Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1. Что называется матрицей размера m×n?
2. В каком месте матрицы A=(aij) расположен элемент aij?
3. Какая матрица называется квадратной?
4. Может ли матрица состоять из одной строки?
5. Может ли матрица состоять из одного столбца?
6. Может ли матрица состоять из одного элемента?
7. Какая матрица называется диагональной?
8. Может ли какой-нибудь элемент главной диагонали aii диагональной матрицы быть
равным нулю?
9. Какая матрица называется верхней треугольной?
10. Какая матрица называется нижней треугольной?
11. Могут ли быть равны квадратные матрицы, одна из которых второго порядка, а другая
― третьего?
12. Какая матрица называется симметричной?
13. Какая матрица называется единичной?
14. Какая матрица называется нулевой?
15. Дайте определение суммы матриц.
16. Можно ли найти сумму двух матриц, одна из которых имеет размер 3×4, а другая ―
4×3?
17. Дайте определение произведение матрицы на действительное число.
18. Перечислите свойства линейных операций над матрицами.
19. Дайте определение транспонирования матрицы.
20. Перечислите свойства операции транспонирования.
21. Дайте определение произведения матриц.
22. Перечислите свойства произведения матриц.
23. Существует ли произведение матриц AB, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица
B ― 4×2?
24. Существует ли произведение матриц BA, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица
B ― 4×2?
25. Можно ли найти произведение двух матриц, одна из которых квадратная, а другая не
является квадратной?
26. Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей?
27. Может ли квадрат ненулевой матрицы быть нулевой матрицей?
28. Дайте определение матрицы, обратной к квадратной матрице.
29. Перечислите свойства обратных матриц.
30. В чем состоит метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы?
31. Дайте определение определителя квадратной матрицы второго порядка.
32. Дайте определение определителя квадратной матрицы третьего порядка.
33. Дайте определение перестановки.
34. Какая перестановка называется четной (нечетной)?
35. Дайте определение определителя n-го порядка.
36. С каким знаком в определитель четвертого порядка входит слагаемое a11a23a34a42?
37. Чем отличается минор M75 от алгебраического дополнения A75?
38. Чему равен определитель треугольной матрицы?
39. Чему равен определитель диагональной матрицы?
40. Перечислите свойства определителей.
41. Дайте определение минора Mij элемента aij.
42. Дайте определение алгебраического дополнения Aij элемента aij.
43. Какая матрица называется невырожденной?
44. Сформулируйте следствие из теоремы Лапласа (разложение определителя по строке
или столбцу).
45. Сформулируйте необходимое и достаточное условие обратимости квадратной
матрицы.
46. В чем состоит метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы?
47. Дайте определение ранга матрицы (три эквивалентных определения).
48. Перечислите свойства ранга матрицы.
49. Перечислите элементарные преобразования матрицы, не меняющие ранга матрицы.
50. В чем состоит метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы?
51. В чем состоит метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы?
52. Какой метод для вычисления обратной матрицы седьмого порядка предпочтительнее:
метод присоединенной матрицы или метод элементарных преобразований?
53. Какой метод для вычисления ранга матрицы размера 3×8 предпочтительнее: метод
окаймляющих миноров или метод элементарных преобразований?
54. Может ли ранг матрицы размера 5×8 равняться двум?
55. Может ли ранг матрицы размера 5×8 равняться семи?
56. Что такое матрица системы линейных уравнений?
57. Что такое расширенная матрица системы линейных уравнений?
58. Что называется решением системы линейных уравнений?
59. Какая система линейных уравнений называется однородной?
60. Какая система линейных уравнений называется неоднородной?
61. Какая система линейных уравнений называется совместной?
62. Какая система линейных уравнений называется несовместной?
63. Какая система линейных уравнений называется определенной?
64. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
65. Может ли неопределенная система линейных уравнений быть несовместной?
66. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
67. Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения?
68. Что такое общее решение системы линейных уравнений?
69. В каком случае две системы линейных уравнений называются эквивалентными?
70. Может ли система линейных уравнений, состоящая из семи уравнений с пятью
неизвестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с пятью неизвестными?
71. Перечислите элементарные преобразования системы линейных уравнений, в
результате которых получается система, эквивалентная исходной.
72. Перечислите методы решения систем линейных уравнений.
73. В чем состоит метод Гаусса решения систем линейных уравнений?
74. В чем состоит метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений?
75. В чем состоит метод Крамера решения систем линейных уравнений?
76. Применим ли метод обратной матрицы к неопределенной системе линейных
уравнений?
77. Сформулируйте теорему Кронекера-Капели.
78. Какие неизвестные системы линейных уравнений называются главными (базисными)?
79. Какие неизвестные системы линейных уравнений называются свободными?
80. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных
уравнений?
81. Какова структура общего решения однородной системы линейных уравнений?
82. Какова структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений?
83. Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы
линейных уравнений с шестью неизвестными, имеющая ранг 4?
84. Дайте определение линейного оператора.
85. Что такое матрица линейного оператора относительно заданных базисов?
86. Что называется суммой линейных операторов?
87. Дайте определение произведения линейного оператора на число.
88. Дайте определение произведения линейных операторов.
89. Какой линейный оператор называется нулевым?
90. Какой линейный оператор называется тождественным?
91. Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного
оператора.
92. Что такое характеристическое уравнение линейного оператора (матрицы)?
93. Многочленом какой степени является характеристический многочлен матрицы пятого
порядка?
94. Сколько различных собственных значений может иметь матрица третьего порядка?
95. Дайте определение квадратичной формы.
96. Дайте определение матрицы квадратичной формы.
97. Дайте определение ранга квадратичной формы.
98. Всегда ли матрица квадратичной формы является квадратной?
99. Как преобразуется матрица A квадратичной формы при невырожденном линейном
преобразовании φ?
100. Меняется ли ранг квадратичной формы при невырожденном линейном
преобразовании?
101. Как связан ранг квадратичной формы с числом отличных от нуля коэффициентов в
каноническом виде, к которому приводится эта форма?
102. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.
103. Является ли нормальный вид квадратичной формы ее каноническим видом?
104. Какая квадратичная форма называется положительно определенной?
105. В каком случае квадратичная форма называется отрицательно определенной?
106. Сформулируйте критерий Сильвестра.
107. Сформулируйте критерий положительной (отрицательной) определенности
квадратичной формы, связанный с собственными значениями матрицы квадратичной
формы.
108. Дайте определение n-мерного вектора.
109. Что такое размерность вектора?
110. Когда два вектора называются равными?
111. Могут ли быть равными два вектора, один из которых четырехмерный, а другой
пятимерный?
112. Дайте определение суммы двух n-мерных векторов.
113. Какой вектор называется нулевым?
114. Дайте определение разности двух n-мерных векторов.
115. Дайте определение произведения вектора на число.
116. Какие векторы получаются из вектора ā умножением на числа 0 и -1?
117. Перечислите свойства линейных операций над векторами.
118. Дайте определение n-мерного векторного пространства.
119. Дайте определение скалярного произведения двух n-мерных векторов.
120. Перечислите свойства скалярного произведения.
121. Дайте определение линейной комбинации векторов.
122. Какие векторы называются линейно независимыми?
123. какие векторы называются линейно зависимыми?
124. Может ли система из четырех трехмерных векторов быть линейно независимой?
125. Может ли система векторов, содержащая нулевой вектор быть линейно независимой?
126. Может ли система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему быть
линейно независимой?
127. Дайте определение базиса системы векторов.
128. Дайте определение базиса n-мерного векторного пространства.
129. Что такое размерность векторного пространства?
130. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, чтобы система векторов
являлась базисом n-мерного векторного пространства.
131. Какие числа называются координатами вектора в данном базисе?
132. Однозначно ли определяются коэффициенты разложения вектора по базису?
133. Дайте определение нормы вектора.
134. Напишите неравенство Коши-Буняковского.
135. Дайте определение евклидова пространства.
136. Сформулируйте условие ортогональности векторов.
137. Сформулируйте условие коллинеарности векторов.