Уравнивание геодезических измерений Зачем нужно уравнивание Измеряя одну величину, мы можем 5 раз получить немного разные результаты. С чем это связано? Мы с разных углов посмотрели на линейку (случайные ошибки)) На линейках неверно нанесены деления (системетические ошибки) Случайные и систематические ошибки Если в измерениях присутствуют систематические Ошибки, мы никогда не узнаем, где же истина. Если только случайные – то можно попытаться «подобраться» поближе Что такое уравнивание? Уравнивание - это попытка исправить измерения (или полученные координаты точки) таким образом, чтобы результат был наиболее близок к истинному Уравненная величина Измерение 1 Измерение 2 Уравнивание по методу наименьших квадратов Метод наименьших квадратов – это условие: v 2 min Т.е. Уравненное значение должно быть как можно «ближе» ко всем значениям измерений v1 v2 Измерение 2 Измерение 1 Уравнивание В Надо найти высоты точек 1, 2,3,4 3 1 А Высоты А, В, С известны 2 4 Измерены все превышения С Уравнивание Высоты точек можно найти разными путями. У нас тут имеет место избыточность измерений. Измерений: 8 Необходимо: 4 Избыточных: 4 Параметрическое уравнивание Пусть параметрами t будут высоты определяемых пунктов: H1, H2,… H4 Тогда превышение между пунктам 1 и А (уже измеренное) можно найти как: h1=t1-HA Уравнение связи Фактически измеренное превышение: h’1 Параметрическое уравнивание Мы можем вычислить приближенные значения параметров Параметр (высот пунктов 1,2,3,4): t’1, t’2, t’3, t’4 t Приближенное значение Элемент сети Формула 1 HРп1 HA+h1 190,648 t2 HРп2 HA+h1+h2 192,214 t3 HРп3 HB+h8 190,327 t4 HРп4 HC-h7 189,435 t0j (м) Вычисление коэффициентов и свободных членов параметрических уравнений поправок Поскольку: h1=h’1+v1 Поправка в 1-е измеренное превышение t1=t’1+τ Поправка в 1-й параметр (высоту Рп.1) Тогда h’1+v1=t’1+ τ-Ha, значит v1= τ – Ha-h’1 Параметрические уравнения поправок Получим параметрические уравнения поправок v = A + a0 v1=+ 1 v2=- 1+ 2 v3=- 1+ 3 v4= - 2+ 3 v5= + 3 + 4 v6= - 2 +4 v7= - 4 v8= + 3 ----- a0 ----- + t01 - HA - h1 - t01 + t02 - h2 - t01 + t03 - h3 - t02 + t03 - h4 + t03 - t04 - h5 - t02 + t4 - h6 - t04 + HC - h7 + t03 - HB - h8 Матрица А и матрица свободных членов: Матрица A номер хода a1 a2 a3 вектор a0(см) a4 1 1 0 0 0 0,0 2 -1 1 0 0 0,0 3 -1 0 1 0 -1,9 4 0 -1 1 0 -0,6 5 0 0 1 -1 -2,3 6 0 -1 0 1 3,5 7 0 0 0 -1 0,0 8 0 0 1 0 0,0 Как это все решается дальше? Чтобы искать значения параметров t дальше, необходимо нормировать матрицу А R A PA T P – матрица весов измерений. Она показывает, насколько следует «доверять» каждому измерению. Ведь очевидно, что превышению, определенному на 100 м доверия меньше, чем при расстоянии 50 м. 1 R Q Как это все решается дальше? b A Pa0 b – нормированный вектор свободных членов T Qb V A a 0 Поправки в параметры (поправки к предварительно вычисленным высотам 1, 2, 3, 4 Поправки к измеренным величинам (превышениям) Как оценить качество вычислений? μ - Ошибка единицы веса. Вес измерения при длине ходя (например) 1 км. mH Qi , j Ошибку вычисления высоты вычисляют по обратной матрице весов Q Помните, что Если в измерениях присутствуют грубые ошибки, их лучше исключить до уравнивания Исходно «плохие» измерения уравниванием нельзя сделать лучше. Уравнивание сглаживает картину и подходит только тогда, когда погрешности измерений случайны Аккуратно отнеситесь к весам измерений и контролируйте значения СКО вычисленных значений