х т

Лекция №10
ИССЛЕДОВАНИЕ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ
АЛГОРИТМОВ
ОБНАРУЖЕНИЯ
СИГНАЛОВ
Одним из важнейших практических
приложений статистической радиотехники
является
возможность
разработки
алгоритмов
обнаружения
полезных
сигналов на фоне помех, и оценить
эффективность работы.
Задача обнаружения сигналов состоит
в принятии однозначного решения: либо
1
сигнал есть (решение
), либо
 0 ).
сигнала нет (решение
Эффективность
работы
алгоритмов
обнаружения
оценивается
рядом
характеристик, к числу которых относят
зависимости вероятностей правильного
обнаружения, ложной тревоги и пропуска
сигнала от исходных данных задачи. Первая
зависимость рассчитывается как функция
отношения сигнал/помеха:
 PS 
D  D 
 Pn 
где Ps и Pn - мощности (дисперсии)
сигнала и помехи, а вторая – как функция
мощности помехи при отсутствии сигнала.
Важнейшей
характеристикой
алгоритма
обнаружения является его эффективность,
оценивается пороговым сигналом.
Пороговым
сигналом
называется
то
минимальное отношение сигнал/помеха по
b  Ps Pn
мощности
, которое при
фиксированном объеме выборки n и заданной
вероятности ложной тревоги F обеспечивает
требуемое значение вероятности правильного
обнаружения D.
Значения F, D и n определяются характером
задач,
в
частности,
в
задачах
радиолокационного
обнаружения
обычно
стремятся обеспечить
7
F  10  10
9
D  0,9  0,99 n  8, 16, 32
Рассмотрим
алгоритм
обнаружения
с
накоплением отсчетов огибающей случайного
процесса на примере задачи обнаружения
флюктуирующего нормального сигнала на фоне
нормального
некоррелированного
шума.
Структурная схема обнаружения показана на
рис.1

xt 
Детектор
огибающей
y t 
S 11
Дискретизатор
fg
yi
Накопитель
Z
Пороговая
схема
Vp
S 0
0
На вход детектора огибающей в
отсутствие полезного сигнала ( S 0 )
поступает
узкополосный
случайный
процесс, который представляет собой
нормальный (гауссовский) шум с нулевым
матожиданием
и
имеет
плотность
распределение вероятности вида:
2

1
x 

f  x S0  
exp 
2 
 n 2
 2 n 
2
где  n - дисперсия (мощность) шума.
При наличии на входе, детектора
полезного сигнала ( S1 ) с нулевым
матожиданием плотность распределения
аддитивной смеси сигнала и шума также
имеет нормальное распределение:
f  x S1  

1
2    n
2
s

x
exp 
2
2
 2 s n
2
2


2

где s - дисперсия сигнала.


 (1)

При выводе формулы (1) использована
теорема сложения дисперсий: дисперсия
суммы
некоррелированных
случайных
величии равна сумме дисперсий слагаемых.
Кроме того, известно что сумма нормальных
процессов
также
распределена
по
нормальному закону. Распределение (1)
удобно записать в виде
f x S  1 


x2

exp  
2
2 2 1  b 
 2 1  b  
1
где
- отношение мощности
b  n
сигнала к мощности помехи.
2
s
2
На
выходе
детектора
выделяется
огибавшая входного случайного процесса.
Известно, что плотность распределения
огибающей
нормального
случайного
процесса при линейном детектировании
описывается законом Релея:
 y2 
f  y S0   2 exp  2 

 2 
при отсутствии сигнала и
y
(2)


y
y
f  y S1   2
exp  2

 1  b   2 1  b  
при наличии сигнала.
2
(3)
yt 
Огибавшая
случайного процесса
поступает на дискретизатор по времени, на
выходе которого формируются дискретные y1
отсчеты
амплитуды
которых
равны
мгновенным значениям огибающей в моменты
стробирования. Моменты взятая отсчетов
огибающей
определяются
частотой
f g . Полученное отсчеты
дискретизации
поступает на накопитель, осуществляющий
суммирование текущих отсчетов. Выходное
напряжение Z , накопителя в этом случае
равно:
n
Z   yi
i 1
(4)
Накопленная сумма сравнивается с
порогом решения V p .
Если в результате сравнения значение
суммы окажется больше
то
Vp
принимается решение о наличии сигнала
( 1
), в противном случав –
альтернативное решение (
 0 ) , т.к.
вид решения зависит от выполнения
условия
n
Z   yi  V p
i 1
(5)
Рассмотрим задачу оценки эффективности
обнаружителя по схема рис. 1. Накопленная по
выборке объемом
сумма n (4) называется
проверочной статистикой.
Согласно центральной предельной теореме,
если y1 ,..., y n - это независимые случайные
величины, то при неограниченном увеличении n
закон распределения суммы этих величин
приближается к нормальному. На практике при
n>10 закон распределения суммы считается
нормальным. При малых n распределение
суммы подчиняется закону Эрланга.
На основании центральной предельной
теоремы можно записать выражение для
плотности распределения проверочной
статистики Z
f Z  
 Z  mZ  

exp  
2
2 DZ 
2DZ

1
(6)
В формуле (6) mZ и DZ - матожидание
и дисперсия статистики :
mZ  n  m y
DZ  n  D y
(7)
my и Dy
дискретных
равные
- матожидание и дисперсия
релеевских отсчетов Vi ,
my    2
4  2
Dy 

2
(8)
при отсутствии сигнала и
 1  b 
m ys 
2
4  2
D ys 
 1  b 
(9)
2
при наличии сигнала.
2
На рис. 2 показаны кривые распределения
отсчетов огибающей процесса при отсутствии и
при наличии сигнала
f y
my
f y S
0

f y S
m ys
1

y
На рис. 3 - соответствующие кривые
распределения проверочной статистики Z.
f z 
f z S
0

f z S
1

D
mz
F
Vp
mzs
Z
Для принятия решения S1 о том, что на входе
обнаружителя имеется полезный сигнал,
необходимо, чтобы случайная величина Z
превысила порог Vp.
Значение порога при обнаружение сигналов
выбирают в соответствии с критерием
Неймана-Пирсона так, чтобы вероятность
превышения его статистикой Z в отсутствий
сигнала была бы не более наперед заданной.
Эта вероятность F называется вероятностью
ложной тревоги (см.рис. 3)

F   f  z S0 dz
Vp
(10)
Подставив формулу (6) а формулу (10),
после упрощения получим
V p  m z 
F  1  

 Dz 
где
 t2 
 x  
exp   dt

2   2 
1
x
табулированные интеграл вероятности.
При заданном значении вероятности ложной
тревоги F значение порога решении Vp может
быть найдено с помощью таблиц из уравнения
(11).
Вероятность
D
обнаружения
сигнала
определяется выражением:
правильного
(см.рис.3)

D   f  z S1 dz
Vp
равным с учетом формулы (6)
V p  m zs 
D  1  

 Dzs 
Значение зависит D от отношения
сигнал/шум
b
.
Характеристики
обнаружения
D(b)
для
различных
объемов выборки и показаны на рис.4.
D
1
D зад
n2  n1
n2
n1
F
b1
b2
b   s2  n
2
Из графиков видно, что заданная
вероятность правильного обнаружения
Dзад при увеличении объема накопления
n
может быть достигнута при меньшем
отношении сигнал/шум b .
Другими словами, при заданном b
увеличение n обеспечивает увеличение
вероятности правильного обнаружения.
Рассмотрим алгоритм обнаружения с
накоплением
квадратов
отсчетов
огибающей случайного процесса.
Структурная
схема
обнаружителя,
реализующего алгоритм с накоплением
квадратов отсчета огибающей случайного
процесса, соответствует схеме рис. 1,
однако накопитель вычисляет значение
статистики Z не по формуле (4), а по
формуле
n
Z y
i 1
2
i
Аналогично рассмотренной выше схеме
принятия решения (см. формулу (2)) при
выполнении условия
n
Z   y  Vp
i 1
2
i
принимается решение о наличии
сигнала (  1 ) , в противном случае, когда
условие не выполняется, принимается
решение вида  0 .
Известно, что квадрат огибающей
нормального
случайного
процесса
(квадрат
релеевской
случайной
величины) подчиняется показательному
(экспоненциальному)
закону
распределения, имевшему вид (через u
обозначен квадрат случайной величины y,
входящей в формулы (2), (3)):
2

1
u 


f u S 0  
exp

2
2 

2 n
 2 n 
с параметрами
mu  2 n
Du  m
2
2
u
при отсутствии сигнала, и
2

u
f u S1  
exp 
 2  2  2
2
2
2  s   n

s
n

1
с параметрами

mus  2    n
2
s
2




Du  4    n
4
s
4






Задача
оценки
эффективности
обнаружителя решается аналогично, при
этом
в
формулу
для
расчета
вероятностей ложной тревоги
и
правильного обнаружения необходимо
подставить величины
mZ  n  mu
DZ  n  Du
Кривые
распределения
квадратов
отсчетов
огибающей
процесса при
отсутствии и наличии полезного сигнала
показаны на рис. 5.
f u 
f u s0 
f u s1 
u
РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ
ЗАДАЧИ ВЫБОРА РЕШЕНИЯ
При различении сигналов имеет место
многоальтернативная ситуация, когда полезный
сигнал X может иметь много значений и
приемное устройство должно определить, какое
именно значение из этого множества имеет
место в действительности. Различение многих
сигналов в принципиальном отношении мало
отличается. От случая обнаружения сигнала, т.
е. случая различения двух сигналов.
В
соответствии
с
этим
многоальтернативных
решений
обобщением
соответствующих
двухальтернативных решений.
методы
являются
методов
Пусть сигнал X может иметь т
возможных
значений х1 ,х2,...,хт с
априорными
вероятностями
р(х1),
р(х2),…,p(хт) соответственно
 x1  p x1 
 x  px 
 2
2
X 
..........
........

 xn  p xn 
При этом пространство сигнала V
разбивается на т. областей v1,v2,... ,vm
соответствующих принятию гипотез Н1,
Н2, ... , Нт о том, что X =х1 ,X = х2, …, X =
хт соответственно. Правила принятия
решений и разбивка пространства V на
области v1,v2,...,vm могут производиться в
соответствии с любым из критериев,
рассмотренных
для
случая
двухальтернативной
ситуации
и
обобщенных
на
случай
многоальтернативной ситуации.
Процедура работы решающего устройства
приемника
при
различении
сигналов
следующая.
По
данным
выборки
Y
определяются функции правдоподобия
L(х1)=w(Y/x1), L(х2)=w(Y/x2),...,L(xm) = w (Y/xm)
и вычисляются отношения
 ji 
f Y / x j 
f Y / xi 
Для всех возможных сочетании пар xj и xi.
Сравниваются
полученные
значения
отношений правдоподобия с пороговым значением и выбирается такое значение сигнала хj
 ji1,2,0... , т).
для которого все
(i=
Рассмотрим в качестве примера случай, когда
используется критерий минимального риска.
В случае многоальтернативной ситуации ошибки
принятия
решения
заключается
в
том,
что
наблюдаемая выборка оказывается в области vk, в то
время, как в действительности сигнал X имеет значение
xj. Цена ошибочных решений учитывается путем
введения весовых коэффициентов rjk.
Для заданного значения сигнала xj средняя величина
потерь за счет неправильных решений может быть
оценена коэффициентом
rj   rjk pY  vk / x j    rjk  f Y / x j dY
m
m
k 1
k 1


vk
где
— условная вероятность
p Y  vk / x j
попадания выборки Y в область vk, если в
действительности сигнал X равен хj.
Величины rj носят название условного риска.
Усредняя условный риск по всем возможным
значениям X, получим средний риск
r   rj p x j   
m
m
k 1
m

i 1
i 1
 r pY  v
m
k 1
jk
k
/ x j  p x j  
 r px  f Y / x dY
m
k 1
jk
j
j
vk
Критерий минимального риска для случая
многоальтернативной ситуации сводится к
минимизации функции
r = мин.
Рассуждая аналогично, можно показать,
что реализация условия дает следующую
систему т неравенств, обеспечивающих
принятие гипотезы Нk, что X = хk
pxi  f Y / xi 
rij  rik 
0

px1  f Y / x1 
i 1
m
j  1,2,..., m; j  k
Cинтез структуры
решающего устройства
Оптимальное
решающее
устройство
должно строиться таким образом, чтобы
оно могло
вычислить
функции
правдоподобия
L (X)
и
отношение
правдоподобия
с
последующим
сравнением его с некоторым пороговым
значением 0 .
Следовательно,
в
первую
очередь
решающее устройство должно вычислять
условные плотности вероятности f(Y/xi).
Очевидно, схема решающего устройства
определяется в основном видом этой
функции.
Рассмотрим
общий
случай
многоальтернативной
ситуации,
когда
полезный сигнал X может принимать т
значений.
Будем полагать помеху
 нормальной с
нулевым
математическим
ожиданием и
аддитивной. Следовательно, принимаемый
сигнал у
y(t)  x(t)   (t).
Для
любого
отсчетного
значения
принятого сигнала yi можно записать
yi  x i  i
где — отсчетные значения полезного
сигнала;  i — отсчетные значения помехи,
распределенные по нормальному закону
2 

1
 i 
f i  
exp  2 
2
 2  
2
Вектор
помехи
определяется
многомерным законом распределения
f 1 ,2 ,..., n  , где n — объем выборки.
Полагая
помеху
стационарной
и
отсчеты некоррелированными, можно
многомерный
закон
распределения
вектора помехи представить в виде
f 1 ,  2 ,...,  n   f 1  f  2 ,..., f  n  




n

2
n
i 



1 
 i 1 
exp 
2 
2 
2 
 2  


При взаимной независимости полезного
сигнала и помехи функция определяется
законом распределения помехи
n

2
n
 1 
   i 
 exp  i 1
f Y / X   



2
 2 2 
2  






n

2
n
 1 
   yi  xi  



exp  i 1

2
 2 2 
2 







Для принятия оптимального решения
необходимо
определить
отношения
правдоподобия
f Y / xk 
kj 

f Y / x j 

2
2
   yi  xij     yi  xki  
i 1
i 1
 exp 

2
2 




n
n