Лекция 4 Слайд 1 Темы лекции

Лекция 4
Слайд 1
Темы лекции
1. Упругое рассеяние иона на атоме при экранированном
кулоновском потенциале взаимодействия.
2. Функция экранирования.
3. Линдхардовское сечение рассеяния для экранированного
кулоновского потенциала.
4. Аппроксимация аналитическими выражениями
Лекция 4
Слайд 2
Если частицы в процессе рассеяния сблизятся на расстояние меньше радиуса
К-оболочек, то
процесс рассеяния будет определяться кулоновским
взаимодействием ядер с зарядами Z1 и Z2. Для кулоновского потенциала
расстояние наибольшего сближения d можно определить из условия Екин 
U(d), т.е. E0 = Z1Z2e2/d и, следовательно, d = Z1Z2e2/E0. Радиус К-оболочки
атома с атомным номером Z2 примерно равен а0 /Z2 ,
где а0 = ħ2/mee2 = 0,529 Å – Боровский радиус.
Если d << а0 / Z2, то экранирование ядер электронами будет вносить малую
поправку. Таким образом, для того чтобы потенциал взаимодействия был
кулоновский (считаем, Z2 >Z1) необходимо выполнение условия Z1Z2e2/E0 <<
а0/Z2.
Отсюда
получается
нижняя
применимости кулоновского потенциала:
граница
по
энергии
иона
для
Лекция 4
Слайд 3
Z1Z 2e 2 Z1Z 22 14,4 эВ  А
E0 

 30Z1Z 22 эВ.
a0
0,529 А
Например, для гелия Z1 = 2 и Z2 = 50 (середина таблицы Менделеева) получаем Е0 >>
150 кэВ, т.е. порядка МэВ. Для более тяжелых ионов (большие Z2) эта граница
смещается в область больших энергий (десятки МэВ).
Учет ядерных сил необходим если d < Rядра  R0(M2)1/3 = 1,410-13 cм (M2)1/3, отсюда
верхняя граница применимости кулоновского потенциала – E0 << Z1Z2e2/RядраM21/3 ~
десятки МэВ для ионов гелия; для более тяжелых ионов сотни МэВ.
Рассеяние на большие углы ионов, движущихся в твердом теле,
описывается Резерфордовским сечением рассеяния при малых
значениях прицельного параметра, причем ядра сталкивающихся
частиц должны сблизиться на расстояние меньшее радиуса К-оболочки.
Для легких ионов (Н+, Не+) это имеет место при энергиях ~ МэВ, в случае
тяжелых ионов их энергия должна быть десятки МэВ.
Лекция 4
Слайд 4
Если эти условия не выполняются – меньшие энергии ионов, большие
прицельные параметры, то должно быть учтено экранирующее действие
электронных оболочек сталкивающихся частиц. Обычно это делают, вводя
функцию экранирования (r/a), где а – параметр (радиус) экранирования. В
результате получается экранированный кулоновский потенциал
Z1 Z 2 e 2  r 
U r  
 
r
a
Основные особенности Ф(r/a):
при r/а  0 (малые расстояния сближения) Ф(r/а)  1, т.к. V(r/а) должен
переходить в кулоновский потенциал;
при увеличении r/а, значения U(r/а) меньше, чем у кулоновского
потенциала, т.е. Ф(r/а)  1.
Лекция 4
Слайд 5
Функция экранирования определяют либо:
на основании теоретических расчетов;
эмпирически (аппроксимируя экспериментальные данные алгебраической
функцией, не имеющей физического обоснования);
подгоняя параметры теоретического описания под экспериментальные
данные.
Основополагающие работы были выполнены в конце 50-х начале 60-х годов
Олегом Борисовичем Фирсовым (ИАЭ) и группой под руководством Йенса
Линдхарда (J.Lindhard, M.Scharff, H.Schiøtt - Дания), поэтому модель часто
называют модель LSS (ЛШШ).
Лекция 4
Слайд 6
В основе обоих подходов – взаимодействие двух атомов, у которых
распределение электронов по расстоянию от ядра (радиусу) описывается
статистической моделью атома Томаса-Ферми.
d 2ТФ ( x) 3Т/2Ф ( x)

2
dx
x
1/ 3
аТ  Ф
 9π 2 

 
 128 
где x = r/аТ-Ф
 2  1
1 / 3



0
,
8853
a
Z
0
2  1/ 3
m
e
Z
 e 
Функция ФТ-Ф(x) не имеет аналитического представления и может быть
найдена только численно. Одна из общепринятых эмпирических
аппроксимаций для ФТ-Ф(x) – аппроксимация Мольер
М(x) = 0,35е-0,3х + 0,55е-1,2х + 0,1е-6х.
Лекция 4
Слайд 7
сплошная красная линия аппроксимация Мольер, кружки – результат
численного решения уравнения Томаса-Ферми.
(х)
1
0.1
0.01
1 10
3
1 10
4
0.01
0.1
1
10
100
x = r/a
потенциал взаимодействия Циглера-Бирзака-Литтмарка (ZBL)
aZBL =0,8853a0/(Z10,23 + Z20,23).
ФZBL(r/a) = 0,1818e–3,2r/a + 0,5099e–0,9423r/a + 0,2802e–0,4029r/a +0,02817e–0,2016r/a.
Лекция 4
Слайд 8
При взаимодействии атомов/ионов принимается
ЛШШ:




r / a    ТФ r / aL , aL  0,8853a0 Z12 / 3  Z 22 / 3
Фирсов: r / a   ТФ r / aФ  аФ  0,8853a0
Z1  Z 2
1 / 2
2 / 3
В дальнейшем под радиусом экранирования будет пониматься аL.
Лекция 4
Слайд 9
В случае малых углов рассеяния угол рассеяния в системе центра инерции
можно представить в виде

2ρ dU
1
χ 2 

dr
2
2
μv ρ dr
r ρ
В качестве U(r) экранированный кулоновский потенциал
 1  r  1  r 
dU
  Z1Z 2e 2  2    '  
dr
 r  a  ar  a 
замена переменной r = /cos,
тогда dr = (tg/cos)d,


r
O
нижний предел интегрирования при r =  переходит в  = 0, а верхний при r
=  в  = /2
Лекция 4
Слайд 10
Угол рассеяния в с.ц.м.
ZZeρ
χ  1 22
μv / 2
2
π/2

0
 Z Z e a
  1 22 
 aμv / 2  ρ
2
 cos 2 α  ρ  cos α  ρ  dα
 ρ 2  a cos α   aρ  '  a cos α  cos α 





π/2

0
  ρ 
ρ  ρ 

cos
α

' 
 dα.
  a cos α 
a  a cos α 

 
Так как v2/2 = m1v2/2(m2/(m1 + m2) = E0M2/(M1 + M2), то выражение в
круглых скобках перед интегралом является безразмерным и его обратную
величину принято называть приведенной (безразмерной) энергией
Линдхарда
ε  E0
M2
a
M2
1


0
,
8853
a

E0
0
2
2
2
/
3
2
/
3
M 1  M 2 Z1Z 2e
M 1  M 2 Z1Z 2e Z1  Z 2
Лекция 4
Слайд 11
Подставив значения а0 и е2, получим удобное для вычисления  выражение
ε  32,52
M2
1

E0 ,
2
2
/
3
2
/
3
M 1  M 2 Z1Z 2e Z1  Z 2
Введя  = /а
1
χ
εξ
π/2

0
где E0 в кэВ
  ξ 
1
 ξ 

cos
α

ξ

'
d
α

g ξ 


  cos α 
εξ

 cos α 
 
 = g()/,
это выражение получено в предположении малых углов рассеяния , при
которых /2  sin(/2), поэтому
 = 2/2  2sin(/2) = 2t1/2 = g()/,
в параметре t1/2 = sin(/2) учитывается не только массы и атомные номера
взаимодействующих частиц, начальная энергия частицы m1, но и угол
рассеяния, и, соответственно, прицельный параметр.
Лекция 4
Слайд 12
Функцию
g ξ  
π/2

0
  ξ 
 ξ 

cos
α

ξ

'

 dα
  cos α 

 cos α 
 
можно вычислить численно и, соответственно, для каждого  из равенства t1/2
= g()/2 определить t1/2, т.е. каждому значению t1/2 можно поставить в
соответствие значение  и, таким образом найти функцию G, определяющую
зависимость  = G1/2(t1/2). Степень ½ у G выбрана для удобства дальнейших
преобразований.
Так как  = /а, то  = аG1/2(t1/2) и дифференциальное сечение упругого
рассеяния в с.ц.м.
dρ
dρ dt1 / 2
dσ  2πρ dχ  2πρ 1 / 2
dχ
dχ
dt
dχ
Лекция 4
Слайд 13
Так как
d/dt1/2 = aG'(t1/2)/2G(t1/2),
где G'(t1/2) = dG(t1/2)/dt1/2
dt1/2/d = cos(/2)/2, а d = dt/2sin(/2)cos(/2),
получим т.н. Линдхардовское сечение рассеяния
 
1/ 2
1/ 2
G
'
(
t
)
t
f
t
2 L
dσ L  πa 2
dt

π
a
dt
3/ 2
3/ 2
2t
2t
где fL(t1/2) = tG'(t1/2) – функция Линдхарда.
Численные расчеты, выполненные Линдхардом, Шарфом и Шиоттом, можно
представить в виде следующей последовательности действий:
{} численное интегрирование  {g()}  {t1/2}
{}  {G(t1/2)} численное дифференцирование  {G'(t1/2)}
{t1/2} и {G'(t1/2)}  fL (t1/2).
Лекция 4
Слайд 14
Аппроксимация Винтербона
fL(t1/2) = 2,164(t1/2)1/2[1 + 2,164(t1/2)0.71]-2,1.
fL
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.01
t1/2
0.1
1
10
Лекция 4
Слайд 15
Переход к дифференциальному сечению рассеяния в с.ц.м.
t = 2sin2(/2), то dt = 2sin(/2)cos(/2)d.
С учетом этого запишем
Линдхардовское сечение рассеяния
χ

f
ε
sin


a2 L 
2
d L 

 2π sin χdχ.
χ
8ε
sin 3
2
Так как экранированный кулоновский потенциал сферически симметричен,
то можно перейти к элементу телесного угла d в с.ц.м. и получить
Линдхардовское дифференциальное сечение рассеяния на угол 
χ

f
ε
sin


d L (χ) a 2 L 
2
 
.
χ
dω
8ε
sin 3
2
dσ(θ) dσ(χ ) 
1  γ 2 cos 2θ 

2γ cos θ 

2
2
d
dω 
1  γ sin θ 
cos χ   γ sin 2 θ  cos θ 1  γ 2 sin 2 θ
Лекция 4
Слайд 16
(х)
В диапазоне значений r/a 0,55
функция экранирования (r/a)
с большой точностью может
быть аппроксимирована прямой.
График построен в дважды
логарифмическом масштабе,
то уравнение прямой
x = r/a
в этом случае имеет вид
lg(r/a) = a +blg(r/a) = =A + lg(r/a)b = lgA(r/a)b,
т.е. (r/a) = A(r/a)b. А = 0,416; b = -1, следовательно, функция экранирования
(функция Нильсен) Н = 0,416а/r.
при 0,5а  r  5а можно считать, что потенциал взаимодействия U(r) =
(Z1Z2e2/r)(0,416а/r) = 2/r2 (где 2 = 0,416аZ1Z2e2), т.е. является
обратноквадратичным потенциалом.
1
0.1
0.01
1 10
3
1 10
4
0.01
0.1
1
10
100
Лекция 4
Слайд 17
В случае обратноквадратичного потенциала можно формально найти
функцию Линдхарда. В силу сферической симметричности потенциала
сечение
dσ(χ ) 2π 2α 2
πχ
1
π 2α 2 (1  γ)
πχ
1


.
2
2
2
2
2
dω
μv χ (2π  χ ) sin χ
E
χ (2π  χ ) sin χ
можно записать в виде
aZ1Z 2e 2 ( M 1  M 2 ) 2
πχ
dσ 
π 0,416 2
2πdχ.
2
EM 2
χ (2π  χ )
Первая дробь этого выражения – обратная величина приведенной энергии
Линдхарда. Заменив d = dt/2sin(/2)cos(/2) и, учитывая, что в случае
малоуглового рассеяния cos(/2)  1,  –   , 2 –   , /2  sin(/2) и,
следовательно,   2sin(/2), данное выражение можно представить в виде
Лекция 4
Слайд 18
dσ  πa 2
0,416π
dt.
3
4
χ

2  sin 
2

1
Сравнив это выражение с видом Линдхардовского сечения рассеяния, можно
сделать вывод
для обратноквадратичного потенциала fL = 0,416/4 = 0,327,
т.е. является константой для любых пар взаимодействующих ионов/атомов.