Князева И.В. Интерполяция Лагранжа в физических экспериментах Тасканов А.А.
advertisement
Князева И.В. Руководитель Тасканов А.А. г. Саратов, МОУ «РПКГ» Интерполяция Лагранжа в физических экспериментах В условиях современной школы, объем знаний по алгебре у учеников 10-11 классов вполне достаточен для того, чтобы самостоятельно, или с помощью преподавателя, изучить, и в дальнейшем использовать на практике несложные математические построения, хотя и выходящие за рамки программы средней школе, но позволяющие в значительной мере расширить возможности понимания взаимосвязи различных физических величин при проведении физических исследований в лабораторных условиях. Одним из таких простых математических построений является интерполяционный полином Лагранжа. Его использование оправдано тем, что для понимания принципа работы с полиномом достаточно навыков работы при исследовании алгебраических функций, усвоенных учениками в 10-11 классах на уроках математики и знания основ программирования полученных на уроках информатики. Применение интерполяции Лагранжа для изучения физических явлений и их математической интерпретации уже в школе, позволяет по-новому взглянуть ученикам на роль математики и численных методов, как главного инструмента физики, и подготовиться к разработкам собственных научных проектов уже в рамках учебы в высших учебных заведениях. Цель данной работы - демонстрация возможностей интерполяционного полинома Лагранжа при обработке экспериментальных данных, полученных в результате лабораторных или исследовательских работ по физике, а также в выявлении математической зависимости между заданными в опыте вводными параметрами и полученными по итогам опыта эмпирическими данными. Задача интерполяции функции В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек, называемых узлами интерполяции. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента, для дальнейшего прогнозирования поведения объекта исследования в заданном интервале изменения параметров. График f(x) –данные из эксперимента, g(x)- восстановленная функция (интерполянт). В этой работе мы рассмотрим только линейную интерполяцию, т.е. такую, при которой функция g(x) разыскивается в виде линейной комбинации некоторых функций. Одним из способов записи такого линейного интерполяционного полинома является форма Лагранжа. Вид этого полинома g(x)=y1.Ф1(х)+y2.Ф2(х)+…+yn.Фn(х), где уk – координата узла интерполяции, Как видно из выше изложенного, вычисление интерполянта g(x) представляет из себя очень трудоемкую работу, и поэтому целесообразно будет «поручить» эту работу персональному компьютеру, тем более, что на уроках информатики в средней школе изучаются вычислительные среды основанные на языках КуМир, Basic, Pascal. Создание программы За основу создания программы выберем язык Basic. Задачей создаваемой программы должно быть получение полинома вида y=a1.xn-1+a2.xn-2+…+аn-1.x+an, т.е нахождение коэффициентов a1, a2, …, аn-1, an Листинг программы и вычислительная среда TurboBasic Экспериментальная часть Исследование частоты колебаний стенок цилиндрического тонкостенного стеклянного стакана в зависимости от наполнения его водой Цель эксперимента: выявить математическую закономерность изменения частоты колебаний стенок цилиндрического стакана, от способа возбуждения колебаний и наполнения стакана водой. Электрическая часть экспериментальной установки состоит из осциллографа С1-68 и подключенного на вход Y осциллографа микрофона МД-200 Ход эксперимента: 1. Перед началом эксперимента с помощью камертона откалибруем осциллограф. 2. Берем сначала пустой стакан, а затем постепенно наполняем его водой и на каждом шаге фиксируем период колебаний стенок стакана с помощью осциллографа. 3. сводим полученные данные в таблицу: График зависимости частоты колебаний стенок стакана в зависимости от уровня воды 0 см 3см 5см 7,5см 9см 11см 1260Гц 1175Гц 1100Гц 975Гц 880Гц 735Гц Определим с помощью разработанной нами программы зависимость частоты колебаний от уровня воды в стакане ν(x)=0,00207.x5-0,047.x4+0,26.x3-2,177.x2-23,044.x+1260 Заключение В современной тензометрической аппаратуре в качестве датчиков часто используются различные колебательные системы - струна, кольцо, стакан, имеющие различные, как конструктивные, так и эксплуатационные особенности. В основе датчиков этой аппаратуры лежит изменение резонансной частоты колеблющегося упругого элемента при деформировании его силой или давлением. Это и объясняет высокую стабильность датчиков и высокие выходные характеристики прибора. К недостаткам можно отнести индивидуальную характеристику преобразования давления или силы. Используемый нами метод интерполяции позволяет создать в пределах рабочей зоны датчика достаточно точную математическую модель поведения колебательной системы в процессе ее работы, нивелируя тем самым недостаток, о котором было сказано выше.
