Лекция 8. Методы решения нелинейных систем уравнений

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАТЕМАТИКУ
Лекция 8
27 октября 2009
Методы решения нелинейных систем
уравнений
Задача интерполяции (гладкого
восполнения функций)
3. Методы решения
нелинейных систем уравнений

Метод Ньютона
f ( x)  0
x
n 1
x 
n
1 n
n
fx (x ) f (x )
r  f (x )
n
n
3. Методы решения
нелинейных систем уравнений
Теорема о сходимости метода
Ньютона
Пуст в окрестности корня существуют
2
все вторые производные  f m ( x)
xi x j

и
 2 f m ( x)
 C2
xi x j
3. Методы решения
нелинейных систем уравнений
Теорема о сходимости метода
Ньютона
Отображение равномерно
невырождено, то есть f 1 ( x)  C

x
1
Тогда метод Ньютона сходится в этой
окрестности, его скорость
квадратична
3. Методы решения
нелинейных систем уравнений

Доказательство
xn1  xn  f x1 ( xn ) f ( xn )  x n  x n
r
n 1
 r  f x ( x )x  ...
n
n
n
3. Методы решения
нелинейных систем уравнений
Доказательство
r
n1
C
 C2 x .  C2C1 r
n 2
2
 C2C1
C r
0
n 2
 q 1
4. Задача интерполяции
Общая постановка
Пусть задана совокупность узлов
интерполяции или сетка на
некотором отрезке [a, b].
N
tn n0
Совокупность узлов
Сеточная проекция функции f(t) на [a, b],
т.е. таблица, f n   f (tn )nN0 ;
эту таблицу задает оператор
ограничения на сетку или
рестрикции (от английского
restriction) R.

4. Задача интерполяции
Задача состоит в том, чтобы по таблице {fn}
восстановить непрерывную функцию.
Обозначим ее через F(t). Разумеется, она
отличается от исходной функции f(t),
причем такое восстановление
неоднозначно и осуществляется
оператором интерполяции I. Сама функция
F(t) называется интерполирующей или
интерполянтом. Необходимо оценить
потерю информации при действии этого
оператора, т. е. величину зависящую от
типа оператора интерполяции и свойств f(t),
в частности, ее гладкости.
4. Задача интерполяции
f (t )   f n n 0  F (t ).
N
R
I
4. Задача интерполяции

Интерполяция обобщенными
полиномами
N
F (t )   un n (t )
n 0
4. Задача интерполяции

Интерполяция обобщенными
полиномами
u0  0 (t0 )  u1  1 (t0 )   u N   N (t0 )  f0 ,

u0  0 (t1 )  u1  1 (t1 )   u N   N (t1 )  f1 ,


u0  0 (t N )  u1  1 (t N )   u N   N (t N )  f N ,
4. Задача интерполяции
 (0 , 0 ) (0 , 1 )

(1 , 0 ) (1 , 1 )

C = A*A 

.
.

 ( N , 0 ) ( N , 1 )
N
 jk  (k ,  j )   k (ti )   j (ti )
i 0
(0 ,  N ) 

. (1 ,  N ) 

.
.

. ( N ,  N ) 
.
4. Задача интерполяции
Алгебраическая интерполяция
u0  u1t0  .  u N t0N  f 0 ,

u0  u1t1  .  u N t1N  f1 ,

.

N  f ,
u

u
t

.

u
t
0
1
N
N
N
N

4. Задача интерполяции
Теорема. Пусть среди сеточных узлов
нет кратных. Тогда решение задачи
алгебраической интерполяции
существует и единственно, т.е. для
любой сеточной функции,
определенной в N+1 узле, существует
единственный полином степени не
выше N, принимающий в заданных
точках заданные значения.
4. Задача интерполяции

Доказательство
1

1
det 

1

t0
t02
t1
t12
tN
2
tN


 N
   (ti  t j ),
 i j


4. Задача интерполяции
Конструктивное решение задачи
интерполяции – полином в форме
Лагранжа
Интерполяционный базис
N
ln (t )
N

t tj
i 0 t
in n
 ti
4. Задача интерполяции
Полином в форме Лагранжа
N
LN (t )  
n 0
N
f n  ln (t ),
4. Задача интерполяции
Теорема об остаточном члене
интерполяции
RN (t )  f (t )  LN (t )
4. Задача интерполяции
Теорема об остаточном члене
интерполяции
Пусть функция f(t) имеет на отрезке
[a, b] N + 1 ограниченную
производную. Тогда
N
1
( N 1)
RN (t ) 
 (t  t j )  f
( )
( N  1)! j 0
4. Задача интерполяции
Доказательство
( x  t0 )( x  t1 ) ( x  t N )
( x)  f ( x)  LN ( x)  RN (t )
,
(t  t0 )(t  t1 ) (t  t N )
имеет, по крайней мере, N + 2 нуля
Их можно указать. Точки х = tn (n = 0,
…, N) — нули, поскольку f(tn) = L(tn), а
последнее слагаемое обращается в
них в нуль.
4. Задача интерполяции

Доказательство (продолжение)
N 1 
( x  t0 )
d
(
N

1)
(
N

1)
(
N

1)

()  f
()  L
() 
 RN (t ) 
N

1
(t  t0 )
dx

( N 1)
L
()  0;
d N 1  ( x  t0 ) ( x  t N ) 


N

1
(
t

t
)
(
t

t
)
dx
N
N 


( N 1)

x 
()  0;
( N  1)!
N
 (t  t j )
j 0
.
( x  tN ) 

(t  t N )  
4. Задача интерполяции

f
Доказательство
( N 1)
()  RN (t ) 
( N  1)!
N
 0,
 (t  t j )
j 0
f ( N 1) () N
RN (t ) 
 (t  t j )
( N  1)! j 0
4. Задача интерполяции
Следствие – экстраполяция функций
t  t N , t N  
RN (t )   N 1 
max
[t0 , t N ]
f ( N 1) ()
t  t N  , t N  2
RN (t )  ( N  2) N 1
N 2
 (k    n) ~ ( N  2)!
n 0
max
[t0 , t N  2]
f ( N 1) () ,
4. Задача интерполяции
Минимизация остаточного члена за счет
выбора узлов инетерполяции
N
1
RN (t ) 
 (t  t j )  f ( N 1) ()
( N  1)! j 0
4. Задача интерполяции

Нули полинома Чебышева
ab ba
 2m  1 
tm 

cos 
,
2
2
 n


Или сетка из экстремумов полинома
Чебышева
ab ba
m 
tm 

cos    ,
2
2
n 
4. Задача интерполяции
Связь алгебраической интерполяции на
Чебышевской сетке и
тригнометрической интерполяцией
4. Задача интерполяции

Обусловленность задачи
интерполяции
LN (t ) 
N

n 0
f nlnN (t ) 
N
N (t ),

f
l
 nn
n 0
4. Задача интерполяции
Обусловленность задачи интерполяции
 N (t , f ) 
N
N (t )

f
l
 nn
n 0
max  N (t , f )  l N ;
t a ,b 
N

t[ a , b ]
lN  max
n 0
  max f n ,
t a ,b 
lnN (t ) ,
4. Задача интерполяции

Функция Лебега и постоянная Лебега
(данной сетки)
L  x
N
  li
 x
lN  sup L  x 
x a ,b 
4. Задача интерполяции

Постоянная Лебега – норма
оператора алгебраической
интерполяции!
4. Задача интерполяции

Приведем (без доказательства) примерные
оценки роста постоянной Лебега в
зависимости от числа узлов сетки.
Константа Лебега растет примерно как
lN ~ 2N для равномерной сетки и lN ~ ln(N)
для сетки с чебышевским набором узлов.
Доказано, что рост константы Лебега для
последней сетки асимптотически стремится
к минимально возможному, и сетка с
чебышевскими узлами близка к
оптимальной для задач интерполяции.
4. Задача интерполяции

Вопросы?