Обработка и представление результатов измерений

Обработка и представление
результатов измерений
Оценка случайной
погрешности измерений
• Полученные при непосредственном измерении
величины неизбежно содержат ошибки.
• Величина ошибка складывается из систематической
и случайной погрешностей.
• Повторяемость или воспроизводимость результатов
измерений зависит от случайной ошибки. Чем
больше случайная ошибка, тем больше разброс
значений эксперимента около среднего значения.
• Систематическая погрешность отвечает за
правильность измерения. Если присутствует
систематическая погрешность, то это говорит об
отклонении измерения от истинного значения.
• Случайное событие – возможный исход
эксперимента.
• Каждое случайное явление
характеризуется какой-то степенью
возможности, большей или меньшей.
Эту возможность принято оценивать
количественно некоторым числом
называемым вероятностью события.
• Вероятность достоверного события
равна единице, мене достоверного доли единицы, не достоверного - нулю.
Пример
Лаб.
Содержание Al, %
А
0,016
0,015
0,017
0,016
0,019
В
0,017
0,016
0,016
0,016
0,018
С
0,015
0,014
0,014
0,014
0,015
D
0,011
0,007
0,008
0,01
0,009
Е
0,011
0,011
0,013
0,012
0,012
F
0,012
0,014
0,013
0,013
0,015
О
0,011
0,009
0,012
0,01
0,012
Н
0,011
0,011
0,012
0,014
0,013
I
0,012
0,014
0,015
0,013
0,014
К
0,015
0,018
0,016
0,017
0,016
L
0,015
0,014
0,013
0,014
0,014
М
0,012
0,014
0,012
0,013
0,012
• Построим частоту появления каждой
концентрации Al в лабораториях
• Наиболее общий способ задать вероятности
тех или иных значений случайной величины
любой природы состоит в использовании
функций распределения.
• Они могут быть представлены в графической
форме или в виде явной функциональной
зависимости, где аргументом всегда
является значение или набор значений
случайной величины, а функция –
вероятность этих значений или производная
от нее.
• Существует два типа распределения:
интегральное и дифференциальное.
Рассмотрим дифференциальный тип
распределения.
Свойства дифференциальной функции распределения случайной
величины.
1.
  x  0

2.
   x dx  1 . Условие нормировки. Вероятность того, что

случайная величина примет любое из значений во всей ширине
интервала своего существования равна единице, поскольку это
событие достоверно.
Геометрически функция
  x  может быть представлена любой
кривой, удовлетворяющей свойствам 1 и 2.
Виды функций распределения
• 1. Нормальный закон распределения
Гаусса
1
  x 
2
x
e

 x    2
2
dx
• Характер кривой полностью определяется
двумя параметрами  и .
• Математическое ожидание  случайной
величины x определяет центр рассеивания
• Дисперсия  - меру рассеивания величины x
относительно центра
На практике чаще пользуются нормированным
распределением, когда   0 и   1 . Введем замену
x
u  x 
  x
Тогда функция стандартного нормированного
распределения имеет вид
u
1
u2 2
 u  
e
du

2 
  u  не зависит от конкретных параметров  и , поэтому
может быть легко рассчитана и сведена в таблицу.
• Графический вид нормализованного
распределения Гаусса
• График показывает, что
• в области –σ < x < σ на графике сосредоточено 68%
площади распределения,
• в области –2σ < x < 2σ на графике сосредоточено
95.4% площади распределения,
• в области –3σ < x < 3σ на графике сосредоточено
99.7% площади распределения («правило трех
сигм»).
• Правило трех сигм: Нормально распределенная
случайная величина практически никогда не
отклоняется от своего значения более чем на 3σ.
• Пример
• По нормальному распределению
распределен рост людей, находящихся
одновременно в большой аудитории. А
именно: достаточно мало людей очень
большого роста, и столь же мала
вероятность встретить людей очень
малого роста. В основном, легче
встретить людей среднего роста – и
вероятность этого велика.
• Например, средний рост людей составляет, в
основном, 170 см, то есть m = 170. Известно также,
что σ = 20.
• Из графика нормального распределения следует, что
• доля людей с ростом от 150 до 190 (170 –
20 < 170 < 170 + 20) составляет в обществе 68%.
• доля людей от 130 см до 210 см (170 –
2 · 20 < 170 < 170 + 2 · 20) составляет в обществе
95.4%.
• доля людей от 110 см до 230 (170 –
3 · 20 < 170 < 170 + 3 · 20) составляет в обществе
99.7%.
• Например, вероятность того, что человек окажется
ростом меньше 110 см или больше 230 см
составляет всего 3 человека на 1000.
• 2. Распределение Стьюдента
• Распределение случайной величины
аналогичной распределению u, в
которой вместо генерального
стандартного отклонения используется
выборочное стандартное отклонение
среднего значения называется
распределением Стьюдента.
• Вид t-статистики
x 
t
sx
• Функция распределения Стьюдента
зависит только от числа степеней
свободы f = n–1 соответствующего
стандартного отклонения. Чем меньше
f, тем более пологий ход имеет кривая.
Характеристики случайной
величины
• Генеральная совокупность состоит из всех
мыслимых в данных условиях измерениях.
• Выборочная совокупность (выборка)
включает небольшое число измерений.
• В соответствии с этими понятиями различают
генеральные и выборочные характеристики
случайной величины. При этом выборочная
рассматривается как оценка генеральных
характеристик.
• Важнейшими из этих параметров
являются математическое ожидание и
дисперсия. Математическое ожидание
характеризует центр рассеяния, а
дисперсия - меру рассеяния.
Математическое ожидание непрерывной случайной
величины задается интегралом
M  x 

 x  x dx .

Математическое ожидание выражает усреднение
случайной величины x при помощи закона
распределения.
Генеральное средние случайной величины
  M  x .
В частном случае для равномерно распределенной
конечнозначной случайной величины можно записать
n
x
x
i 1
n
– выборочное средние случайной величины.
Генеральная дисперсия случайной величины для генеральной
совокупности определяется как математическое ожидание
квадратов ее возможных отклонений от генерального среднего
2
M  x     



  x      x dx .
2

Тогда
2

  x   M  x     – генеральная дисперсия случайной


величины,
2
  x    2  x  – генеральное стандартное отклонение
(среднеквадратичное отклонение) случайной величины,
погрешность измерения,
 2 x 
 x 
 2  x
n
  x
генеральная дисперсия среднего значения
генеральное стандартное отклонение
n
(среднеквадратичное отклонение) среднего значения
Аналогично среднему для выборочной совокупности,
состоящей из n значений случайной величины,
вычисляется по формуле
2
 xi  x 

2
дисперсия выборочной совокупности,
s 
n 1
s  x   s 2  x  выборочное стандартное отклонение
(среднеквадратичное отклонение) отдельного измерения,
sx  
s  x
выборочное стандартное отклонение
n
(среднеквадратичное отклонение) среднего значения.
• Таким образом, учет действия случайных
факторов на измеряемую величину
складывается из двух задач
• 1. Нахождение по данным измерений оценки
генерального среднего.
• 2. Определение степени близости
выборочного среднего к генеральному
среднему, т.е. оценка случайной погрешности
измерения
• Степень близости выборочного среднего к
генеральному среднему оценивают
величиной интервала, центром которого
является среднее значение. Такой интервал
называется доверительным, а вероятность
попадания в него величины доверительной
вероятностью.
Определение величины интервала, в котором
может находится случайная величина
(x)
p=1-


-xp
1=
x=0
xp2=1-
• С помощью функции распределения можно
рассчитать вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал возможных
значений:

1    P  x  X  x1
2
2

x1
2
   x dx – вероятность того, что
 x
2
случайная величина Х примет любое значение в заданном
интервале от x до x1 равна площади, ограниченной осью
2
2
абсцисс, кривой   x  и двумя ординатами, соответствующим
точкам x и x1 .
2
2
xp – квантиль уровня p, вероятность попасть левее этой величины
равна p.
• Оценка доверительного интервала с
помощью распределения Стьюдента
(tf)
p=1-


tf
t=0
t1-f
Если задана вероятность, то границы этого интервала
определяется выражением
P  t 2, f  t  f   t1 2, f   1  
t 2, f и t1 2, f t p  f  – квантили уровня p, приведены
в таблицах для разных значений p и f.
Подставим выражение для величины t


x 
 t1 2, f   1   .
P  t 2, f 
sx 


Поскольку распределение симметричное,
то t 2, f = t1 2, f .
P  x  t1 2, f s  x     x  t1 2, f s  x    1  
Это уравнение выражает вероятность p=1–α, с
которой генеральное среднее  попадет в интервал с
концами x  t1 2, f s  x  , x  t1 2, f s  x  .
Величину   x   t1 2, f s  x  называют
доверительным интервалом, случайная погрешность
измерения среднего значения.
Поэтому результат измерения с учетом случайной
погрешности.
x  x    x   x  t1 2, f s  x 
Алгоритм оценки доверительного интервала
n
1. x 
x
i 1
n
2. s  x  
выборочное среднее случайной величины
 x  x 
i
2
стандартное отклонение
n 1
(среднеквадратичное отклонение) отдельного
измерения
s  x
3. s  x  
стандартное отклонение
n
(среднеквадратичное отклонение) среднего значения
4.   x   t p  f  s  x  доверительный интервал
Результат записывают в виде x  x    x  , соблюдая
значимость чисел после запятой и правила округления.