ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
advertisement
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В настоящее время разработано большое число методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. К их числу можно отнести метод РунгеКутта, явный и неявный методе Эйлера, метод Милна и т. д. Однако, несмотря на большое разнообразие этих методов, алгоритм программ для всех их примерно одинаков и состоит из следующих блоков, а именно: Алгоритм программ • блока исходных и расчета дополнительных данных; • блока формирования начальных условий и итерационных циклов; • блока формирования итерационных уравнений в зависимости от принятого метода численного интегрирования дифференциальных уравнений; • блока формирования решения дифференциальных уравнений и обработки полученных результатов. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Основным элементом численных методов является производная функции. Производная функции - есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной dy y = lim dx x 0 x При численном нахождении производной заменяют отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента y y j y j 1 x x j x j 1 отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной. Методы графического представления производной В основе методов графического представления производной лежит геометрический смысл производной. Для вычисления первой производной разработаны двухточечные методы численного дифференцирования. Двухточечные методы Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δ x = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования Метод 1 dy y y ( x x) y ( x) dx x x Метод 2 dy y y ( x) y ( x x) dx x x Метод 3 dy y y ( x x) y ( x x) dx x 2x Численное решение дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида dy F ( x, y , или dx )0 dy f ( x, y ) dx Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения. Метод Эйлера В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения dy f ( x, y ); dx c начальными условиями y0=y(x0) Варианты вывода формул Существуют аналитический и графический варианты вывода расчетных формул метода Эйлера y f ( x, y ) Представим это уравнение в виде dy y f ( x, y ) dx x Тогда можно записать: y y1 y0 ; x x1 x0 h; y1 y0 f ( x, y ). h Расчетные формулы 1-го шага Тогда расчетные формулы для первого шага можно представить в виде: y1 y0 h f ( x0 , y0 ); x1 x0 h. Расчетные формулы i-го шага Расчетные формулы i-го шага по аналогии с первым шагом можно записать в виде: yi 1 yi h f ( xi , yi ); xi 1 xi h. Если обозначить ki h f ( xi , yi ) то расчетные формулы можно записать в виде yi 1 yi ki ; xi 1 xi h. Численное решение системы дифференциальных уравнений Системой дифференциальных называется система вида уравнений dy1 f ( x , y , ... y ), 1 n dx dy2 f ( x, y1 , ... y n ), dx ....................... dyn f ( x, y1 , ... y n ). dx или dyi fi ( x, y1 ,.... yn ), i 1...n, dx где x – независимый аргумент, yi – зависимая функция, yi|x=x0=yi0 – начальные условия. Функции yi(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системы дифференциальных уравнений. Метод Эйлера Итеррацонные уравнения для численного решения системы дифференциальных уравнений можно записать в виде: yij 1 yij hfi ( xi y1 j y2 j ... ynj ) i 1, n, x j 1 x j h, j номер шага Математическая модель двигателя постоянного тока Математическое описания процессов электромеханического преобразования энергии в двигателе постоянного тока (ДПТ) содержит: • систему уравнений равновесия напряжений, в которых в качестве переменных приняты значения токов в обмотках ОВ и ОЯ; • уравнение механического равновесия; • выражение момента. для электромагнитного В результате определенного вида преобразований получают систему уравнений, описывающую электромеханические процессы в двигателе постоянного тока, в удобном для математического моделирования виде, в форме уравнений Коши: Система уравнений ДПТ diв 1 (U в iв Rв ); dt Lв diя 1 (U я iя Rя Lmiв ); dt Lя d 1 ( Lm iя iв M c ); dt J M Lm iя iв . Для реализации такой модели в среде Mathcad с использованием метода Эйлера необходимо: сформировать исходные данные, которые включают в себя параметры двигателя, напряжения ОВ и ОЯ, суммарный момент инерции двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя; определить и записать начальные условия для исследуемых переменных ДПТ; определяют число итераций. Система итерационных уравнений t j dt U в Rв iв j iв j dt t j 1 Lв iв j 1 iя j 1 i dt U я Rя iя j j Lm iв j я j Lc j 1 dt j ( Lm iя j iв j М с ) J M j Lm iя j iв j
