7167. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длиной l = 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v0 он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в β = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Дано: l = 50 см=0,5 м; β = 3; g = 10 м/с2 Найти: v0=? Решение. Свяжем с неподвижным полом инерциальную систему отсчета. Направим координатную ось ОХ вдоль соломинки в сторону ее второго конца, совместив начало оси с исходным положением кузнечика. В выбранной системе отсчета для системы двух тел «кузнечик + соломинка» можно применять закон сохранения импульса вдоль оси ОХ: поскольку трения между полом и соломинкой нет, сохраняется проекция суммарного импульса на горизонтальную ось ОХ, откуда следует равенство: 𝑚 ∙ 𝑣0 ∙ cos 𝛼 = 𝑀 ∙ 𝑢, где m и М - массы кузнечика и соломинки, u - скорость соломинки относительно пола. Отсюда 𝑚 ∙ 𝑣0 ∙ cos 𝛼 𝑢= 𝑀 Время t0, которое кузнечик проводит в полете, равно 2 ∙ 𝑣0 ∙ sin 𝛼 𝑡0 = . 𝑔 За это время модули перемещения соломинки влево (в отрицательном направлении оси ОХ) и горизонтального перемещения кузнечика вправо (в положительном направлении оси ОХ) равны, соответственно: 2 ∙ 𝑣02 𝑚 𝑠𝑐 = 𝑢 ∙ 𝑡0 = ∙ ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼, 𝑔 𝑀 2 ∙ 𝑣02 𝑠𝑘 = 𝑣0 ∙ 𝑡0 ∙ cos 𝛼 = ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼. 𝑔 По условию эти величины связаны между собой соотношением: 𝑠𝑐 + 𝑠𝑘 = 𝑙. Учитывая, что 𝑚 = 𝛽, 𝑀 находим величину начальной скорости кузнечика: 𝑔∙𝑙 𝑣0 = √ . (1 + 𝛽) ∙ sin 2𝛼 Эта величина минимальна при sin 2𝛼 = 1, то есть при α=45°. Отсюда получаем: 𝑔∙𝑙 𝑣0 = √ . 1+𝛽 Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя размерность, находим 10 ∙ 0,5 м 𝑣0 = √ = 1,1 . 1+3 с Полное решение этой задачи подразумевает анализ полученного ответа. Надо понимать, что скорость кузнечика будет минимальной при максимальном значении sin 2α. Ответ. 𝒈∙𝒍 м 𝒗𝟎 = √ , 𝒗𝟎 = 𝟏, 𝟏 . 𝟏+𝜷 с