Глава 4

Глава 4
Формирование изображений
Формирование изображения в когерентной оптической системе
Пусть плоский предмет, находящийся на расстоянии d 0 перед положительной линзой, как
показано на рис. 4.1, освещен монохроматическим светом.
Рис. 4.1. Схема получения изображения
Обозначим комплексное поле непосредственно за предметом U 0 ( x0 , y0 ). Распределение
поля, которое возникает непосредственно за линзой на расстоянии d i ,обозначим через U i ( xi , yi ).
Необходимо определить условия, при которых поле U i можно считать "изображением" предмета
в плоскостиU 0 . Ввиду линейности явления распространением волн поле U i всегда можно
представить в виде интеграла суперпозиции:
U i ( xi , yi ) 
 
  h( xi , yi ; x0 , y0 )U 0 ( x0 , y0 )dx0 dy0

(4.1)
где h( xi , yi ; x0 , y0 ) - амплитуда в точке ( xi , yi ) поля, созданного точечным источником единичной
амплитуды, расположенным в точке ( x0 , y0 ) предмета. Таким образом, h( xi , yi ; x0 , y0 ) является
импульсным откликом системы, формирующей изображение. Для определения h допустим, что
в точке с координатами ( x0 , y0 ) находится точечный источник, описываемый  -функцией. В
этом случае на линзу будет падать расходящаяся сферическая волна, которую в приближении
Френеля для исходного поля p( x, y, z )   ( x  x0 , y  y0 ) можно записать в виде:
 ik

1
exp 
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 
(4.2)
id 0
 2d 0

После прохождения через линзу распределение поля принимает вид:
 ik 2

U il ( x, y)  U i ( x, y) P( x, y) exp 
( x  y 2 )
(4.3)
 2f

где конечный размер апертуры линзы учитывается с помощью функции зрачка P( x, y) .
При дальнейшем распространении света на расстояние d i в приближении Френеля получаем:
U i ( x, y ) 
 ik
1   l
h( xi , yi ; x0 , y0 ) 
U i ( x, y ) exp 
( xi  x) 2  ( yi  y ) 2


i d i    
 2d i

dxdy (4.4)

где опущен постоянный фазовый множитель. Комбинируя (4.2), (4.3), (4.4), получаем
окончательное выражение:
 ik

1
h ( xi , y i ; x 0 , y 0 )  2
exp 
( xi2  yi2 ) 
 d0di
 2d i

 
 ik  1 1 1  
 ik 2 2 
 exp 
( x0  y0 )   P( x, y ) exp     ( x 2  y 2 ) 
 2d 0
  
 2  d 0 di f  

 x
x  y
y   
 exp ik  0  i  x   0  i  y  dxdy

 d 0 d i   d 0 d i   
 ik

exp 
( xi2  yi2 )
 2d 0
 не влияет на величину интенсивности поля при вычислении
Множитель
интеграла суперпозиции (4.1) с использованием (4.5), т.к. не зависит от переменных ( x0 , y0 ) .
Для фазового множителя
 ik

exp 
( x02  y02 )
 2d 0

в случае практически идеального изображения справедливо приближение:
 ik  xi2  yi2 
 ik
2
2 


exp 
( x0  y0 )  exp 
2
2
d
2
d

(4.6)

 0

 0
d
 i
где
d 0 увеличение оптической системы. Теперь экспоненциальный множитель можно
опустить, т.к. он не зависит от ( x0 , y0 ) и, следовательно, не влияет на результат измерения
интенсивности в плоскости ( xi , yi ) . Тогда выражение для импульсного отклика можно записать
в виде:
1 
h( xi , yi ; x0 , y0 )  2
P( x, y) exp


 d 0 di 
 ik  1 1 1  2 2 
    ( x  y ) 
 2  d 0 di f 


 x0 xi 
 y0 yi   




 exp  ik 
  x  
  y  dxdy

 d 0 di   
 d 0 di 


(4.7)
Когда плоскость наблюдения расположена на расстоянии di от линзы так, что удовлетворяется
соотношение
1
1 1
(4.8)
  0
d0 di f
которое в геометрической оптике называется формулой линзы, то импульсный отклик системы
близок к идеальному и имеет вид:
   x0 xi   y0 yi  
1 
h( xi , yi ; x0 , y0 )  2
P( x, y) exp  ik     x     y  dx dy


 d 0 d i  
   d 0 d i   d 0 d i  
(4.8)
Исходя из определения увеличения системы как   d i / d 0 , находим последний упрощенный
вид импульсного отклика:
1 
h ( xi , y i ; x 0 , y 0 )  2
P( x, y ) exp


 d 0 d i  
 2 i

( xi   x0 ) x  ( yi   y0 ) ydx dy

  di

(4.10)
Таким образом, если формула линзы справедлива, то импульсный отклик соответствует
картине дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, причем центр картины находится в точке
изображения ( xi    x0 , yi    y0 ) .
Рассмотрим оптическую систему, состоящую из нескольких линз, среди которых могут
быть как положительные, так и отрицательные и не обязательно тонкие. Будем считать, что
все элементы, создающие изображение, помещены в "черный ящик". Свойства такой системы
можно полностью описать, определяя только конечные свойства этого устройства. Входом
этого "черного ящика" служит входной зрачок, представляющий собой отверстие конечных
размеров, а выходом - выходной зрачок. Оптическая система называется дифракционно
ограниченной, если она преобразует расходящуюся сферическую волну, исходящую из любого
точечного источника, в новую идеальную сферическую волну, которая сходится в точке,
лежащей в плоскости изображения. Таким образом, конечное свойство дифракционно
ограниченной системы линз заключается в том, что она преобразует расходящуюся
сферическую волну, падающую на входной зрачок, в сходящуюся сферическую волну,
выходящую через выходной зрачок.
Если в действительности фронт волны от точечного источника после выходного зрачка
значительно отличается от идеальной сферической формы, то говорят, что оптическая система
имеет аберрации.
В выражении (4.10) для h( x i , y i ; x o , y 0 ) произведем замену переменных:
x ~
y ~
~
x
;y 
; x0    x0 ; ~
y0    y0 ,
 di
 di
тогда получим:
 
x0 ~
x   yi  ~
yi ~
y )d~
x d~
y
h( xi  ~
xo ; yi  ~
y0 )     P ( ~
x  di , ~
y  di )  exp( 2 i xi  ~
(4.11)

~
x0 ~
y0 
~
~

 , где U - идеальное изображение в приближении
U
(
x
,
y
)


U
,
g
0
0
0

Вводя определение
g




геометрической оптики, получим:
 
(4.12)
U (x , y ) 
h( x  ~
x ;y ~
y )U ( ~
x ,~
y )d~
x d~
y,
i
i
 
i
h( xi , yi ) 
 
 
i
0
i
0
g
0
0
  P( di x ,  di y ) exp(2 i( xi x  yi y ))dx dy
~
~
~
~
~ ~
(4.13)
 
Таким образом, изображение можно представить как свертку идеального изображения и
импульсного отклика, который определяется входным (выходным) зрачком системы.
Вычислим передаточную функцию оптической системы формирующей изображение при
когерентном освещении. Определим передаточную функцию как фурье-образ пространственно
- инвариантного импульсного отклика:
H( fx, fy ) 
 
  h( xi , yi ) exp(2 i( f x xi  f y yi )dxi dyi
(4.14)
Хотя соотношение (4.13) определяет H ( f x , f y ) как Фурье-образ функции h , эта последняя
функция сама определяется преобразованием Фурье (4.14). Таким образом для дифракционно
ограниченной системы справедливо
 
H ( f x , f y )  F F P( di ~
x ,  di ~
y   P( di f x , di f y )
(4.15)
Последнее равенство означает, что в частотной области дифракционно ограниченная система
имеет конечную полосу пропускания (т.к. функция зрачка P всегда равна или единице или
нулю), внутри которой все частотные составляющие пропускаются без искажения амплитуды и
фазы. Это утверждение справедливо только для оптической системы без аберраций. Аберрации
вносят искажения внутри полосы пропускания. В дальнейшем определим P в отраженной
системе координат, тогда
H ( f x , f y )  P( di f x ,  di f y )
(4.16)
4.2 Аберрации и их влияние на частотный отклик
Рассмотрим влияние аберраций, или отклонений волнового фронта в выходном зрачке
от сферической формы. Аберрации могут быть обусловлены различными причинами, начиная
от самых простых, как, например, ошибка фокусировки, и кончая довольно сложными,
связанными со свойствами самих идеально сферических линз. Вначале остановимся на самых
простых эффектах.
Если оптическая система является дифракционно ограниченной, то импульсный отклик
при когерентном освещении представляет собой картину Фраунгофера на выходном отверстии
с центром в точке идеального изображения.
В случае искажения волнового фронта, например, за счет аберраций, можно
представить, что выходной зрачок освещается идеальной сферической волной, но в пределах
отверстия находится фазовая пластинка, деформирующая выходящий из зрачка фронт волны.
Если фазовая ошибка в точке (x,y) выходного зрачка изображается как kW ( x, y ), где
k  2 /  , а W - эффективная погрешность длины пути, то комплексный коэффициент
пропускания воображаемой фазовой пластинки можно представить в виде:
(4.17)
P( x, y )  P( x, y ) exp( ikW ( x, y ))
Комплексную функцию P ( x, y ) можно считать обобщенной функцией зрачка. Импульсный
отклик когерентной системы с аберрациями представляет собой картину дифракции
Фраунгофера на отверстии с коэффициентом пропускания P( x, y ) .
При рассмотрении дифракционно ограниченной когерентной системы передаточная
функция была определена с учетом того, что, во-первых, импульсный отклик соответствует
Фурье-образу зрачка, и, во-вторых, когерентная передаточная функция является Фурьеобразом импульсного отклика. Как следствие соотношений между двумя преобразованиями
Фурье было найдено, что передаточная функция пропорциональна функции зрачка P .
Подобными рассуждениями можно воспользоваться и при наличии аберраций, если заменить
функцию P на обобщенную функцию зрачка P . В таком случае передаточная функция при
когерентном освещении запишется следующим образом:
H ( f x , f y )  P( di f x ,  di f y ) exp(ikW ( di x,  di y))
(4.18)
Очевидно, что при когерентном освещении ограничение полосы пропускания
передаточной функции, которое обусловлено конечным размером выходного зрачка, не
зависит от наличия аберраций.
Аберрации вводят только фазовые искажения в
пределах полосы пропускания. Разумеется, фазовые искажения могут оказать некоторое
влияние на точность воспроизведения.
Рассмотрим конкретные виды аберраций. Одной из самых простых аберраций, является
ошибка фокусировки. Условие, при котором предмет находится в фокусе, определяется
формулой линзы. Если плоскость изображения не совпадает с фокальной плоскостью, то
справедливо более общее соотношение
1 1 1
(4.19)
  
di d 0 f
Из (5.8), следует, что функция аберрации при расфокусировке имеет вид
W ( x, y)   x 2  y 2 / 2 (4.20)
Для дальнейшего рассмотрения аберраций произведем разложение функции W ( x, y) в ряд.
Учитывая круговую симметрию задачи можно показать, что в разложении W в ряд по степеням
обеих координат нечетные степени будут отсутствовать. Членов нулевой степени также не
будет, т.к. W (0,0)  0. Не будет и членов второй степени, которые учитываются при
расфокусировке оптической системы. Будем считать, что система сфокусирована, и
наблюдается параксиальное изображение. Тогда, разложение функции W в ряд имеет вид:
W  W ( 4)  W (6)  ..., (4.21)
где W ( 2 k ) - полином степени 2к, описывает волновую аберрацию порядка 2к. Аберрации
наинизшего порядка (2к=4) обычно называют первичными аберрациями или аберрациями
Зайделя. В полярной системе координат: x  p cos q , y  p sin q , первичные аберрации имеют
вид:
W ( 4)  B 4  C 2Cos2  D 2  ECos  F 3Cos
(4.22)
где (B,C,D,E,F) - постоянные, измеряемые в долях световой волны. В частном случае равенства
нулю всех коэффициентов в (4.22) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок,
представляет собой сходящуюся сферическую волну. В общем случае эти коэффициенты
отличны от нуля. Тогда каждый член в (4.22) описывает определенный тип отклонений
волнового фронта от правильной сферической формы.
1. Сферическая аберрация ( B  0; C , D, E , F  0) .
Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей,
центры которых расположены в точке изображения. Наличие сферической аберрации
эквивалентно тому, что в плоскости выходного зрачка волновой фронт умножается на функцию
2

 x 2  y 2  
  (4.23)
ts  exp 2 iAs 
2
R


 
где As - коэффициент сферической аберрации, измеряемый в длинах волн (0,1,2,4...). R- радиус
апертуры выходного зрачка.
2. Кома ( F  0) .
В плоскости выходного зрачка при наличии комы волновой фронт умножается на функцию

 x2  y 2 
tc  exp  iAc x 

3
(4.24)
R



где Ac - коэффициент аберрации при коме, измеряемый в длинах волн.
3. Астигматизм(C  0) .
В случае астигматизма выходной волновой фронт умножается на функцию

 x2  y 2 
ta  exp 2 iAa 

2
R



(4.25)
где Aa - коэффициент аберрации при астигматизме.
4. Кривизна поля ( D  0) .
Волновой фронт при наличии такой аберрации в плоскости выходного зрачка умножается на
функцию

 x 2  y 2 
t k  exp 2 iAk 

2
(4.26)
 R


где Ak - коэффициент аберрации. Эффект кривизны поля состоит в смещении вдоль оптической
системы плоскости изображения.
5. Дисторсия ( E  0).
В случае дисторсии выходной волновой фронт умножается на функцию
x

(4.27)
td  exp 2 iAd 
R

где Ad - коэффициент аберрации. Эффект дисторсии состоит в смещении изображения в
плоскости, перпендикулярной оси оптической системы.
Из пяти аберраций Зайделя три (сферическая аберрация, кома и астигматизм) нарушают
резкость изображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение. В
некоторых случаях аберрации Зайделя можно уменьшить за счет аберраций более высокого
порядка.
Согласно результатам, изложенным выше, учет аберраций в оптической системе может
осуществляться путем умножения распределения света в фокальной плоскости (плоскости
спектра) оптической системы на функцию P( di f x ,  di f y ) .
Найдем вид функции P для различных аберраций в случае формирования изображения
в двойной оптической системе. Имея в виду, что
x
x
fx  f , f y  f
f
f
где (x ,y )- декартовы координаты в плоскости спектра, d i  f , получим функцию P в виде
P  P( x f , y f ) expikW ( x f , y f ) (4.28)
Соответственно в случае
1. сферической аберрации:
4

 x 2f  y 2f  


Ts ( x f , y f )  exp 2 iAs 
 R 2  
f


 
2. Комы:


x


Tc ( x f , y f )  exp 2 iAc f 3 x 2f  y 2f 
Rf




3. Астигматизма:

 x 2f  y 2f 

Ta ( x f , y f )  exp 2 iAa 
2


R

f


4. Кривизны поля:

 x 2f  y 2f 

Tk ( x f , y f )  exp 2 iAk 
2



 Rf

5. Дисторсии:

x f 
Td ( x f , y f )  exp 2 iAd

R f 

где Ts , Ta , Tc , Tk , Td - функции аберрации, на которые умножается спектр входного поля, R f половина размера спектра пространственных частот, соответствующая максимальной частоте,
пропускаемой оптической системой, ( As , Aa , Ac , Ak , Ad ) коэффициенты аберрации.