выборочной совокупности
генеральной совокупности;
2) виде распределения изучаемых признаков;
3) величине средней арифметической и доли;
4) наличии и тесноте связи между
изучаемыми признаками;
5) о форме корреляционной связи
При проверке гипотез возможны ошибки
двоякого рода:
1) Ошибка первого рода – проверяемая
гипотеза (ее обычно называют нулевой
гипотезой и обозначают Н0) является в
действительности верной, но
результаты проверки приводят к
отказу от нее;
2) Ошибка второго рода – проверяемая
гипотеза в действительности
является ошибочной, но результаты
проверки приводят к ее принятию.
Для уточнения и проверки нулевой гипотезы
рассматривают гипотезу являющуюся, ее
логическим отрицанием или расширением и
дополнением. Она называется
альтернативной, конкурирующей
(противоположной) и обозначается Н1.
Альтернативная гипотеза может быть
сформулирована по-разному в зависимости от
возможных пределов изменения значений
изучаемого статистического показателя, какие
отклонения от принятого уровня значимости
интересуют исследователя. Правило, по
которому проверяется гипотеза, называется
статистическим критерием.