Системы и совокупности неравенств

Системы неравенств
Если нужно найти множество общих решений двух или нескольких
неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы
обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы.
Множество решений системы есть пересечение множеств решений
входящих в нее неравенств.
2𝑥 − 12 > 0,
Пример 1. Решите систему неравенств {
.
3𝑥 > 9
Решение. Заменим каждое неравенство системы простейшим и
𝑥 > 6,
равносильным ему неравенством {
. Множество решений первого
𝑥>3
неравенства – числовой промежуток (6; +∞), множество решений второго
неравенства – промежуток (3; +∞).
Пересечение этим множеств – промежуток (6; +∞), следовательно,
числовой промежуток (6; +∞) и является решением системы неравенств.
Ответ: (6; +∞)
Пример 2. Найти наибольшее решение системы неравенств
Решение.
 x  1  0,

 x  0,
 x  0;

4


Заданная

 x  1  x  1  0,

 x  0,
 x  0;

2
2
система
 x4  1
 2  0,
 x

x

 0.
2

 x 7
равносильна
системе:
x  1  x  1  0,
x  0.

Решением является промежуток (0; 1]. Наибольшее значение на данном
промежутке x=1.
+
–1
+
–
1
0
1
х
х
Ответ: 1
Решите систему неравенств:
1)
2

 x  9  0,
 2

 x  x  6  0;
2)



 x 2  3x  2  x 2  3x  1  10,

 x 2  4;
3)
 x 2  3x  1
 1,

 1  x2

2 x  6 x

 0;
  5  x 3  10  x 2
4)
6
 4
 ,

6  x x
9  4 x 2  0.

5)
 x  1 2x  4
 2  3  x  5,


3x  2 x  5  6  0,2 x;

3

6)

7)
8)
10)

 x  0,5 2   3x  9    x  3  4 x 2  1 ,

 5x  1
 1;
 2
 x  3x  4
5
 3

,

 2x  5 7  x
 x 4  3x3  4 x 2 ;

9)
 x 2  25,
 2
 x  6 x  27;
При каких значениях параметра а, система…
1)
 x 2  y 2  4 y  5,

2
 y  ax ;
имеет решение
2)
 y  5 x  3a  12,

 x  y  2a  5,

3 y  x  4a;
имеет единственное
решение
3)
4)
 x  3 y  24,

 y  a;
имеет единственное
решение
5)
 x 2  2  5a x  a 2  2 x  0,
 2
2
 x  a  25.
имеет 6)
7)
имеет
единственное
решение
решение
 x 2  a  1x  3
 2,

x2  x  4
 2
 x  a  1x  3  5.
 x 2  x  4
2 x  y  6,

 x  b.
8)
решением
системы неравенств является любое
действительное число
9)
10)
Совокупности неравенств
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если
нужно найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых
является решением хотя бы одного из данных неравенств.
Совокупность неравенств f(x)>0, g(x)<0, обозначается так: [
𝑓(𝑥) > 0,
.
𝑔(𝑥) < 0
Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств,
образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство,
называется решением совокупности неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть
множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Пример 1. Найти решение совокупности неравенств [
объединение
2𝑥 + 1 > 5,
.
𝑥 2 + 1 < −2
2𝑥 + 1 > 5,
𝑥 > 2,
Решение. [ 2
[
 x>2.
𝑥∈∅
𝑥 + 1 < −2
Ответ: (2; +∞)
Пример 2. Решить совокупность неравенств
 2 x
 2 x  5  4,
 2
 x  3x  4  0.
Решение. Решим каждое неравенство заданной совокупности отдельно:
x2
 0.
2 x
2 x
9 x  18
5
 4,
 4  0,
 0, x 
2x  5
2x  5
2x  5
2
Приходим к неравенству
получаем
5

 x     x  2   0.
2

Используя метод интервалов,
 5

x    ;  2 .
2


+
+
5

2
–
х
–2
Решаем второе неравенство заданной совокупности. Находим корни
квадратного трехчлена, разлагаем на множители и получаем (x+4)(x – 1)0.
Используя метод интервалов, имеем: x[ - 4; 1].
+
+
–4
Объединяя полученные
приходим к ответу: x[ - 4; 1].
–
решения

–4
5
2
1
двух
неравенств
совокупности,
–2
1
Ответ: [ - 4; 1]
Решите совокупность неравенств:
1)
2)
3)
1
 x 2  4,

 x  5  0;
 20 x
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2
 1
 2 x 2  2 x 2  32 ,

4
1


 0.
 4 x 2  2 x  2 3  2 x  x 2
2 x  1  0,
 x  2  0,

4 x  4  0,
2 x  3  0,

4 x  2  5 x  3,
2  3x  7  2 x;

3 x  7  0,
2 x  19  0,

3 x  5  0,
2 x  16  0;
