Тема 10. Бином Ньютона. Комбинаторика

Тема 10. «Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.
Основные формулы комбинаторики»
Познакомимся с основными комбинациями: перестановками,
размещениями и сочетаниями из n элементов без повторений и
формулами для вычисления их количества; узнаем формулу бинома
Ньютона и установим его связь с треугольником Паскаля; выявим
связь между биномиальными коэффициентами и формулами для
вычисления сочетаний.
Перестановки. Конечное множество из n различных элементов,
расположенных в определенном порядке называется перестановкой
из n элементов без повторений. Например, для трехэлементного
множества a, b, c можно составить 6 перестановок:
 a, b, с  ,  a, c, b  ,  b, a, c  , b, c, a  ,  c, b, a  ,  c, a, b .
Перестановки заключаются в круглые скобки (как координаты
точки или вектора, где тоже важен порядок следования элементов).
Количество
перестановок
зависит
только
от
числа
переставляемых элементов и обозначается Pn . Очевидно, что P1  1.
Методом математической индукции легко доказывается, что
Pn  n !  1  2  3  ...  n
По определению считают, что P0  0!  1.
Размещения. Множество элементов вместе с заданным
порядком расположения его элементов называют упорядоченным
множеством. Конечные упорядоченные множества называют
размещениями. Видно, что перестановки – это частный случай
размещений. В чем же отличие? Пусть нам дано множество А,
состоящее из n различных элементов. Упорядоченное k –элементное
подмножество множества А (т.е. k  n ), называют k - размещением
без повторений из n элементов. Методом математической индукции
легко доказывается формула для количества k - размещениий без
повторений из n элементов, которое обозначается Ank .
Ank 
n!
 n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  k  1)
n

k
!


Очевидно, что перестановки из n элементов – это размещения из
n!
n!
  n !  Pn .
n по n. действительно, Ann 
(n  n)! 0!
Сочетания. В комбинаторике конечные множества из k попарно
различных элементов называются k-сочетаниями без повторений.
Если элементы при этом можно выбирать из множества, состоящего
из n попарно различных элементов, то такие сочетания называют kсочетаниями из n элементов. Другими словами, k-сочетание из n
элементов без повторений – это k-элементное подмножество nэлементного множества. Главное, что отличает сочетания от
перестановок и размещений – это отсутствие порядка следования
элементов. Количество k-сочетаний из n элементов без повторений
обозначается Cnk .
Подсчитывая количество k - размещениий без повторений из n
элементов, можно получить равенство Ank  Cnk  Pk , откуда
Ank
n!
C 

Pk k ! (n  k )!
k
n
Свойства сочетаний. Используя полученную формулу для
числа сочетаний и метод математической индукции несложно
доказать следующие свойства сочетаний справедливые для любых
натуральных n и k (0  k  n) .
1* Cnk  Cnn k .
2* Cnk  Cnk 1  Cnk11.
3* Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn  2n.
5
Пример 1. Вычислить A72 , C135
.
Решение.
7! 1  2  3  4  5  6  7
A72  
 6  7  42;
5!
1 2  3  4  5
13!
1  2  3  4  5  ... 13
9 10 11 12 13
C135 


 1287.
8! 5! (1  2  3  4  5)  (1  2  3  4  5  ...  8)
1 2  3  4  5
Пример 2. Сколькими способами можно распределить
обязанности певца, танцора и чтеца между участниками концерта,
если каждый умеет и петь, и танцевать, и декламировать?
Решение. Речь идет о перестановках из трех элементов:
P3  3!  6 . Шестью способами.
Пример 3. Сколькими способами могут занять места в
автомобиле 5 человек, если водительские права имеют только двое?
Решение. Предположим, что водительское место занял один из
пассажиров, тогда остальные могут сесть 4!=24 разными способами.
Аналогично, если другой пассажир займет водительское место, то все
оставшиеся разместятся 4!=24 способами. Значит, всего способов
занять места 24+24=48.
Пример 4. На один ряд, на котором 8 стульев, рассаживаются 5
юношей и 3 девушки. Сколькими способами они могут сесть, чтобы
не все девушки оказались сидящими рядом?
Решение. Решим задачу методом перехода к «дополнительной»
задаче. То есть вычислим число всевозможных способов
расположения молодежи и вычтем из него число всех способов, когда
три девушки сидят рядом.
Всех способов расположиться будет 8!. Пусть теперь три
девушки сидят рядом. Фиксированная тройка девушек может занять
места шестью способами: стулья с 1-го по 3-ий, или со 2-го по 4-ый,
или с 3-го по 5-ый, и т.д., наконец, с 6-го по 8-ой.
Учитывая, что внутри эта тройка может рассаживаться 3!
способами, а при этом оставшиеся на пяти местах юноши тоже могут
перемещаться 5! способами, получаем число всевозможных способов
расположения, когда все девушки сидят рядом равно 6  3! 5!.
Тогда число нужных способов равно
8! 6  3! 5!  6!(7  8  6)  720  50  36000.
Пример 5. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4
смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Сначала посчитаем число способов выбрать 4 девушки
- C104 и четверо юношей - C64 . Их произведение даст число способов
выбрать 8 человек для составления пар. Чтобы получились разные
пары, необходимо четверо человек (например, юношей) переставить
всеми возможными способами (при фиксированном положении
девушек), таких способов – 4!.
Значит, всего пары создать можно C104  C64  4! 
10!
способами.
48
5
Пример 6. Решить неравенство Cn41  Cn31   An22  0 .
4
Решение. Заметим, что областью допустимых значений
являются n  5 . Преобразуем левую часть, используя формулы:
 n  1!
 n  1! 5  n  2 !

 
0
4!  n  5 ! 3!  n  4 ! 4  n  4 !
 n  4  n  3 n  2  n  1  n  3 n  2  n  1
5  n  3 n  2 
 
 0.
4!
3!
4
1
Умножим обе части неравенства на 4! и вынесем общий множитель
за скобки, получим:

 n  3 n  2  n  4 n 1  4  n 1  30  0.
Раскладываем на множители последнюю скобку:
 n  3 n  2 n  2  n  11  0.
Учитывая ОДЗ, замечаем, что первые три скобки положительны.
n  11.
Следовательно,
Решениями
неравенства
являются
n5, 6, 7, 8, 9,10 .
Бином Ньютона. Всем хорошо известны формулы
сокращенного умножения, называемые «квадрат суммы (разности)» и
«куб суммы (разности)»:
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
 a  b   a 2  2ab  b 2
2
 a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3
 a  b   a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3
Отметим закономерности, наблюдаемые в данных формулах.
1. Количество слагаемых на единицу больше степени двучлена
(бинома).
2. Все слагаемые имеют степень, совпадающую со степенью
бинома.
3. При переходе от каждого одночлена к соседнему степень
первого слагаемого бинома уменьшается на 1, а второго увеличивается на 1.
4. Коэффициенты симметрично расположенных одночленов
равны.
5. Крайние коэффициенты равны единице.
6. Вторые от края коэффициенты совпадают со степенью бинома.
7. Коэффициент для одночлена (n+1)-ой степени бинома (кроме
крайних) можно получить, сложив коэффициенты двух
одночленов n-ой степени бинома, стоящих на таком же по
порядку месте и предыдущем.
Коэффициенты бинома, получаемые по замеченным выше
закономерностям, можно легко выписать для любой степени n в
виде числового треугольника, называемого треугольником
Паскаля.
Треугольник Паскаля
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
7
3
4
6
5
10
6
1
4
10
15
21
1
20
35
1
5
15
35
Возникает вопрос об обобщении
1
6
21
1
7
1
данных формул для любой
натуральной степени n двучлена или бинома. Такое обобщение
существует и носит название «формулы бинома Ньютона». Запишем
эту формулу в свернутом и развернутом виде.
Формула бинома Ньютона
a  b
n
n
  Cnk  a n  k  b k 
k 0
 Cn0 a n  Cn1  a n 1  b  Cn2  a n  2  b 2  Cn3  a n 3  b 3  ...  Cnn 1  a  b n 1  Cnn  b n .
Коэффициенты
называются
Cnk
биномиальными
коэффициентами: (k+1) –ое слагаемое называется k-ым членом
разложения бинома и обозначается
Tk  Cnk  a nk  bk ,
(k  0,1, 2, ..., n).
 2xy  x  .
7
Пример 7. Разложить по формуле бинома Ньютона
Решение. Заметим. Что можно преобразовать бином, вынеся
общий множитель за скобку: 
x (2 y x  1)

7
7
2
 x  (2 y x  1)7 .
Применяем формулу бинома Ньютона
2y
    7   2 y x   21 2 y x 
x   21 2 y x   7  2 y x   1 
7
x 1  2 y x

35 2 y
3
7
6
5

 35 2 y x

4

2
 128 y 7 x3 x  448 y 6 x3  672 y 5 x 2 x  560 y 4 x 2  280 y 3 x x 
84 y 2 x  14 y x  1.
Далее полученное разложение умножаем на
7
2
x  x3 x
.
128 y 7 x 7  448 y 6 x 6 x  672 y 5 x 6  560 y 4 x 5 x  280 y 3 x 5 
84 y 2 x 4 x  14 yx 4  x 3 x .
15
1 
3
x


Пример 8. Найти член разложения 
x  , не содержащий
x.
Решение. Запишем формулу k –того члена для данного бинома
15k
1
k  3
Tk  C15   x 
 
k
305 k
  12 
k
  x   C15  x 6


Так как член разложения не содержит x, то приравняем
k  6.
показатель степени к 0, получим
Найдем шестой член бинома
T6  C156  5005.
n
 x 1 
2  x
Пример 9. В разложении 
4  сумма биномиальных
клэффициентов первого и второго членов разложения равна 36, а
второй член разложения в 7 раз больше первого. Найти x.
Решение. Из первого условия найдем n.
n!
(n  1)n n 2  n
C C  n
n

 36 
2! (n  2)!
2
2
1
n
2
n
 n 2  n  72  0  n  8.
Используя второе условие, найдем x.
T2  7  T1  C82   2 x    22 x   7  C81   2 x    22 x  
6
2
7
1
28  22 x  7  8  25 x  23 x  21  x   .
3
Задания для аудиторного занятия
1. Написать первые десять строк треугольника Паскаля.
k
2. Используя формулу Cn 
n!
4
, вычислить C102 , C43 , C23
.
k ! n  k !
3. Вычислить:
C84
A62  P4 11
A64
C102 45
a) E  3

 ; b) H  3

 .
C9  P3
A107
36
A7  5! C85 56
4. Решить уравнения и неравенства:
a) Ax21  C1x  79; b) Cx21  Ax2  4 x3   A21 x  ;
2
c) 5Cn3  Cn42 ; d ) Cx41  Cx31 
5 2
Ax2  0.
4
5. Сколько отрицательных членов содержит последовательность
143 Pn5
?

96 Pn3
xn  Cn45 
6. Доказать тождество P1  2 P2  3P3  ...  nPn   n  1! 1.
7.
Разложить по формуле бинома Ньютона и,
возможности, упростить:
 x  3
4
,  2 x  3z  ,
2
5


по
6
 1

2 x  3 ,  2  3x 2  .
x

7
8
1

8. Найдите член разложения  x   , не содержащий х. (Ответ.
x

70).
n
1 

9. В разложении  a a  4  , коэффициент второго члена
a 

разложения на 44 больше коэффициента первого члена. Найдите n .
(Ответ. 11)
n
1

10. Коэффициент при втором члене разложения  x 2   ,
4

равен 31. Найдите степень n. (Ответ. 4)
11. Сумма коэффициентов первого, второго и третьего
m
 2 1
слагаемых разложения  x   равна 46. Найдите член разложения,
x

не содержащий x. (Ответ. 84)
12. Сколькими способами из студенческой группы в 20 человек
можно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию?
Сколькими способами из той же группы можно выбрать трех
участников спортивной эстафеты 100+300+500?
13. Сколькими способами можно расставить на книжной полке
полное собрание сочинений М.Горького из 12 томов так, чтобы
первые три тома обязательно стояли рядом?
14. Сколько существует двузначных чисел, все цифры которых –
нечетные, а если все цифры – четные?
15. Из группы в 15 человек нужно выбрать бригадира и четырех
членов бригады. Сколькими способами это можно сделать?
16. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу
игроков двух футбольных команд, так чтобы при этом никакие два
футболиста одной команды не стояли рядом?