по изучению учебной дисциплины для студентов

1. Рабочая программа
1.1. Цели освоения дисциплины
Ознакомление с теоретическими основами описания случайных событий и
случайных величин, а также методами обработки экспериментальных данных.
Теория
вероятностей
и
математическая
статистика
дают
необходимый
математический аппарат для изложения экономических дисциплин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Математическая статистика»входит в цикл общих
математических и естественнонаучных дисциплин. Требования к входным знаниям
и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных
функций.
дисциплин:
Данная
дисциплина
«Статистика»,
математическое
является
предшествующей
«Институционная
моделирование»,
«Методы
для
экономика»,
оптимальных
следующих
«Экономикорешений»,
«Эконометрика».
Дисциплина «Математическая статистика» относится к базовой части
математического и естественнонаучного цикла.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
В результате изучения данной дисциплины студент должен обладать
следующими общекультурными компетенциями (ОК):
пониманию современных концепций картины мира на основе
сформированного мировоззрения, овладения достижениями естественных и
общественных наук, культурологи (ОК-2);
применению теоретического и экспериментального исследования, основных
методов математического анализа и моделирования, стандартных статистических
пакетов для обработки данных, полученных при решении различных
профессиональных задач (ОК-5).
В результате изучения дисциплины «Математическая статистика»
обучающийся должен:
знать:
– основные понятия и теоремы теории вероятностей и математической
статистики;
– основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных
величин и их параметры;
– числовые характеристики случайных величин и методы их нахождения;
– сущность и условия применения выборочного метода;
– методы обработки результатов статистических наблюдений;
– основы статистической проверки статистических гипотез;
уметь:
– решать типичные задачи с использованием классического определения
вероятности и основных теорем теории вероятностей;
– составлять закон распределения дискретной случайной величины, а также
находить ее числовые характеритики;
– находить числовые характеритики непрерывных случайных величин, а также
решать задачи на применение наиболее распространенных законов
распределения непрерывных случайных величин (нормального, равномерного,
показательного);
– обрабатывать статистические данные с использованием точечных и
интервальных оценок;
– формулировать и проверять наиболее типичные виды статистических гипотез;
владеть:
– методами вычисления вероятностных характеристик случайных событий;
– методами описания дискретных и непрерывных случайных величин;
– методами определения параметров законов распределения случайных величин,
а также нахождения их числовых характеристик;
– методами обработки результатов выборочных наблюдений для оценки
параметров распределения исследуемых характеристик генеральной
совокупности;
– методами статистической проверки статистических гипотез.
1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
«Математическая статистика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
Форма контроля – зачет.
Вид учебной работы
Всего
часов
Очное
Заочное
Очно-
отделение отделение
заочное
отделение
3 сем.
Общая трудоемкость
4 сем.
4 сем
72
72
72
72
36
36
12
24
Лекции (Л)
18
18
8
12
Практические занятия
18
18
4
12
дисциплины
Аудиторные занятия
(всего)
В том числе:
(ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы
(ЛР)
Самостоятельная
36
36
56
48
36
36
56
48
Зачет
Зачет
4 часа
Зачет
работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические
работы
Реферат
И (или) другие виды
самостоятельной работы
Вид промежуточного
Зачет
контроля
1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий
2
2
4
1
2
3
3-4
2
2
4
3
3
5-7
2
2
4
4
3
7-8
2
2
4
5
3
9-11
2
2
4
1
1
1
1
Практические
занятия
Самостоятельные
занятия
1-3
Лекции
Лекции
3
Практические
занятия
Самостоятельные
занятия
Практические
занятия
Самостоятельные
занятия
Случайные
события
Дискретные
случайные
величины
Непрерывные
случайные
величины
Выборочный
метод
Статистическ
ое оценивание
параметров
распределени
я
Лекции
1
Неделя семестра
Раздел
дисциплины
(модуля)
Семестр
№
п/
п
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Дневное
Заочное
Очно-заочное
отделение
отделение
отделение
Формы
текущего
контроля
успеваемости
и
промежуточн
ой
аттестации
Контрольная
работа №1
Контрольная
работа №2
7
1
1
7
7
1
1
7
7
1
1
7
Контрольная
работа №3
7
1
1
7
Опрос
7
1
1
7
Контрольная
работа №4
6
7
8
Методы
расчета
числовых
характеристи
к выборки
Проверка
3
статистически
х гипотез о
параметрах
распределени
й случайных
величин
Проверка
3
статистически
х гипотез о
законах
распределени
я случайных
величин
11-13
2
2
4
1
7
2
1
7
Контрольная
работа №5
13 - 15
2
2
4
1
7
2
2
7
Контрольная
работа №5
16 - 17
2
2
4
7
2
2
7
Контрольная
работа №7
1
1.4.2. Содержание лекционных занятий
№
Наименование
п/п раздела дисциплины
(модуля)
1
Случайные события
2
Дискретные
случайные
величины
3
Непрерывные
случайные
величины
4
Выборочный метод
Содержание раздела
Основные понятия теории вероятностей. Классическое,
геометрическое
и
статистическое
определение
вероятности. Основные теоремы теории вероятностей и
следствия из них. Формула Бейеса.
Понятие дискретной случайной величины и ее закона
распределения. Формула Бернулли и биномиальный
закон распределения дискретной случайной величины.
Закон Пуассона. Числовые характеристики дискретных
случайных величин. Функция распределения.
Понятие
непрерывной
случайной
величины.
Интегральная
и
дифференциальная
функции
распределения непрерывной случайной величины.
Числовые характеристики непрерывных случайных
величин.
Равномерное,
показательное
и
нормальное
распределения непрерывных случайных величин, их
особенности и области применения.
Цели и задачи математической статистики.
Генеральная
и
выборочная
совокупности.
Репрезентативность выборки. Формы представления
результатов выборочных наблюдений.
5
6
7
8
Статистическое
оценивание
параметров
распределения
Методы расчета
числовых
характеристик
выборки
Проверка
статистических
гипотез о
параметрах
распределений
случайных величин
Проверка
статистических
гипотез о законах
распределения
случайных величин
Точечные оценки и их свойства. Статистические оценки
генеральной средней, генеральной дисперсии и
генерального среднего квадратического отклонения.
Интервальные оценки (доверительные интервалы).
Метод произведений и метод сумм числения
выборочной средней и выборочной дисперсии.
Понятие статистической гипотезы. Статистический
критерий. Вероятности ошибок первого и второго рода,
доверительная вероятность и уровень значимости.
Проверка
гипотез
о
равенстве
дисперсий,
математических ожиданий двух и нескольких
генеральных совокупностей.
Общий алгоритм проверки гипотез о виде закона
распределения. Проверка гипотез о равномерном,
показательном и нормальном распределении.
1.4.3. Содержание практических занятий
Наименова- Компе- ОбразовательСодержание занятий
ние раздела тенции
ная
дисциплин
технология
(модуля)
Решение задач на классическое
Случайные ОК-2,
события
ОК-5
определение вероятности, основные
теоремы теории вероятностей и их
следствия.
Решение задач на составление законов
Дискретные ОК-2,
случайные
ОК-5
распределения дискретных случайных
величины
величин и определение их числовых
харарктеристик. Нахождение функции
распределения дискретных случайных
величин. Решение задач на применение
биномиального закона и закона Пуассона.
Практикум
Решение задач на нахождение
Непрерывн ОК-2,
ые
ОК-5
дифференциальной и интегральной
случайные
функции распределения непрерывных
величины
случайных величин, а также их числовых
характеристик. Изучение особенностей
применения равномерного,
показательного и нормального
распределений и вычисления их
параметров.
Решение задач на закрепление основных
понятий выборочного метода, изучение
методов и форм представления
результатов выборочных наблюдений в
виде, наиболее пригодном для
последующей обработки. Построение
полигонов и гистограмм.
Решение задач на вычисление точечных
оценок генеральной средней, генеральной
дисперсии и генерального среднего
квадратического отклонения. Решене
задач на вычисление нтервальных оценок
(доверительныхинтервалов).
Решение задач на вычисление числовых
характеристик выборки с помощью метода
произведений и метода сумм.
ОК-2,
ОК-5
Практикум
Статистичес ОК-2,
кое
ОК-5
оценивание
параметров
распределен
ия
Практикум
ОК-2,
ОК-5
Практикум
ОК-2,
ОК-5
Практикум
Решение задач на проверку гипотез о
равенстве дисперсий двух и нескольких
генеральных совокупностей,
математических ожиданий двух
генеральных совокупностей,
распределенных по нормальному закону.
ОК-2,
ОК-5
Практикум
Решение задач на проверку гипотез о
равномерном, показательном и
нормальном распределении случайных
величин.
Выборочны
й метод
Методы
расчета
числовых
характерист
ик выборки
Проверка
статистичес
ких гипотез
о
параметрах
распределен
ий
случайных
величин
Проверка
статистичес
ких гипотез
о законах
распределен
ия
случайных
величин
1.5. Образовательные технологии
В качестве образовательной технологии при проведении практических
занятий по всем темам данной дисциплины используется практикум. На каждом
практическом занятии студенты под руководством преподавателя и самостоятельно
приобретают и закрепляют навыки решения задач и примеров по соответствующей
теме. В ходе решения задачи или примера производится анализ возможных методов
решения и выбор наиболее приемлемого, реализация выбранного подхода, а также
оценка достоверности и правильности полученного решения. Особое внимание
уделяется отработке наиболее сложных вопросов каждой темы.
1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое
обеспечение самостоятельной работы студентов
1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных
работ, выполняемых на практическом занятии по темам 1,2,3,4,5,6,7,8 и
индивидуальных самостоятельных работ, выполняемых дома в ходе подготовки к
занятию по «Теории вероятностей и математической статистике», по темам
1,2,3,4,5,6,7,8. Примеры решения задач, подобных входящим в контрольные работы,
можно найти в лекции по соответствующей теме.
Тема 1. Случайные события
Контрольная работа № 1
Цель работы: контроль знаний и умений студентов по основным понятиям и
теоремам теории вероятностей, относящимся к случайным событиям.
Тема 2. Дискретные случайные величины
Контрольная работа № 2
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области составления
законов распределения дискретных случайных величин, нахождения их числовых
характкеристик и функции распределения.
Тема 3. Непрерывные случайные величины
Контрольная работа № 3
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области взаимосвязи
дифференциальной и интегральной функции
распределения непрерывных
случайных величин, нахождения их числовых характкеристик, а также относительно
наиболее распространенных законов (равномерного, показательного и нормального)
распределения непрерывных случайных величин.
Тема 4. Выборочный метод
По данной теме котрользнаний студентов осуществляется на практических
занятиях в виде опроса.
Тема 5. Статистическое оценивание параметров распределения
Контрольная работа № 4
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области обработки
статистических данных, в частности, нахождения точечных и интервальных оценок
числовых характеристик генеральных совокупностей.
Тема 6. Методы расчета числовых характеристик выборки
Контрольная работа № 5
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области практического
применения метода произведений и метода сумм при обработке статистических
данных.
Тема 7. Проверка статистических гипотез
о параметрах распределений случайных величин
Контрольная работа № 6
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области формирования
статистических гипотез и проверки гипотез о параметрах распределения случайных
величин.
Тема 8. Проверка статистических гипотез
о законах распределения случайных величин
Контрольная работа № 7
Цель работы: контроль знаний и умений студентов в области применения
методов проверки статистических гипотез о виде закона распределения случайных
величин при обработке экспериментальных данных.
1.6.2 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и
углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой
дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Математический анализ”
заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием
конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся
вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Три задания по
каждой теме (на выбор студента) предоставляются преподавателю. Задания
считаются выполненными, если правильно решены все три представленные задачи.
Тема 1. Случайные события
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.
Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не
содержит цифры 7.
2. В урне 2 белых, 7 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том,
что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность
того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный шар и
при третьем – синий шар.
3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что число очков,
выпавших на одной кости в два раза больше числа очков, выпавших на другой
кости.
4. Для отключения системы достаточно срабатывания одного датчика. С
какой вероятностью отключится система при наличии 4 датчиков, вероятности
срабатывания которых соответственно равны 0,6; 0,75; 0,85; 0,80?
5. В денежной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрываются один выигрыш
в 1000 рублей, десять выигрыша по 250 рублей, 35 выигрышей по
1 рублю. Найти вероятность того, что при покупке одного билета сумма выигрыша
составит не более 500 рублей.
6. В ящике находятся 9 деталей, 4 из которых окрашены. Наудачу извлечены
5 деталей. Найти вероятность того, что окрашенных деталей среди отобранных
будет не менее трех.
7. В ящик, содержащий 2 детали, брошена стандартная деталь, а затем
наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная
деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных
деталей, первоначально находящихся в ящике.
8. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных
костей 4 очка появится хотя бы один раз?
9. В двух ящиках находятся детали: в первом – 8 (из них 3 стандартных), во
втором – 12 (из них 5 стандартных). Из первого ящика извлекают деталь и
перекладывают ее во второй ящик, а затем из второго ящика извлекают одну деталь.
С какой вероятностью деталь, извлеченная из второго ящика, окажется
стандартной?
10. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3.
Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела.
Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки
получат приз.
11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике,
соответственно равны: 0,5; 08; 0,9. Найти вероятности того, что формула
содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в)во
всех трех справочниках; г) хотя бы в одном справочнике.
Тема 2. Дискретные случайные величины
Для самостоятельной работы по данной теме рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. Найти функцию распределения и математическое ожидание дискретной
случайной величины X, имеющей распределение:
X
p
-10
0.40
10
0.10
20
0.05
50
0.15
70
0.30
2. Найти функцию распределения и математическое ожидание дискретной
случайной величины X, имеющей распределение:
X
p
–10
0.40
10
0.10
20
0.05
50
0.15
70
0.30
3. Составить закон распределения и найти числовые характеристики
случайной величины X – числа попаданий в мишень при четырех выстрелах при
условии, что вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7.
4. Составить биномиальный закон распределения случайной величины X –
числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости, а также найти ее
числовые характеристики.
5. В денежной лотереи выпущено 100 билетов. Разыгрываются один выигрыш
в 1000 рублей, десять выигрыша по 250 рублей, 35 выигрышей по 1 рублю. Найти
закон распределения дискретной случайной величины X – стоимости выигрыша для
владельца
одного лотерейного билета, а также числовые характеристики и
функцию распределения данной случайной величины.
6. В семье четверо детей. Составить закон распределения числа мальчиков
среди этих детей, найти математическое ожидание, дисперсию и функцию
распределения данной случайной величины при условии, что вероятность рождения
мальчика равна 0,6.
Тема 3. Непрерывные случайные величины
Для самостоятельной проработки отдельных вопросов данной темы
рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Дана интегральная функция распределения непрерывной случайной
величины X :
при x  0,
0
F (x) =
x2  x
50
1
при 0  x  5,
при
x  5.
Найти дифференциальную функцию распределения и числовые характеристики
непрерывной случайной величины X , а также P (1 <X < 2).
2. Непрерывная случайная величина
распределения вида
f ( x) 
1
e
4 2

X подчиняется нормальному закону
( x  3) 2
32
.
Найти интегральную функцию распределения и числовые характеристики
случайной величины X, а также P (-2 <X < 0).
3. Случайная величина X задана на всей числовой оси Ox функцией
распределения F(x) = 1/2 + (arctg x)/  . Найти вероятность того, что в результате
испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1).
4. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения
0
F (x) =
при x  0,
x 2 при 0  x  1,
1
при
x  1.
Найти дифференциальную функцию распределения и числовые
характеристики случайной величины X.
5. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией
f ( x)  sin x в интервале (0,  /2); вне этого интервала
распределения
f ( x)  0 . Найти интегральную функцию распределения и математическое
ожидание случайной величины X, а также вероятность того, что в результате
испытания величина X примет значение, принадлежащее интервалу (  /3,  /2).
Тема 4. Выборочный метод
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
- приведение примеров использования математической статистики в
практической деятельности;
- повторение основных понятий и определений выборочного метода;
- анализ различных способов формирования выборочной совокупности;
- разработка примеров представления результатов выборочных наблюдений.
Тема 5. Статистическое оценивание параметров распределения
Для закрепления навыков в нахождении числовых характеристик выборки
рекомендуется выполнение следующих дополнительных заданий:
1. Построить полигоны частот и относительных частот, а также найти
выборочную среднюю и выборочную дисперсию для приведенного ниже
эмпирического распределения.
xi
-10
5
24
31
40
45
ni
12
8
12
10
13
5
2. Построить гистограммы частот и относительных частот, а также найти
выборочное среднее квадратическое отклонение для приведенного ниже
эмпирического распределения.
xi  xi 1
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
ni
5
8
12
10
14
11
3. Найти несмещенную оценку генеральной дисперсии для приведенного ниже
эмпирического распределения, а также интервальную оценку неизвестного
математического ожидания, если предполагается, что данная выборка взята из
генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения со
средним квадратическим отклонением, равным 13,2.
xi  xi 1
3 – 10
13 – 20
20 – 27
27 – 34
34 – 41
41 – 48
ni
7
13
20
15
10
5
Тема 6. Методы расчета числовых характеристик выборки
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную
дисперсию, если результаты выборочных наблюдений представлены в следующем
виде:
xi
5
9
13
17
21
25
29
33
ni
6
9
17
22
15
12
11
8
2. Найти методом сумм числовые характеристики выборки, если результаты
эмпирическое распределение имеет вид:
xi
-5
5
15
25
35
45
55
65
75
ni
6
9
17
12
19
12
11
8
6
3. Найти методом произведений и методом сумм числовые характеристики
выборки, если результаты эмпирическое распределение имеет вид:
xi  xi 1
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
ni
9
6
12
17
20
12
11
35-40 40-45
8
5
Тема 7. Проверка статистических гипотез
о параметрах распределений случайных величин
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
n1  13 и
n2  16 ,
1. По двум независимым выборкам объемом
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , вычислены
выборочные дисперсии, равные 84 и 64 соответственно. При уровне значимости
  0,01 проверить статистическую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий
при конкурирующей гипотезе H1 : D( X )  D(Y ) .
n  17 ,
2. По пяти независимым выборкам одинакового объема
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные
выборочные дисперсии: 87,5; 100, 3; 121,7;129,0; 160,5. При уровне значимости
  0,01 проверить гипотезу об однородности генеральных дисперсий, и, в случае
ее подтверждения, найти оценку генеральной дисперсии.
xi
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
ni
7
9
28
27
30
26
21
25
22
9
5
Тема 8. Проверка статистических гипотез
о законах распределения случайных величин
Для самостоятельной проработки данной темы рекомендуется выполнение
следующих дополнительных заданий:
1. При уровне значимости   0,05 проверить гипотезы о равномерном и
нормальном распределении случайной величины X , если результаты выборочных
наблюдений над указанной величиной представлены в виде следующей таблицы:
2. При уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о нормальном
распределении случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений
над указанной величиной представлены в виде следующей таблицы:
xi  xi 1
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
ni
9
6
12
17
20
12
11
35-40 40-45
8
5
3. При уровне значимости   0,05 проверить гипотезу о показательном
распределении случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений
над указанной величиной представлены в виде следующей таблицы:
xi  xi 1
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
ni
139
57
25
11
7
5
3
35-40 40-45
2
1
1.6.3. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и
углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой
дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Математическая статистика”
заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием
конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы приводятся
вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнении дополнительных заданий по каждой теме. Объем заданий,
предоставляемых студентом на проверку преподавателю, указывается ниже по
каждой теме.
1.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Балдин К. В. Теория вероятностей и математическая статистика
[Электронный ресурс] : Учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. - 2е изд. - М.: Дашков и К, 2010. - 473 с.- ЭБС: http://znanium.com/
2.Теория вероятностей и математическая статистика: [Электронный ресурс]:
Учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин;
под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансовопромышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия).- ЭБС:
http://znanium.com/
3. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: Учебник/ М.С.
Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: ИНФРА-М, 2011. – 472 с. – (Высшее образование). –
ЭБС: http://znanium.com/
б) дополнительная литература:
1. Шапкин А. С. Задачи с решениями по высшей математике, теории
вероятностей, математической статистике, математическому программированию
[Электронный ресурс] : Учеб. пособие для бакалавров / А. С. Шапкин, В. А.
Шапкин. - 8-е изд. - М. : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. 432 с.- ЭБС: http://znanium.com/
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.
пособие / В.Е. Гмурман. - 12-е изд.; перераб. - М.: Юрайт; Высш. образование, 2009.
- 479 с. - (Основы наук)
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман. - 11-е изд.; перераб. - М.:
Юрайт; Высш. образование, 2009. - 404 с. - (Основы наук)
1.8. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины (модуля)
Аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
2. Перечень вопросов к зачету
Зачет по данной дисциплине не предусмотрен.
3. Перечень вопросов к экзамену
Экзамен по данной дисциплине проводится в письменной форме.
Экзаменационная работа включает в себя три части: тестовую, практическую
и общетеоретическую.
Результат сдачи экзамена оценивается по десятибалльной системе
суммированием баллов, получаемых студентом за каждую часть экзаменационного
билета.
Ниже излагаются основные принципы формирования экзаменационных
билетов и рекомендации по оцениванию знаний студентов.
I. Тестовая часть
Тестовая часть состоит из 10 заданий, которые, в свою очередь, включают в
себя:
а) задания на знание определений основных понятий теории вероятностей и
математической статистики, основных свойств функций распределения и числовых
характеристик случайных величин, а также особенностей обработки результатов
выборочных наблюдений;
б) примеры и задачи по отдельным вопросам (задачи на классическое
определение вероятности, на основные теоремы теории вероятностей и следствия из
них, на вычисление характеристик случайных величн, подчиняющихся наиболее
известным законам распределения, а также простейшие задачи по обработке
статистических данных). Задание считается выполненным правильно, если
правильный ответ подтверждается соответствующим расчетом.
Тестовая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 5 баллов (1 балл
студент получает за каждые два правильно выполненных задания).
Ниже приводятся 3 примера из 10 заданий тестовой части экзаменационной
работы и оформления их решения.
1. Дайте определение противоположных событий.
Ответ: два события называются противоположными, если они образуют
полную группу событий.
2. В урне 6 белых и 5 красных шаров. По одному (не возвращая обратно) из
урны извлекают два шара. Какова вероятность того, что все извлеченные шары
окажутся красными.
Решение.
Введем следующие обозначения:
A – событие, состоящее в том, что первый извлеченный шар будет красным;
B – событие, состоящее в том, что второй извлеченный шар будет красным;
AB – событие, состоящее в том, что оба извлеченных шара будет красными.
Используем формулу вероятности произведения зависимых событий
P( AB)  P( A)  PA ( B) ,
где: P( A) – вероятность события A ;
PA (B) – вероятность события A , если предварительно свершилось событие A ;
P (AB) – вероятность совместного появления событий A и B .
Вероятность P( A) находим по формуле классического определения:
P( A) 
где:
m
,
n
m – первоначальное число красных шаров ( m  5 );
n – первоначальное число всех шаров ( n  11).
P ( A) 
5
.
11
Вероятность PA (B) находим по формуле классического определения:
m
,
n
где: m – число красных шаров, оставшихся после извлечения одного
красного шара ( m  4 );
n – число всех шаров, оставшихся после извлечения одного красного шара
( n  10 ).
4
PA ( B )  .
10
5 4
2
 
Следовательно, P ( AB) 
11 10 11 .
2
Ответ:
11 .
P( A) 
X равномерно распределена в
3. Непрерывная случайная величина
интервале (-2;8). Найти числовые характеристики данной случайной величины.
Решение.
а) Математическое ожидание
a  2 ,
величины X .
где:
M (X ) 
ab
,
2
b  8 – границы интервала возможных значений случайной
M (X ) 
28
3
2
.
(b  a) 2
б) Дисперсия D( X ) 
,
12
(8  (2)) 2
D( X ) 
 8,33.
12
б) Среднее квадратическое отклонение
 ( X )  D( X ) ,
 ( X )  8,33  2,89.
Ответ: M ( X )  3; D( X )  8,33;  ( X )  2,89.
II. Практическая часть
Практическая часть включает в себя одну задачу прикладного характера,
требующую использования знаний по нескольким темам дисциплины, таким как,
нахождение функций распределения, числовых характеристик дискретных и
непрерывных случайных величин, обработки результатов выборочных наблюдений,
проверка статистических гипотез и т.п.
Практическая часть экзаменационной работы оценивается от 0 до 2 баллов в
зависимости от правильности и полноты решения задачи.
Ниже приводятся примеры заданий практической части экзаменационной
работы и оформления их решения.
1. Игральную кость бросают 3 раза.
Составить биномиальный закон
распределения дискретной случайной величины X - числа выпадений шестерки
при трех бросаниях игральной кости и найти ее числовые характеристики.
Решение.
а) Составляем закон распределения случайной величины X .
Возможные значения случайной величины X : x1  0 ; x2  1 ; x3  2 ; x4  3 .
Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли Pn (k )  Cn  p  q 
k
k
nk
с
учетом того, что число испытаний n  3 , вероятность выпадения шестерки при
1
, вероятность выпадения не шестерки при
6
1 5
одном бросании игральной кости q  1   , а k  x1; x2 ; x3 ; x4 .
6 6
одном бросании игральной кости p 
0
3
125 125
1 5
P( X  0)  P3 (0)  C      1  1 

216 216 ;
6 6
0
3
1
1
P( X  1)  P3 (1)  C  
6
1
3
2
1 25 75
5

   3 
6
6
36
216 ;
 
 1   5  3  2 1 5 15
P( X  2)  P3 (2)  C32     
  
6
6
1

2
36 6 216 ;
   
1
P( X  3)  P3 (3)  C  
6
2
1
3
0
3
3
1
1
5
1 
   1
216
216 .
6
Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет следующий
вид:
xi
0
1
2
3
pi
125
216
75
216
15
216
1
216
б) Находим числовые характеристики случайной величины.
M ( X )  np ,
Математическое ожидание
1 1
M ( X )  3    0,5.
6 2
.
б) Дисперсия D( X )  npq ,
1 5 5
D( X )  3   
 0,42.
6 6 12
б) Среднее квадратическое отклонение
 ( X )  D( X ) ,
 ( X )  0,42  0,65.
Ответ: M ( X )  0,5; D( X )  0,42;  ( X )  0,65.
2. Найти интегральную функцию распределения непрерывной случайной
величины X , а также вероятность P(1,4  X  2,8) , если ее плотность
распределения вероятностей имеет вид
0
f (x) 
x  1,
при
x  1 2 при 1  x  2,
0
при x  2 .
Решение.
а) Находим интегральную функцию распределения F ( X ).
x
Для непрерывной случайной величины F ( x) 
 f ( x)dx .

Из условия задачи видно, что случайная величина X может имеет различную
плотность распределения на разных интервалах. Поэтому рассмотрим следующие
случаи:
1) для всех x  1
F ( x) 
x
x


 f ( x)dx   0dx  0 ;
2) для всех 1  x  2
1
x
x2 x x
x2 x
1 1
1
F ( x)   0dx   ( x  1 2)dx  (  )  (  )  (  )  ( x 2  x) ;
2 2 1
2 2
2 2
2

1
x2
3) для всех
1
2
x
x2 x 2
22 2
1 1
F ( x)   0dx   ( x  1 2)dx   0dx  (  )  (  )  (  )  1 .
2 2 1
2 2
2 2

1
2
Следовательно,
0
при
x  1,
1 2
( x  x)
2
F (x) 
1
при
при 1  x  2,
x  2.
б) Находим вероятность P(1,4  X  2,8) .
Использум формулу P(a  X  b)  F (b)  F (a) .
В условиях задачи a  1,4 и b  2,8 следовательно,
1
P(1,4  X  2,8)  F (2,8)  F (1,4)  1  (1,4 2  1,4)  0,72 .
2
Ответ:
при
0
F (x) 
x  1,
1 2
( x  x)
2
при
1
при 1  x  2,
x  2.
P(1,4  X  2,8)  0,72 .
3. Найти числовые характеристики выборки и эмпирическую функцию
распределения случайной величины X , если результаты выборочных наблюдений
представлены в виде:
xi
2
10
20
25
ni
3
6
9
7
Решение.
1. Находим объем выборки n  3  6  9  7  25 .
k
_
2. По формуле x в 
_
xв 
n x
i i
i 1
вычисляем выборочную среднюю
n
3  2  6 10  9  20  7  25
 16,84 .
25
k
3. По формулам Dв 
_
 ni ( xi  x в )
i 1
n
n
2
2
и S (X ) 
_
 ( xi  x в ) 2
i 1
n 1
вычисляем
выборочную и исправленную выборочную дисперсии соответственно:
3(2  16,84) 2  6(10  16,84) 2  9(20  16,84) 2  7(25  16,84) 2
Dв 

25
1002,34

 40,09 ;
25
3(2  16,84) 2  6(10  16,84) 2  9(20  16,84) 2  7(25  16,84) 2
2
S (X ) 

24

1002,34
 41,76 .
24
4. По формулам  в  Dв и S ( X )  S 2 ( X ) вычисляем выборочное и
исправленное выборочное средние квадратические отклонения соответственно:
 в  40,09  6,33 :
S ( X )  41,76  6,46 .
5. Эмпирическую функцию распределения случайной величины X находим
по формуле F ( x ) 
*
а) при x  2 :
nx
n
x n
n , где x – число вариант, меньших ; – объем выборки.
x1  2 представляет собой наименьшее значение наблюдаемой величины,
*
следовательно, F ( x)  0 для всех x  2 .
б) при 2  x  10 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  3 , следовательно,
F * ( x) 
3
 0,12 .
25
в) при 10  x  20 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  9 , следовательно,
9
F * ( x) 
 0,36 .
25
г) при 20  x  25 :
Для любого x , принадлежащего данному интервалу, nx  18 , следовательно,
18
F * ( x) 
 0,72 .
25
д) при x  25 :
Для любого
F * ( x) 
x , принадлежащего данному интервалу, nx 25 , следовательно,
25
 1.
25
В итоге
распределения:
получаем
следующее
F * ( x) 
0
0,12
0,36
0,72
1
выражение
при
при
при
при
при
эмпирической
функции
x  2;
2  x  10 ;
10  x  20 ;
20  x  25 ;
x  25 .
_
2
Ответ: x в  16,84 ; Dв  40,09 ; S ( X )  41,76 ;  ( X )  6,33 ; S ( X )  6,46 ;
F * ( x) 
0
0,12
0,36
0,72
1
при
при
при
при
при
x  2;
2  x  10 ;
10  x  20 ;
20  x  25 ;
x  25 .
III. Общетеоретическая часть
Общетеоретическая часть экзаменационной работы включает в себя один
теоретический вопрос из предлагаемого ниже перечня.
Общетеоретическая часть оценивается от 0 до 3 баллов в зависимости от
правильности и полноты изложения.
Перечень теоретических вопросов
1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Классическое определение вероятности.
3. Геометрическое и статистическое определения вероятности.
4. Вероятность суммы и произведения событий.
5. Следствия из теорем сложения и умножения вероятностей.
6. Формула Бейеса.
7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
8. Биномиальный закон и закон Пуассона.
9. Функция распределния дискретной случайной величины.
10. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
11. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной
величины.
12. Интеральная функция распределния непрерывной случайной величины.
13. Дифференциальная функция распределния непрерывной случайной величины.
14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
15. Равномерное распределение непрерывной случайной величины.
16. Показательное распределение непрерывной случайной величины.
17. Нормальное распределение непрерывной случайной величины.
18. Основные понятия выборочного метода.
19. Точечные оценки.
20. Числовые характеристики выборки.
21. Метод произведений вычисления выборочной средней и выборочной
дисперсии.
22. Метод сумм вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.
23. Основные понятия статистической проверки статистических гипотез.
24. Статистические критерии.
25. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных
совокупностей.
26. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нескольких нормальных
генеральных совокупностей.
27. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных
генеральных совокупностей.
28. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
29. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной
совокупности.
30. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
4. Методические рекомендации
по изучению учебной дисциплины для студентов
При изучении темы “Случайные события” необходимо обратить внимание на
основные подходы к определению понятия вероятности и условия их применения, а
также на основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
При изучении темы “Дискретные случайные величины” особое внимание
следует обратить на понятие дискретной случайной величины, ее описание
спомщью закона распределения, а также на основные числовые характеристики
случайных величин.
При изучении темы “Непрерывные случайные величины ” внимание следует
обратить на отличие непрерывных случайных величин и способов их описания от
дискретных случайных величин, а также на наиболее распространенные законы
распределения непрерывных случайных величин и их характерные особенности.
При изучении темы “Выборочный метод” особое внимание следует обратить
на основные цели и задачи математической статистики, методы обеспечения
репрезентативности выборки, а также основные формы представления результатов
выборочных наблюдений.
При изучении темы “Статистическое оценивание параметров распределения”
особое внимание следует обратить на применение различных видов оценок
параметров распределения в зависимости от объемов и формы представления
экспериментальных данных.
При изучении темы “Методы расчета числовых характеристик выборки ”
внимание следует обратить на условия применения метода произведений и метода
сумм для обработки статистических данных.
При изучении темы “Проверка статистических гипотез о параметрах
распределений случайных величин” внимание следует обратить на виды
статистических гипотез, разновидности статистических критериев и условия их
применения, а также на достоверность принятия решения.
При изучении темы “Проверка статистических гипотез о законах
распределения случайных величин ” следует обратить внимание на общий порядок
проверки таких гипотез, а также на особенности проверки гипотез для наиболее
распространенных видов законов распределения.