Чудеса в квантовой механике

Чудеса квантовой механики
Владислав Курин
“Лекция для аспирантов”,
ИФМ РАН, 25 октября 2012 г.
Что за чудеса?
•
•
•
•
Измерения без взаимодействия
Квантовый эффект Зенона
Парадокс ЭПР
Квантовая телепортация
Это квантовая механика индивидуальных систем,
а не ансамблей!
Нобелевская премия по физике 2012
David J. Wineland
Serge Haroche (right) and
assistant Igor Dotsenko (left)
Serge Haroche and David J. Wineland
"for ground-breaking experimental methods that enable
measuring and manipulation of individual quantum systems"
Чем я пользовался при подготовке?
•
•
•
•
Оригинальная литература
Л.И. Мандельштам, Лекции по квантовой механике
R. Penrose, The Road to Reality
Википедия
• М.Г. Иванов (МФТИ),http://www.intuit.ru/video
2 Лекции по квантовой механике
Основы квантовой механики
• Вектор состояния или волновая функция
  (q)
• Уравнение Шредингера
i  (q)  Hˆ (q)
 , q  дискретные и непрерывные переменные
Это полностью детерминированная
часть квантовой механики!
Однако,  ( q ) называется амплитудой вероятности!
  (q)
2
плотность вероятности q и вероятность ν!
Статистическая часть. Правило Борна
Дискретный спектр
 (q)   сn n (q), где Aˆ n (q)  n n (q)
n
p(n ) | сn |2
вероятность, что при измерении физической
величины A мы получим собственное значение λn
Сплошной спектр
 (q)   сa a (q)da, Aˆ a (q)  a a (q)
p(a) | сa |2
сa
сейчас это плотность вероятности
физической величины A
амплитуда вероятности – комплексное число!
a2
2
p
(
a
)
da

|
с
|

 a da
a1
вероятность-интеграл
Измерение как проекция
Измеритель физической величины
это проектор
a
Tˆa  a a
Сумма всех проекторов
 Tˆ
a
  a a  1ˆ
вероятность исхода измерения с результатом a
Pa |  | Tˆa | |2 |  | a |2   a
2
Редукция волновой функции при измерении
  a a
a
Если получен результат a, то волновая
функция после измерения есть
a a
Измерение, как взаимодействие
Hˆ  Hˆ x  Hˆ y  Vˆ ( x, y, t )
x
До взаимодействия
( x, y)   0 ( x)0 ( y)
y
После взаимодействия
 ( x, y )   ci i ( x)i ( y )
i
Измерение, это выбор какого-то одного
члена этой суммы
Как это работает. Примеры.
Поляризация фотона.
 cos  
  E

 sin  
Измеритель поляризации-призма Глана
y
k
x
Вертикальная поляризация испытывает полное внутреннее
отражение, а горизонтальная-проходит
Фотон – всегда целая частица!
2
cos

 Ex 
1
 0
   cos     sin   
0
1
 Ey 
sin 2 
вероятность того, что на выходе
будет фотон x поляризации
вероятность того, что на выходе
будет фотон y поляризации
Призма Глана-Тейлора
Полупрозрачное зеркало
| R |2
| T |2
1
с вероятностью
а с вероятностью
| T |2
| R |2
фотон летит вправо,
фотон летит вверх,
Прибор Штерна-Герлаха
Анализатор поляризации частиц с магнитным моментом
e
m
gs
2mc
z
S
F   m  B
Измеритель Z проекции спина
z
N
 1 
1
0
      1    2  
0
1
 2 
с вероятностью
а с вероятностью
|  1 |2 электрон летит вверх,
|  2 |2 вниз
Эксперимент Штерна-Герлаха
Квантовая интерференция
x
1
R1
D
eikR1 eikR2
 1  2 ~

R1
R2
S
R2
2
D S  D G S 
  D S  D 1 1 S  D 2 2 S   1  2
Амплитуда попадания из S в D
Принцип Гюйгенса-Френеля
Вероятность попадания из S в D
   1  2   1   2
2
2
2
2
Измерение без взаимодействия
| R |2
S

2
| T |2
D2

D1
Если сработал детектор 1 и не сработал детектор 2, то фотон полетел вверх,
и ни с чем не взаимодействовал!
Avshalom C. Elitzur, Lev Vaidman, Quantum Mechanical InteractionFree Measurements, Foundations of Physics, Vol. 23, No. 7, 1993
Продвинутый вариант
Интерферометр Маха-Цандера
D2
Настраиваем так, чтобы
D2 S  0
D1
D3
S
i
1
R
,T 
2
2
Детектор 3 нарушает когерентность!
Если сработал детектор 2, то это значит, что в плече есть детектор 3.
Но сам детектор 3 может и не сработать.
Мы обнаруживаем объект не взаимодействуя с ним!
Модификация Пенроуза
Интерферометр Маха-Цандера
D2
D1
D3
Фактически, исправная
бомба-это детектор 3
S
Если бомба исправна, то плечи интерферометра некогерентны!
Если сработал детектор 2 и бомба не взорвалась,
то, мы утверждаем, что бомба исправная!
Теория эффекта
Интерферометр с глухим зеркалом или неисправной бомбой. Пути когерентны!
D2 S    R 2  T 2  e 2ikL  0,
D1 S  2 RTe 2ikL  1
Интерферометр с исправной бомбой. Пути некогерентны!
Появилось новое квантовое число – состояние бомбы
S , B
B
начальное состояние, фотон в источнике, бомба не взорвана
D1 , B , D2 , B , D2 , B , D2 , B
D1 , B S , B   RTe 2ikL
D2 , B S , B   R e
2 2 ikL
D1 , B S , B   RTei ( k  k ') L
D2 , B S , B  T 2ei ( k  k ') L
Конечных состояний 4
D2 , B S , B
2
 0.25
Увеличение эффективности обнаружения
D1
y
x
D2
B
D1
D2
Paul Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog, Anton Zeilinger, Mark
A. Kasevich Interaction-Free Measurements, PRL, 74, No. 24, 1995
Теория. Трансфер-матрица
 xn1  ˆ  xn  ˆ  R T   xN 1  ˆ N 1  x0 

  T  , T  
,  y   T  y 
y
y
T
R

  N 1 
 n1 
 n
 0
 R T
1 1 1
1  1 1
1
Tˆ N 1  STdN 1S 1 , S 
,
S

,
T

S
TS




 d

2 1 1 
2  1 1
 0
0 

R T 
Чтобы ничего не попадало в D2
N 1

R

T
1

1

 
1 



2 N 1 1 1  
0

R  i cos
  1 1 R   0 

    
N 1 

 R  T    1 1 T   1 
0

2  N  2
; T  sin

2  N  2
Ставим бомбу и вычисляем вероятность того, что фотон пройдет по нижнему пути в D2
Pbot  R
2N
 cos
2N

2  N  2
; Ptop  1  P  1  cos
2N


2 
 1  1 
2 
2  N  2
8
N


2N

вероятность взрыва бомбы (фотон пройдет по верхнему пути)→0 !
2
4N
Эффект Зенона-заморозка состояния
Парадокс Зенона Элейского «Стрела»
Сначала «Антизенон»
N поляроидов
На одном поляроиде
Ptr  cos 2  ; Pabs  sin 2  ;
Выйдет фотон с поляризацией последнего поляроида.
1
  
0
В осях последнего поляроида это будет чистое состояние
Вероятность поглощения на N поляроидах
2






2N
Pabs  1  cos   1  1 


2 

2N
 0 
2
02
 N     N   
0
N
N
2
Эффект Зенона
Пример. Фотон в среде с естественной оптической активностью.
1 1 ik1z 1  1  ik2 z

 e 
 e
i
2 
2  i 
две циркулярно поляризованные
волны с разными скоростями
Вероятность сохранения состояния после N измерений
2






2N
P  cos   1 


2 

2N
 1  N     1 
2
02
N
1
Измерение может заморозить временную эволюцию системы!
ЭПР парадокс
Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена в модификации Бома
Пусть есть сложная нестабильная частица,
состоящая из двух частиц со спином 1/2
 
   
синглет
2
s0
ЭПР пара
  
  
  
  
Эйнштейна думал, что здесь парадокс !
Сейчас это квантовые корреляции!
Телепортация 1
t
Friend
Bob
Alice
1      
 
 2,3 
Классический канал
2 3  2 3
2
Волновая функция 3 частиц

1,2,3   1   1
2
1
 
 2,3
1
3

2 3  2 3
2
x
Bennett C., Brassard G., et al., Teleporting of unknown quantum state via classical
and EPR channels, PRL , 70, 1895 (1993).
Телепортация 2
Alice делает измерения над 1 и 2 проектируя их на

1,2 
1 2  1 2
1,2,3 

1,2 
2


2
          
            

1

 1,2
 3   3
2

1,2
 3
1 2  1 2

1,2
3
3

1,2
3
3
3
Алиса получает один из 4 результатов и сообщает их Бобу.
Теперь Боб знает квантовое состояние своей частицы. Это, одно из
 
 3     ;
 
 1 0 

 3 ;
 0 1
0 1

 3 ;
1 0
Применяя оператор конечного вращения,
Боб восстанавливает состояние частицы 1
 0 1

 3 ;
1 0 


Uˆ  cos  i (nσ ) sin ;
2
2
Есть ещё много чего в КМ
• Парадоксы
– кот Шредингера
– мышь Эйнштейна
– друг Вигнера
• Квантовая информация
– криптография
– вычисления
Спасибо за внимание.