Примеры оптимизируемых функций

Теория и методы
проектирования оптических
систем
Электронная презентация
Лекция № 5
Оптимизация оптических систем
Принципы оптимизации
1
«Стартовая
точка»
2
Переменные
(параметры
оптимизации)
3
Ограничения
(границы изменения
параметров)
4
Функции
оптимизации
1
«Стартовая точка» - исходная оптическая
система, полученная на этапе синтеза
2 Параметры оптимизации – параметры
оптической системы, которые могут изменяться
в процессе оптимизации (толщины, воздушные
промежутки, радиусы кривизны, параметры
асферичности и др.)
3. Пределы изменения параметров указываются
при необходимости
4. Определить казать требуемые значения
характеристик оптической системы (значения
отрезков, фокусных расстояний, увеличений,
значения волновых, поперечных аберраций и
др.)
Оптимизируемые функции
Примеры оптимизируемых функций:
•
Аберрации – поперечные, продольные, волновые,
хроматические, астигматические отрезки, астигматизм,
кривизна изображения, дисторсия
•
Коэффициенты Цернике , описывающие волновой фронт на
выходе оптической системы (ОПАЛ)
•
Алгебраические функции из аберраций и др.: для
исправления комы необходимо равенство по модулю, но
противоположность по знаку поперечных аберраций на
верхнем и нижнем краю зрачка. Для достижения этого в
качестве оптимизируемой функции задают сумму значений
поперечной аберрации на верхнем и нижнем краю зрачка, а
требуемое значение - ноль.
•
Среднеквадратическое отклонение волнового фронта от
референтной сферы в пределах зрачка.
•
Среднеквадратическое отклонение поперечной аберрации
•
Размах волновой аберрации или поперечной аберрации
Граничные условия,
функции-равенства, связи
В
некоторых
случаях
для
проведения
оптимизации
(автоматизированной коррекции) задания оптической системы,
переменных и оценочной функции недостаточно
1 2 3 4 5 6
а
б
в
а - Малая толщина по краю
б - Виньетирование из-за малой
толщины линзы
в - Слишком большая толщина
При оптимизации
симметричного окуляра
необходимо задать связи
между параметрами
Оценочная функция
• Для оценки результата оптимизации вводится
оценочная функция (Merit Function (OPAL,
ZEMAX), Error Function (CODE V))
f ( X )   wi (ai ( X )  a~i )
X – вектор изменяемых параметров оптической системы,
ai – i-ая характеристика оптической системы (текущее значение)
a~i– требуемое значение характеристик оптической системы,
wi – весовые коэффициенты
Идеальный случай - при оптимизации все требования выполнены,
тогда оценочная функция f(X) = 0;
 f f f
f
В реальности ищется минимум: f ( X )  
,
,
,...,
 x x x
xN
2
3
 1

  0

Локальная оптимизация
Чаще всего «оптимизация» = локальная оптимизация, то есть
поиск локального минимума оценочной функции
f(x)
A
B
C
x
Из стартовой точки А – попадем в точку B
В точке С – минимум оценочной функции
В точке В – локальный минимум
Алгоритмы локальной оптимизации не могут преодолеть максимума,
работают всегда по принципу уменьшения оценочной функции
Метод Ньютона
Случай одной переменной x
Разложив оценочную функцию в
ряд Тейлора и ограничиваясь
первыми
двумя
членами
разложения, получим:
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )x
x  x  x0
x0 – начальное значение параметра
Если f(x) = 0 :
x   f ( x0 ) / f ' ( x0 )
Значение производной находят численным методом – как изменение
функции при малом изменении параметра
Находят новую точку , процесс повторяют.
Метод Ньютона используют редко
Примеры оптимизации в
различных программах
САРО
Описание оптической системы
Аберрации оптической системы:
Примеры оптимизации в
различных программах
САРО
Варианты описания параметров оптимизации
При оптимизации изменяются
радиусы всех трех поверхностей
склеенного объектива
Добавлена
возможность
изменения толщин линз, но
введены ограничения
Описание оптимизируемых функций:
Исправление поперечной сферической
аберрации и неизопланатизма на краю
зрачка,
фиксирование
фокусного
расстояния
Исправление волновой сферической
аберрации, волновой хроматической
аберрации и неизопланатизма на краю
зрачка,
фиксирование
фокусного
расстояния.
Примеры оптимизации в
различных программах
САРО
Графики поперечных аберраций
после оптимизации сферической
аберрации на краю зрачка:
Графики волновых аберраций после
оптимизации сферической аберрации
на краю зрачка и сведения к нулю
разницы волновых аберраций для
двух дополнительных длин волн
Вид системы после оптимизации с
толщинами
Примеры оптимизации в
различных программах
Zemax
Исходная оптическая система – склеенный объектив, фокусное
расстояние 79,5 мм, относительное отверстие 1:5, угловое поле 2w=3O
Описание оптической системы и графики аберраций, вид пятен
рассеяния до оптимизации
Примеры оптимизации в
различных программах
Zemax
Описание Merit Function:
Операнды:
EFFL – фокусное расстояние, требуемое значение 79,5
TRCY – значение поперечной аберрации
Обязательно указывается весовой коэффициент (weight)
После оптимизации графики аберраций для
осевом пучке(основная длина волны):
После оптимизации графики аберраций
для осевом пучке (три длины волны):
Примеры оптимизации в
различных программах
Zemax
Добавление требования равенства поперечных аберраций на краю
зрачка в осевом пучке для двух дополнительных длин волн:
Поперечные аберрации
(осевой пучок)
после оптимизации
Примеры оптимизации в
различных программах
ОПАЛ
Описание оптической системы:
Аберрации осевого пучка:
Возможность оптимизации геометрических и волновых аберраций:
Примеры оптимизации в
различных программах
ОПАЛ
Примеры оптимизации в
различных программах
ОПАЛ
Структура файла:
PAR(*) – параметры оптимизации
C – кривизна, D – толщины
EQF(*)
–
Функции-равенства
(функции,
поддерживаемые
неизменными при оптимизации)
VGO – обобщенное увеличение (в
данном случае равно - f’), SG’ –
положение плоскости изображения
(задний отрезок)
MF(*) – перечень оптимизируемых
функций (DSA, DYA – продольная и
поперечная сферическая аберрация,
DPA - неизопланатизм
D>(1), D<(1) –
величины толщин
ограничения
на
Примеры оптимизации в
различных программах
ОПАЛ
Графический
режим:
Результаты оптимизации:
Заключение
1. Для проведения оптимизации необходимо определить исходную
стартовую точку, изменяемые параметры (при необходимости
диапазон их изменения) и оптимизируемые функции
2. Оптимизация чаще всего представляет собой процесс так
называемой локальной оптимизации, поэтому результат сильно
зависит от выбора «стартовой точки»
3. Результаты оптимизации зависят от требуемой
достижения результата (весов функций или допусков).
точности
4. Результаты оптимизации будут различными при различной
конструкции оценочной функции и зависят от программы, в которой
выполняется автоматизированная коррекция