Лабораторная работа № 13. Бином Ньютона

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Математика для студентов географических направлений.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Распространенными задачами комбинаторики являются задачи о числе
различных соединений: размещений, перестановок, считаний, и задачи,
связанные с формулой Ньютона (биномом Ньютона).
Одно из важных правил комбинаторики – правило умножения. Если
объект A1 может быть выбран k1 способами, затем для каждого из таких
типов выборов объекта A1 другой объект A2 может быть выбран k 2
способами, затем для каждого из таких выборов и объекта A1 и объекта A2
третий объект A3 может быть выбран k 3 способами и т. д., включая m-ый
объект Am , который может быть выбран k m способами , то объект,
состоящий в выборе всех m объектов вместе, т. е. объект “ A1 ,  , Am ”
может быт выбран k1  k 2  k m способами.
П р и м е р 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить их
цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться ?
Решение.
При составление трехзначного четного числа A1 , A2 , A3 из данных
цифр вместо A1 можно взять любую указанную цифру кроме 0 (6
возможностей), вместо A2 можно взять любую из этих цифр (7
возможностей), вместо A можно взять любую из цифр 0, 2, 4, 6 (4
возможности).
Согласно правилу умножения, имеется 6  7  8  168 способов составить
число, удовлетворяющее условию задачи.
П р и м е р 2. Сколько существует шестизначных чисел, которые
делятся на 5?
Решение.
Поскольку число делится на 5, то его цифра разряда единиц равна 0
или 5 (2 возможности). Цифры же разряда десятков, сотен, тысяч и десятков
тысяч могут быть любыми от 0 до 9, т. е. в каждом из этих случаев имеется
10 возможностей. Цифра разряда сотен тысяч шестизначного числа может
быть любой, кроме 0 (9 вариантов).
Следовательно, всего несколько чисел 9∙10∙10∙10∙102=180000.
Для любого натурального числа n произведение 1.2…..n обозначается
n ! (читается “эн факториал”), т. е. 1.2…..n = n !.
Кроме того полагает О !, 1!=1.
n0
 1, если

n 1
Другими словами: n ! =  1, если
1.2...n, если, n  N , n  2

Например: 1!=1
2!=1∙2=2
3!=1∙2∙3=6
4!= 1∙2∙3∙4=24
10!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10=720∙7∙8∙9∙10=720∙5040=3628800
При выборе m элементов из n различных элементов принято говорить,
что они образуют соединение из n элементов по m .
В зависимости от того, имеет ли значение порядок элементов в
соединение или нет, а также от того, входят в соединение все n элементов
или только часть их, различают три вида соединений: перестановки,
сочетания, размещения. Любое упорядоченное подмножество элементов,
взятых из данного множества, называется размещением.
Из этого определения вытекает, что размещение одного и того же
множества отличаются друг от друга либо элементами , входящими в них,
либо их взаимным расположением, либо и элементами и взаимными
расположениями этих элементов.
Например, для множеств A  1, 2, 3, 4 подмножества A1  1, 2, 3 ,
A2  2, 1, 3 , A3  1, 3, 2 являются размещениями.
Столькими способами можно выбрать и разместить по m различным
местам m из n различных предметов? Количество всех таких способов
принято обозначать Аmn (читается “число размещений из эн по эм”) и Аmn
=n∙(n-1) ∙(n-2) ∙∙∙(n-(m-1)).
Например, выпишем все размещения множества A  a, b, c, d  по два:
ab , ba , ac , ca , ad , da , bc , cb , bd , db , cd , dc . Получилось 12
размещений. В этом случае n  4 , m  2 и A42  4  3  12 .
Перестановкой элементов множества A называется любое их взаимное
расположение. Из этого определения следует, что каждая перестановка
множества содержит в себе все элементы этого множества. В этом
заключается существенное отличие перестановки от размещения элементов
одного и того же множества. Другими словами, перестановка множества
длины n есть размещение такой же длины n .
Поэтому число перестановок n элементов, обозначаемое символом Рn ,
можно посчитать по формуле:
n
Рn = Аn  n ∙(n-1) ∙∙∙(n-(n-1))=n∙(n-1) ∙∙∙1=n.
Например, для множества A  a, b, c имеется 3!=6 различных
перестановок: abc , acb , cab , cba , bca , bac .
Подмножества данного множества A , отличающиеся друг от друга
хотя бы одним элементом, называются сочетаниями элементов этого
множества.
Из этого определения следует, что в сочетаниях взаимное
расположение элементов во внимание не принимается. Например, для
множества A  a, b, c, d  подмножества a, b, c и b, c, a представляет
собой одно и то же сочетание.
Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается
m
символом С n (читается “число сочетаний из эн по эм”) и может быть
вычислено по формуле:
С
m
n
=
n!
m!(n  m)!
Например,
С
3
5

5! 1  2  3  4  5

 10 .
3!2! 1  2  3  1  2
Действительно, если A  a, b, c, d , e , то сочетаниями будут являться
подмножества abc , abd , bde , acd , ace , ade , bcd , bce , bde , cde .
Числа С mn обладает целым рядом замечательных свойств:
nm
С =C
2) C  C  C      C  2
3) C  C  C
m
1)
n
n
0
1
2
n
n
n
n
n
m
m 1
m
n
n 1
n 1
n
Последнее тождество позволяет вычислить значения
C
m 1
n 1
С
m
n
, зная
С
m
n 1
и
. Иными словами, с помощью этого тождества можно последовательно
вычислить С n сначала при n=0, затем при n=1, при n=2 и т. д.
Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
0
1
В (n+1)-й строке таблицы по порядку стоят числа С n , C n , …,
m
этом
C
n
n
. При
0
n
m
m
m 1
n
n
n
n 1
n 1
С = C =1, а остальные числа вычисляются по формуле С = С + C .
Поскольку C и С располагаются в этой таблице строкой выше, чем С ,
и находятся в этой строке слева и справа от него, то для получения С надо
m 1
m
n 1
n 1
m
n
m
n
сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей строки.
Например, значение 10 в шестой строке мы получим, сложив числа 4 и 6
пятой строки.
Другими словами, мы имеем таблицу:
0
С0
С С
0
1
1
1
С С С
0
1
2
2
2
2
С С С С
0
1
2
3
3
3
3
3
С С С С С
0
1
2
3
4
4
4
4
3
4
С С С С С С
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
5
Эту треугольную таблицу называют треугольником Паскаля по имени
Блеза Паскаля (1623-1662) в трудах которого она встречается. Это название
исторически неточно, т. к. такую таблицу знал уже арабский математик и
поэт Омар Хайям, живший в XIII в.
Для любых чисел  x  a 1  х  а  C10 x1a 0  C11 x 0 a1
 x  a 2  х 2  2 xа  a 2  C20 x 2 a 0  C21 x1a1  C22 x 0 a 2
 x  a 3  х 3  3x 2 a  3xа 2  a 3  C30 x 3 a 0  C31 x 2 a1  C32 x1a 2  C33 x 0 a 3
Используя метод математической индукции можно доказать, что для
любого натурального n верно:
( х  а)  C x a  C x a  C x a
n
0
n
0
1
n
n
n 1
1
2
n
n2
2
     Cn
m
nm
x a
m
   C n x
n
0
a
n
Это равенство принято называть биномом Ньютона.
Свойства разложения бинома:
1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени
бинома, т. е. равно n  1.
2. Сумма показателей степеней x и a каждого члена разложения равна
показателю степени бинома, т. е. n  m  m  n .
m
nm
m
3. Общий член разложения (обозначим его Т m 1 ) имеет вид Т m 1 = C n x a ,
m  0 , 1,  , n .
При этом Т обозначает член разложения, а индекс m  1 – его порядковый
номер в разложении бинома, считая слева направо.
n
5
n 5
5
Например, найдем шестой член разложения ( х  а) : Т 6  С n x a
4. Биноминальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от
m
nm
концов разложения, равны между собой, т. к. С n = С n
5. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2 n , т. к. 2 n  1  1 
n
 C n  C n  C n     C n (по биному Ньютона при x  1 и a  1 ).
0
1
2
n
До сих пор мы рассматривали соединения, в каждое из которых любой
из n различных элементов входит только один раз. Можно же рассматривать
соединения с повторениями, т. е. соединения, в каждом из которых любой из
n различных элементов может входить более одного раза. Размещения из n
элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же
элемент может повторятся в каждом размещении любое число раз, но не
более m , называется размещением из n элементов по m с повторениями. Их
число обозначим Anm и Anm  n m .
Например, размещения из двух элементов по 3c повторениями имеют
вид: aaa , abb , bab , bba , aab , aba , baa , bbb . Их количество А32  23  8 .
Перестановки из n элементов, в каждую из которых входят n1
одинаковых элементов одного типа, n 2 одинаковых элементов другого типа и
т. д. до nk одинаковых элементов k -го типа, где n1  n2    nk  n ,
называются перестановками из n элементов с повторениями.
Например, числа 4455, 5544, 5454, 4545, 4554, 5445 являются
перестановками цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза.
Число таких перестановок с повторением принято обозначать
Pn n1 , n2 , , nk  и оно может быть найдено по формуле Pn n1 , n2 , , nk  
n!
.

n1!n2 !nk !
П р и м е р . Сколькими способами можно расположить в ряд две
зеленые и четыре красные лампочки?
Решение.
P
6
(2,4)=
6! 1  2  3  4  5  6

 15 способами.
2!4! 1  2  1  2  3  4
Сочетаниями из n предметов по m с повторениями называются
соединения, содержащие m элементов (без учета порядка следования) причем
любой элемент может входить в это соединение несколько раз не больше чем
m . Например, сочетания из трех цифр 3, 4, 5 по два с повторениями
записываются в виде 33, 34, 35, 44, 45, 55 или в виде 33, 43, 53, 44, 54, 55, т. к.
соединение 43 и соединение 34 есть одно и то же сочетание.
Число всех таких сочетаний обозначим C nm . При этом
Например
C C
2
2
3
3 2 1
 C4 
2
4! 1  2  3  4

 6.
2!2! 1  2  1  2
т
m
n
n  m 1
С =C
.
Лабораторная работа № 10. Размещения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вопросы к работе
Что изучает комбинаторика?
Что представляет собой “правило умножения”?
Что такой n! ?
Что такое соединение из n элементов по m ?
Что такое размещение?
По какой формуле вычисляется число размещений из n по m ? Как
обозначается это число?
Что представляет собой размещение с повторением?
По какой формуле вычисляется число размещений с повторением из n
по m ?
Образцы решения заданий
1. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе четные цифры?
Решение.
Цифрой разряда десятков искомых чисел может быть одна из цифр 2, 4, 6,
8(4 возможности), а цифрой разряда единиц – одна из цифр 0, 2, 4, 6, 8 (5
возможностей).По правилу умножения, всего несколько чисел будет
4  5  20 чисел.
2. Упростить выражение В=
7!4!  8!
9! 



10!  3!5! 2!7! 
Решение.
4
1



7
!

9 1

3


4


5
!

6


7

8

7!4!  8!
9!  7 !1  2

8

56  30  20  2
В=



=


10!  3!5! 2!7!  7 !8  9
30 3
3  10  1  2  3  5! 1  2  7 !  30
2
Итак, В= .
3
5!
(m  1)!
3. Упростить выражение Д=

m(m  1) (m  1)!3!
3!4  5  m
  1 !m
  (m
  1 )
 20 , Итак Д=20.
m
  (m
  1 )  (m
  1 )!3!
4. Решить уравнение относительно натурального m:
Решение. Д=
m!(m  1)! 1

(m  1)!
6
m!(m  1)! 1
(m  1)!m  (m  1)! 1
(m  1)!(m  1) 1
 
 

(m  1)!m(m  1)
6 (m  1)!m(m  1) 6
(m  1)!
6
а) Если m=1 , то согласно уравнению будем иметь:
Решение.
0!0
1
1 0
1
0 1
 
   (  );
0!1  2 6
11 2 6
2 6
Значит, m=1не является корнем заданного уравнения.
б) Если m≥2, то согласно уравнению будем иметь:
(m  1)!(m  1) 1
m 1
1
2
 
  6(m  1)  m(m  1)  6m  6  m  m 
(m  1)!m(m  1) 6
m(m  1) 6
 5m  6  0  (m  2)(m  3)  0  m1  2, m2  3
Итак, исходное уравнение имеет два натуральных корня:
2
m
m  2, m
1
2
3

Упростить выражение: М= A A , n  6, n  N
A
6
5
n
5.
n
4
n
Решение.
6
A
A
A
n
5
n
4
n
 n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5) ,
 n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4) ,
 n(n  1)( n  2)( n  3)
n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5)  n(n  1)( n  2)(n  3)( n  4)
n(n  1)( n  2)(n  3)
,
2
n(n  1)( n  2)( n  3)( n  4)( n  5  1)

 (n  4)( n  4)  (n  4)
n(n  1)( n  2)(n  3)
M
М= (n  4)
Итак
2
6. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и
цифра единиц различные и нечетные?
Решение.
Поскольку нечетных чисел пять, а именно 1, 3, 5,7,9 то эта задача
сводится к выбору размещения на две разные позиции двух из пяти
различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5 по
2: А52  5  (5  1)  5  4  20 . Следовательно, искомых чисел имеется 20 штук.
7. Каждый телефонный номер состоит из шести цифр. Сколько всего
телефонных номеров не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?
Решение.
Эта задача о числе размещений в шести разных местах шести цифр,
выбранных из четырех разных цифр с повторением каждой из них любое
число раз, но не более шести.
Тогда A46  4 6  16  16  16  256  16  4096 .
Итак, число всех указанных телефонных номеров равно 4096.
Индивидуальное задание
1. Вычислить:
4
4
3!4! А12  А11
1);
;
3
5
А10
2
3
5
2
6
3
3
4
6
12
9
11
4
50! 30! А11  А10

;
5)
3
48! 28!
А11
2
А  5!
А
99!98!
; 3А10 6
4)
97! А6  А7
А А
А А
5!4!
;
3)
3!
7!
2)
;
3!5!
3
6)

(m  2)! 5
7
6
; А10 2! А11  3! А10
m!
1
1 
А9
7)  
 (m  1)!; 3
7
m
!
(
m

1
)!


А8  А8
60! 40!
8) А32  А24  5!; 
58! 38!
1 105!102!
9) А35  А52 ;
12
101!
5




2. Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:
1)
А
3)
A
5)
2
n
2
n
 12
6
3
A
n
(n  1)!
 72
(n  1)!
n!(n  1)!
4)
6
(n  1)!
(n  2)!
 3  4n
6)
n!
(n  2)!
5
8)
(n  3)!
(n  1)! n!
7
10)
n!
2)
 2n
7)
A A
9)
A A
4
2
n
n
3
2
n
n
3. Ответить на вопрос.

1) Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту,
профорга и культорга? ( А320 )
2) В шахматном турнире участвует пять студентов и три школьника.
Сколькими способами могут распределится места? ( А83 )
3) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных,
из которых один старший? ( А220 )
4) В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами
можно составить расписание на один день? (уроки не повторяются). ( А105 ).
5) Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых
изображается тремя различными цифрами? ( А103  А92 ).
6) Сколько можно составит билетов из 20 вопросов программы, если в
каждом билете содержится три вопроса? ( А320 )
7) Сколько экскурсионных маршрутов посещения пяти городов можно
составить, если в перечне экскурсионных мест содержится 8 городов? ( А85
).
8) Сколько вариантов раскраски 4-х зон на карте можно выбрать, имея в
наличии 10 различных цветов краски? ( А104 ).
9) Сколькими способами можно распределить 6 человек на 12 стульях? (
6
А12 ).
10) Сколькими способами можно пометить 4 коробки на 9 полках, если на
каждой полке должно находится по одной коробке?
Задания для самоконтроля
a. Из скольких предметов можно составить 225 размещений с повторениями
2
2
по два предмета в каждом? ( А m  m )  m  15 .
Лабораторная работа № 11. Перестановки
1.
2.
3.
4.
Вопросы к работе
Что такое перестановка n элементов?
Сколько перестановок существует для n элементов?
Какая перестановка называется перестановкой с повторениями?
По какой формуле вычисляется число перестановок с повторениями?
Образцы решения заданий
1. Вычислить P3  P2
Решение.
P3 =3!= 1 2  3  6
P2  2! 1  2  2
P3  P2  6  2  12 , Итак, P3  P2  12 /
2. Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?
Решение.
Способов столько, сколько различных перестановок можно составить из 5
элементов, т. е. р5 .
р
5
=5!= 1 2  3  4  5  120 .
Итак, пять человек на скамейке можно рассадить 120 способами.
3. Сколь всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6
встречается 3 раза, а цифра 5 четыре раза?
Решение.
7! 4!5  6  7
р7 3;4  3!4!  1  2  3  4!  35чисел.
Индивидуальное задание
1. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5
человек в группе. Сколькими способами это можно сделать? (
P10 (2,3,5)  2520 ).
2. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трех
бандеролях соответственно по 2, 3, 4 книги в каждой бандероли? (
P9 (2,3,4)  1260 ).
3. Сколькими способами можно распределить семь молодых
специалистов по трем цехам, которым соответственно нужны 1,2,4
специалиста? ( P7 (1,2,4)  105 ).
4. Сколькими способами можно составить список из 25 студентов?
5. Сколькими способами 5 человек можно расположиться в легковом
автомобиле?
6. Сколькими способами 10 человек могут организовать очередь?
7. Сколькими способами 15 книг можно расположить на полке?
8. Сколькими способами можно переставить буквы в слове
«математика»? ( P10 (2,3,2,1.1.1)  151200 . ).
9. В доме отдыха давали на десерт либо яблоко, либо апельсин, либо
мандарин. В течение 24 дней было выдано 9 яблок, 7 мандаринов и 8
апельсинов. Сколько различных вариантов выдачи может быть? (
P10 (9,7,8) ).
10.Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так,
чтобы 4 буквы «е» шли подряд? ( P5  5! ).
Задания для самоконтроля
1. Найти все натуральные n , удовлетворяющие неравенству:
4
Аn2  143  0 .
Pn2 4Pn1
Лабораторная работа № 12. Сочетания
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к работе
Что такое сочетание?
Чем отличается сочетание от размещения?
Сколько сочетаний из n элементов по m?
Что такое сочетание с повторениями?
По какой формуле подсчитывается число сочетаний с повторениями?
Образцы решения заданий
1. Вычислить С 25 .
Решение.
25!
25! 23!24  25
23
С 25  23!(25  23)!  23!2!  23!1  2  12  25  300
2. Сколькими способами читатель может выбрать две книги из пяти
возможных?
Решение.
Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по две:
5! 3!4  5
2
С5  2!3!  1  2  3!  10 .
Итак, из пяти книжек две читатель может выбрать десятью способами.
3. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех
пятирублевых монет и из четырех двухрублевых монет?
Решение.
Эта задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторениями:
5!
4
~4 4
С 2  С 421  С5  4!1!  5 .
Итак, мы имеем пять вариантов выбора нужных монет.
23
Упражнения
1. Вычислить:
а)
С С  С С  С С
3
2
2
1
1
0
5
4
4
3
3
3
1 3
3
1 2 1
 С 8  С15 
 С6 
3
28
65

б) 
3
РА
3
5
2. Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:
n2
а) С n  2n  9
б)
3C
2
n 1
 2 An  n
2
в) C n  C n
3. Ответить на следующие вопросы:
1) В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими
способами можно выбрать набор из четырех пирожных? (
5
С С
3
4
4
5
4  5 1

8!
 70 ).
4!4!
2) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных с
одинаковыми обязанностями? ( С 220 ).
3) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно
выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера? ( 3  С 330 ).
4) Сколькими способами можно выбрать четыре делегата на конференцию,
если в группе 20 человек? ( С 420 ).
5) Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из
трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это делать?
( С 37  С 35 ).
6) Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех книг разных
авторов? ( С 34 ).
7) Имеется собрание сочинений из четырех книг одного автора и собрание
сочинений из шести книг другого автора. Сколько наборов из четырех
книг можно сделать, чтобы в наборе было две книги первого автора и две
2
2
книги другого автора? ( С 4  С 6 ).
8) Из двадцати человек надо выбрать семь. Сколькими способами это можно
7
сделать? С 20 .
9) Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на две
группы так, чтобы в одной группе было четыре человека, а в другой 11?
4
С15 .
10) Из пяти офицеров и десяти солдат надо составить наряд так, чтобы в него
входило два офицера и три солдата. Сколькими способами можно это
2
3
сделать? С 5  С10 .
 
 


Задания для самоконтроля
1. Положение прямой на плоскости определяется двумя точками. Сколько
прямых линий можно провести через 13 точек, если никакие три из них не
лежат на одной прямой?
2. Лифт, в котором находятся восемь пассажиров, останавливается на шести
этажах. Пассажиры выходят группами по одному, три и четыре человека.
Сколькими способами это может произойти, если на каждом этаже может
выйти только одна группа пассажиров, при этом порядок выхода
пассажиров одной группы не имеет значения? ( С 8 (1,3,4)  280 ;
С 6  20  С8 (1,3,4)  С 6  5600 ).
3
3
Лабораторная работа № 13. Бином Ньютона
Вопросы к работе
1. Прочитать формулу бинома Ньютона.
2. Как строиться треугольник паскаля для нахождения коэффициентов
бинома Ньютона?
3. По какой формуле найти S-й член бинома Ньютона?
Образцы решения заданий
1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить :
Решение.
(а  в )  С а в  С а в  С а в  С а в  С а в
4
0
4
0
1
4
3
1
2
4
2
2
3
4
1
3
4
4
0
4
4
(а в) .
4

4! 4 4! 3
4! 2 2 4!
4! 4
3
4
3
2 2
3
4

в


 а  4а в  6а в  4ав  в
а
а
а
в
ав
в
0!4!
1!3!
2!2!
3!1!
4!0!
2. Найти сумму коэффициентов многочлена относительно x , получаемого в
разложении бинома Ньютона:
(3х  4)
17
(3х  4)
17
. Решение.
 С17 (3х)
17
0
     С17 (3х)
0
17
(4)  С (3х) (4)  С (3х) (4)  С (3х) (4)
0
16
1
1
17
(4)
17
15
2
2
17
3
14
17
3

.
Это равенство истинно при любом значении x , в частности, при x  1 .
Тогда вправе иметь:
С 3 (1)  С 3 1  4  С 3 1 (4)      С (4)
С 3  4  3 С  16  3 С      4  С
0
17
17
1
17
0
16 16
2
17
17
16
17
1
2
15 15
15
17
17
17
17
17
2
17
17

17
17
сумма коэффициентов многочлена, получаемого в разложении бинома.
17
17
Влево имеем: (3 4)  (1)  1 .
Следовательно, искомая сумма коэффициентов равна -1.
3. Найти 13-й член разложения бинома.
15
3
.

3 2
Решение.

12
Т 13  Т 121  С15 (3
3
12
3) ( 2 )
 С5  3  2 
3
6
15!
6 13  14  15
6
3 2 
 3  2  87360
3!12!
1 2  3
Итак, Т 13  87360 .
6
4.
1
3
Найти номер члена разложения бинома  х  
6

Решение.
, не содержащего x .
Для
общего
Т м1  С
m
16
 х
3
16m
члена
разложения
имеем
m
 1   m 163m m  m 1634m
  С16 х х С16 х
 х
Член в разложении не зависит от х только тогда, когда
16  4m
 0 , т. е.
3
16-4m=0, т. е. m=4.
Итак, пятый член данного разложения не зависит от х.
5. Построить треугольник Паскаля для нахождения
7
разложения бинома Ньютона. (а в) .Решение.
коэффициентов
n
С
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
7
1 7 21 35 35 21 7 1
m
n
С С С С С С С С
0
1
2
3
4
5
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
Упражнения
1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:
а)
б)
b  2 
6
а  2b
5
13
 1
в)  а  
 а
2. Найти пятый и девятый член разложения:
а)

13

 x 1 
,
б)
z z


 x
10
23
(a  аb)
16
1

 член, не содержащий z.
4. Найти в биномиальном разложении  z 

 z3 
3. Найти два средних члена разложения
3
5. Используя треугольник Паскаля найти коэффициент разложения:
а)
(а b) ,
9
б)
(а b)
12
.
Индивидуальные задания
1. Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить. Коэффициенты
разложения найти используя треугольник Паскаля.
7
1
1)  a  b  ;
2

;


5
5) 3  2 ;




6  12 ;
5

5
3) 1  2 ;
4) a  2b 6
7) 1  2 x  ;
8)
2) a 3  ba ;
3) a 2  b  ;
4) a  b 2 
6) a 3  b 2  ;
7) a 2  b
2) 1  2 ;
6)

4
5
8
x  1  ;


2x 

1
9)  3  15  ;
10)   y  .
x

2. Найти два средних члена разложения:
6
6
1) a 3  ab ;
;
31
5) a 2  b 3  ;
13

a b


17
;
9) a  a

17
;
19
21

15

10) a 2  a

15

19
17
;
8)
.
Задание для самоконтроля
1. Найти сумму:
0
1
2
n
1) С n  2C n  22 C n      2n C n ,
2) 1  C1n  C 2n  C 3n      (1) C nn
2. Доказать справедливость равенства.
0
1
2
4
5
6
C6  C6  C6  C6  C6  C6 .
n
Литература
1. (Боровиков А. Н. Математическая геология – ее методика или
методология? // Пути познания Земли, -М., 1971).
2. Воробьев Н. Н. Роль теории игр в математизации знаний //
Методологические проблемы кибернетики: Материалы к Всесоюзной
конференции. Т. 1. – М., 1970)
3. Гохман В. М., Гуревич Б. Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
//Математика в экономической географии. Вопросы географии. Ст.77. –
М.: Мысль, 1968; Гохман В.М., Минц А.А., Преображенский В.С.
Системный подход в географии // Теоретическая география. Вопросы
географии. Сб.88. -М.: Мысль, 1971; Гуревич Б. М., Саушкин Ю. Г.
Математический метод в географии // Вести московского университета.
Серия 5, География. 1966 №1).
4. Гохман В. М.. Гуревич Б.Л., Саушкин Ю. Г. Проблемы метагеографии
// Математика в экономической географии”. Вопросы географии. Сб.
77. – М.: Мысль, 1968; Гохман В. М., Минц А.А., Преображенский
В. С. Системный подход в географии. // Теоретическая география.
Вопросы географии. Сб.88. – М.: Мысль, 1971; Согава В. Б.
Определение некоторых понятий и терминов физической географии:
Доклад института географии Сибири и Дальнего Востока. Вып. 3. –
Иркутск, 1963;
5. Согава В. Б. Структурно-динамическое ландшафтоведение и
географические проблемы будущего: Доклад института географии
Сибири и Дальнего Востока. Вып. 16. – Иркутск, 1967).
6. Саушкин Ю.Г. Смирнов А. М. Роль ленинских идей в развитии
теоретической географии // Вести Московского университета. Серия 5
География 1970. №1
7. Гохман В.М., Гуревич Б.Л., Саушкин Ю.Т. Проблемы метагеографии //
Математика в экономической географии. Вопросы географии сб.77-М.:
Мысль, 1968
8. Гуревич Б.Л. Саушкин Ю.Г. Математический метод в географии //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 5 Геогр 1966. №1