Б2_Б_3_Высшая математика Линейная алгебра (новое окно)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА
«СОГЛАСОВАНО»
«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель ОП
«Прикладная механика»
Заведующая кафедрой
Механики и математического моделирования
(название кафедры)
Озерова Г.П
(подпись)
Бочарова А.А.
(Ф.И.О. рук.ОП)
«28»июня
(подпись)
2013г.
«28»
(Ф.И.О. зав. каф.)
июня
2013г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Направление подготовки: 151600.62 Прикладная механика
Профиль подготовки:
«Математическое и компьютерное моделирование механических систем и процессов»
Форма подготовки (очная)
Инженерная школа ДВФУ
Кафедра механики и математического моделирования
курс 1семестр 2
лекции 36(час.)
практические занятия 36час.
лабораторные работы -час.
самостоятельная работа 72час.
всего часов аудиторной нагрузки 72час.
контрольные работы (0)
курсовая работа / курсовой проект - семестр
зачет -семестр
экзамен -2семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования, утвержденного приказом Министерства
образования и науки РФ от 9 ноября 2009 № 541
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры
моделирования, протокол № 12 от «26» июня 2013 г.
Заведующая кафедрой:к.ф.-м.н., проф. Бочарова А.А.
Составитель: Дегтярева Н.Е.
1
Механики
и
математического
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 20___ г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
2
АННОТАЦИЯ
Учебная
дисциплина
математика:
«Высшая
линейная
алгебра»
предназначена для студентов 3 курса, обучающихся по направлению
151000.62
«Прикладная
компьютерное
механика»,
моделирование
профиль
механических
«Математическое
систем
и
и
процессов».
Дисциплина входит в базовую часть математического и естественно
научного цикла..Дисциплина «Высшая математика: линейная алгебра»
логически и содержательно связана с такими курсами как «Высшая
математика:
аналитическая
геометрия»,
«Вычислительная
механика»,
«Высшая математика: математический анализ», «Математическая физика»,
«Теоретическая механика».
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 144 часа.
Учебным
планом
предусмотрены
лекционные
занятия
(36
часов),
практические занятия (36 часов), самостоятельная работа студента (72 часов).
Дисциплина реализуется на 1 курсе в 2семестре.
Цель:
является
изучение
основных
математических
понятий,
представлений и их свойств, на основе которых создаются математические
модели механических явлений и законов в линейном приближении.
Задачи:
1. изучение и овладение методами решения математических задач,
формулируемых и решаемых в линейной алгебре;
2. изучение методов и приемов математических доказательств теорем и
утверждений;
3. формирование у студентов умений и навыков самостоятельного
приобретения и применения знаний при исследовании и построении
математических моделей;
4. овладение студентами знаний по применению алгебры в различных
разделах механики при экспериментальном и теоретическом исследовании
механических явлений;
3
5. овладение
практическими
навыками
и
приемами
вычислений
определителей матриц, операций над матрицами, решения систем линейных
алгебраических уравнений, законов преобразований векторов и матриц,
решения характеристического уравнения, нахождения собственных векторов
и
собственных
значений,
операций
над
квадратичными
формами,
вычисления функций от матриц и т.д.
В результате изучения дисциплины бакалавр должен знать:
- глубоко и прочно основные понятия и теоремы курса;
-последовательно, грамотно и без логических пробелов излагать
программный материал;
- формулировать и доказывать наиболее важные для овладения курсом
математические утверждения;
- формулировать и доказывать наиболее важные для овладения курсом
математические утверждения;
уметь:
- применять знания для освоения основных методов приближенного
решения задач математике;
-выбрать адекватный и эффективный метод решения профессиональных
задач;
владеть:
-
навыками
применения
вычислительных
средств
к
решению
профессиональных задач;
-навыками применения математических моделей для описания и
исследования реальных объектов Методикой построения, анализа и
применения математических моделей для решения прикладных инженерных
задач.
а также обладать следующими общекультурными и профессиональными
компетенциями:
4
ОК-1: владеть культурой мышления, иметь способности к обобщению,
анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее
достижения
ОК-10: использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического и
компьютерного
моделирования
в
теоретических
и
расчетно-
экспериментальных исследованиях
ОК-15: уметь использовать фундаментальные законы природы, законы
естественнонаучных дисциплин и механики в процессе профессиональной
деятельности
ОК-16: быть готовым к профессиональному росту, самостоятельно
пополнять свои знания, совершенствовать умения и навыки, самостоятельно
приобретать и применять новые знания, развивать компетенции
ПК-1:
быть
способным
выявлять
сущность
научно-технических
проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и привлекать
для их решения соответствующий физико-математический;
ПК-2: применять физико-математический аппарат, теоретические,
расчетные
и
математического
экспериментальные
и
методы
компьютерного
исследований,
моделирования
в
методы
процессе
профессиональной деятельности;
ПК-3: быть готовым выполнять расчетно-экспериментальные работы и
решать научно-технические задачи в области прикладной механики на
основе достижений техники и технологий, классических и технических
теорий и методов, физико-механических, математических и компьютерных
моделей, обладающих высокой степенью адекватности реальным процессам,
машинам и конструкциям.
5
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
МОДУЛЬ 1.Основы линейной алгебры(18 час).
Раздел I.Матрицы и определители(18 час.)
Тема 1. Определитель матрицы.(4 час.).
Определение и элементарные свойства определителей. Определитель
произведения матриц. Разложение определителя по строке (столбцу).
Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований.
Определитель и линейная независимость системы векторов. Геометрический
смысл определителя.
Тема 2. Системы линейных уравнений (4 час.).
Координатная, векторная и матричная формы записи системы линейных
уравнений. Исследование систем линейных уравнений. Теоремы КронекераКапелли, Крамера, Фредгольма.
методом
элементарных
Решение систем линейных уравнений
преобразований
(методом
Гаусса).
Решение
однородных систем линейных уравнений. Метод Крамера.
Тема 3. Матрицы и действия над ними (4 час.).
Обратимые линейные отображения. Обратная матрица. Признаки
существования обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с
помощью
элементарных
преобразований
и
с
помощью
союзной
(присоединенной) матрицы. Преобразование координат вектора и элементов
матрицы при переходе к новому базису. Ортогональные матрицы.
Тема 4. Комплексные числа (6 час.).
Алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Модуль и
аргумент. Экспонента от комплексного числа, формула Эйлера. Основная
теорема алгебры. Разложение на множители многочлена с вещественными
коэффициентами.
МОДУЛЬ 2. Линейные и векторные пространства(18 час.).
Раздел I.Векторное пространство (10 час.)
Тема 1. Операции над векторами(6 час.).
Определение и свойства линейных операций над векторами, векторное
6
пространство. Линейно зависимые и линейно независимые системы
векторов. Скалярное произведение, неравенство Коши, норма (длина)
вектора. Смешанное произведение векторов. Ортогональность, угол между
векторами. Базисы, координаты вектора относительно базиса, размерность.
Ортогональные и ортонормированные базисы, процедура ортогонализации
Тема 2.Подпространства и линейные оболочки. (4 час.).
Подпространства и линейные оболочки. Ранг системы векторов.
Эквивалентные системы векторов, элементарные преобразования систем
векторов.
Раздел II. Линейные пространства(6 час)
Тема 1. Евклидовы пространства(2 час.).
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его
следствия. Структура общего решения однородной и неоднородной СЛАУ,
фундаментальная система решений.
Тема 1. Собственные числа и собственные вектора (4 час.).
Определение собственных векторов и собственных чисел линейного
отображения и квадратной матрицы. Собственные подпространства. Вид
матрицы линейного отображения в базисе из собственных векторов. Понятие
о характеристическом и минимальном многочлене квадратной матрицы.
Квадратичные и билинейные формы. Критерий Сильвестра положительной
определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к
сумме квадратов. Основные понятия линейной балансовой модели. Элементы
теории неотрицательных матриц.
II.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Практические занятия (36час.)
Занятие 1. Декартовые системы координат (4 час.)
1. Конечные суммы
2. Переход из декартовой системы координат в полярную и обратно.
7
Занятие 2. Преобразование комплексных чисел (4 час.)
1. Преобразование комплексных чисел в различные формы записи
2. Действия с числами в алгебраической форме.
Занятие 3. Комплексные числа(4 час.)
1. Возведение комплексных чисел в степень
2. извлечение из комплексных чисел. корней,
3. построение решения графически, деление многочленов
Занятие 4. Операции над векторами (4 час.)
1. Линейные
операции
над
векторами
заданными
линейными
комбинациями
2. Линейные операции над векторами заданными в координатной
форме
Занятие 5. Скалярное произведение(4 час.)
1. Вычисление скалярного произведения
2. Деление отрезка в заданном отношении.
Занятие 6. Векторное и смешанное произведение(4 час.)
1. Свойства векторного произведений
2. Свойства смешанного произведений
Занятие 7. Операции над матрицами (4 час.)
1. Вычисление определителя разложением по строке и столбцу
2. Свойства определителя
Занятие 8. Ранг матрицы (4 час.)
1. Базисный минор
2. Нахождение Ранга матрицы
Занятие 9. Обратной матрицы (4 час.)
1. Вычисление и свойства обратной матрицы
2. Матричный метод
3. Общие и частные решения неоднородных систем
8
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
В
качестве
текущего
контроля
успеваемости
используется
самостоятельные работы по модулям «Основы линейной алгебры» и
«Линейные и векторные пространства».
Вопросы к экзамену
1. Матрицы. Операции над матрицами.
2. Определители. Их свойства.
3. Миноры и алгебраические дополнения.
4. Обратная матрица. Единственность
5. Обратная матрица. Существование.
6. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ
нахождения обратной матрицы.
7. Ранг матрицы.
8. Понятие линейной независимости столбцов матрицы. Теоремы о
базисном миноре, о ранге матрицы. Необходимое и достаточное условие
равенства нулю определителя.
9. Условие совместности СЛАУ. Теорема Кронекера - Капелли.
10. Вывод формул Крамера для системы n-ого порядка.
11. Общее решение однородной СЛАУ.
12. Структура общего решения неоднородной СЛАУ.
13. Линейное пространство. Базис и размерность. Основная теорема.
14. Подпространство и линейная оболочка. Теорема о размерности
суммы и пересечении подпространств.
15. Линейные отображения. Матрица линейного отображения. Ядро и
образ. Условие взаимной однозначности линейного отображения.
16. Собственные значения и собственные векторы. Матрица линейного
отображения в базисе из собственных векторов.
17. Линейное векторное n-мерное пространство.
18. Скалярное произведение. Угол между векторами.
19. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
9
20. Системы векторов.
21. Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
22. Ортогональные системы векторов.
23. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
24. Линейные векторные пространства.
25. Линейные отображения, их свойства.
Выпуклые множества. Решение систем линейных неравенств.
IV. ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Курсовые работы и рефераты не предусмотрены учебным планом.
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Любимова О. Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. –
УМК
.
–
Вл-к:
Изд-во
ДВГТУ,
2008.
-
167
с.http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:384206&theme=FEFU
2. Бочарова А. А. Дискретная математика. УМК. - Вл-к: изд-во ДВГТУ,
2008. - 143 с. http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:383216&theme=FEFU
3. Ильин В. А. Линейная алгебра. Учебник. - М: Проспект, 2012. - 393
с. http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:665825&theme=FEFU
4. Горлач
Б.
А.
Линейная
алгебра.
2006.
-
480
с.http://lib.dvfu.ru:8080/lib/item?id=chamo:242044&theme=FEFU
5. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия: учебное пособие. - М.: МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2011.
- 203 с. http://window.edu.ru/resource/888/76888
6. Брылевская Л.И., Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Аналитическая
геометрия и линейная алгебра: Учебное пособие / Под общей редакцией Л.С.
Ратафьевой.
-
СПб.:
СПбГУ
http://window.edu.ru/resource/241/59241
10
ИТМО,
2008.
-
146
с.
Дополнительная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004. – 304 с.
2. Ефимов Н.В. Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия.
. – М.: Физматлит, 2004. – 464с.
3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
– М.:
Физматлит, 2003. – 240с.
4. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2004.
– 280с.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Рольф, 2001. – 288 с.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. М.: Рольф, 2001. – 272 с.
7. Веселов А.П. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Лань, 2003.
– 160 с.
8. Беклемишев Д.В. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебры. Уч. пособие изд.2-е.– М.: Физматлит, 2003. – 496 с.
9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: ОНИКС 21, 2002. – 304 с.
10. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Линейная алгебра в в вопросах и
задачах. Уч. Пособие 2-е изд. – М.: «Физматлит», 2002. - 248с.
11. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.– М. «АСТ»,
2003. - 992с.
12. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: ОНИКС 21, 2002. – 314 с.
13. Митченко А.Д. Элементы линейной алгебры. – Вл-к.: Издательство
ДВГАЭУ, 1999.
14. Сборник задач по курсу высшей математики для втузов. Ч.1.
Линейная алгебра и основы математического анализа. /Под общей ред.
Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1991. – 462 с.
11
15. Сборник задач по курсу высшей математики для втузов. Ч.2.
Специальные разделы математического анализа. /Под общей ред. Ефимова
А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1991. – 368 с.
16. Линейные
операторы:
Методические
указания
к
домашней
контрольной работе по курсу "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".
Часть 2 / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: И.К. Бусяцкая,
К.К. Андреев. - М., 2006. - 23 с. http://window.edu.ru/resource/317/78317
12