ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ Карташян Марсел Вардгесович ([email protected]) Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей №6 г. Шахты Ростовской области (МБОУ лицей №6 г. Шахты) Аннотация На занятиях по естественнонаучным предметам часто возникает необходимость перехода от табличного способа задания функции к аналитическому. Задача учителей математики – предоставить простой и эффективный алгоритм (прежде всего для вычислительных систем) для решения подставленной задачи. Основная задача работы – краткое описание некоторых методов интерполяции функций. В начале приводятся основные сведения об алгебраической интерполяции. Излагаются методы линейной и квадратичной интерполяции, а также метод Эйткена. Далее описывается метод тригонометрической интерполяции. Работа завершается понятием «экстраполяция функции». Алгебраическая интерполяция. На практике часто возникает необходимость перехода от табличного способа задания функции к аналитическому. Задание функции формулой имеет следующие преимущества: во-первых, формулы занимают мало места, вовторых, как правило, с помощью формул легче выполнить вычисления. А самое главное, с помощью таблицы невозможно найти значения функции в тех точках, которые отсутствуют в таблице. Общая задача интерполяции функции заключается в том, чтобы найти определенную на отрезке x1 ; xn функцию y f (x) такую, что f ( xi ) yi , где i =1, 2, …, n и x1 < x 2 <...< xn . Естественно требовать найти простейшую функцию y f (x) с вычислительной точки зрения. Если простейшей назовём функцию, значения которой вычисляются арифметическими действиями сложения, вычитания и умножения, то такой является целая рациональная функция, то есть многочлены. Таким образом, одна из наиболее важных проблем состоит в том, чтобы уметь записать многочлен Pn1 (x) степени не выше n-1, обладающий тем свойствам, что Pn1 ( xi ) yi , i =1, 2, …, n. Очевидно, что если такой многочлен существует, то он единственный. Действительно, предположим, что существуют два таких многочлена Pn1 (x) и Qn1 (x). Тогда уравнение Pn1 ( x) Qn1 ( x) 0 степени не выше n-1 имеет n корней x i ( i =1, 2, …, n), что невозможно. Возьмём ( x x2 )( x x3 )( x x4 )...(x xn ) y1 ( x1 x2 )( x1 x3 )( x1 x4 )...(x1 xn ) ( x x1 )( x x3 )( x x4 )...(x xn ) y2 ... ( x2 x1 )( x2 x3 )( x2 x4 )...(x2 xn ) ( x x1 )( x x2 )( x x3 )...(x xn1 ) (3) yn . ( xn x1 )( xn x2 )( xn x3 )...(xn xn1 ) Многочлены ( x x1 )( x x2 )...(x xi 1 )( x xi 1 )...(x xn ) Li ( x) , i =1, 2, …, n ( xi x1 )( xi x2 )...(xi xi 1 )( xi xi 1 )...(xi xn ) называются коэффициентами Лагранжа. Эти многочлены обладают следующими свойствами: они имеют степень n-1, Li ( xi ) 1 (i 1,2,...,n), L j ( xi ) 0 при j i. Многочлен (3) обладает следующим свойствам: имеет степень не выше n-1, удовлетворяет условиям P( xi ) yi , i =1, 2, …, n. Формула (3) называется интерполяционной формулой Лагранжа, x i - узлами интерполяции, а ( xi , y i ) – узловыми точками. В том случае, когда функция y P(x) на промежутке интерполяции монотонна, в формуле (3) заменяя x на y, а y на x, получим формулу, с помощью которой можно выполнить обратную интерполяцию, то есть с помощью значений функции вычислить соответствующие значения аргумента. На практике широко применяются линейная и квадратичная интерполяции. При n=2 интерполяционная формула Лагранжа примет вид: x x2 x x1 (4) y P( x) y1 y2 . x1 x2 x2 x1 В результате получается уравнение прямой, проходящей через точки ( x1 ; y1 ) и ( x2 ; y 2 ). При n=3 из формулы (3) получим формулу ( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) y P( x) y1 y2 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x x1 )( x x2 ) y 3 , которая является уравнением параболы, ( x3 x1 )( x3 x1 ) проходящей через точки ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y 2 ) и ( x3 ; y 3 ). Если требуется найти значение функции в точке, не являющей узловой, то с помощью линейной интерполяцией можно «уплотнить» таблицу не построив интерполяционный многочлен. Пусть f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y 2 и f ( x3 ) y 3 , где x1 x2 x3 . Для 1 любого x ( x1 ; x2 ) по формуле (4) получим f1, 2 ( x) x2 x1 P( x) y 2 x1 x y 2 x2 x , а для любого x ( x2 ; x3 ) f 2, 3 ( x) y 2 x2 x 1 . x3 x2 y 3 x3 x f 1, 2 ( x) x1 x 1 . Такой метод x3 x1 f 2, 3 ( x) x3 x интерполяции называется методом Эйткена. Тригонометрическая интерполяция. Рассмотрим интерполирование периодических функций. Пусть функция y f (x) задана на отрезке [0; 2 ] таблицей значений yi f ( xi ) в 2i равноотстоящих узлах xi , i =0,1, 2, … , n-1 или xi x0 ih, n 1 i =0, 1, …, n-1. Тригонометрическим многочленом степени m m m называется многочлен Pm ( x) k 0 ak coskx k 1 bk sin kx. Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена, удовлетворяющего условиям ( )= , i=0,1, 2, …, n-1. Можно показать, что решением этой задачи является многочлен (x)= + , где коэффициенты и Тогда f ( x) f 1, 2, 3 ( x) вычисляются по следующим формулам: = , = = , , k=1, 2, …, m. Экстраполяция функции. Экстраполяция – приближённое определение значений функции в точках, лежащих вне отрезка x1 ; xn (см. алгебраическая интерполяция). Методы экстраполяции в основном совпадают с методами интерполяции. Например, значения функции можно вычислить с помощью того же интерполяционного многочлена. По описанным выше алгоритмам можно составить компьютерные программы нахождения приближённых значений функции, заданной таблицей. Автором строк составлены программы, применяемые алгебраической (метод выбирается пользователем) и тригонометрической интерполяцией. Программы можно найти в использованных источниках или спросить по электронному адресу. Использованные источники Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. – М.: «Высшая школа», 1998 г. Ханова А. А. Интерполяция функций. – Астрахань: Институт информационных технологий и коммуникаций, 2001 г. Ващенко Г. В. Вычислительная математика: основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. – Красноярск: СибГТУ, 2008 г.