Найти бесконечно малые и бесконечно большие функции

Министерство здравоохранения Республики Саха (Якутия)
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Якутский базовый медицинский колледж
Учебно-методический комплекс
По дисциплине «Математика»
Тема: «Предел функции»
Для студентов всех специальностей первого года обучения
Преподаватель:
Подрясова Сардаана Федоровна
Якутск 2011
Тема: Предел функции
Вид занятия: лекция
Место проведения: ауд.26
Продолжительность занятия: 90 минут
Курс: 1 год обучения
Специальность: все специальности
Цели занятия
Образовательная цель: Научить находить пределы непрерывных
функций в точке и на бесконечности.
Студент должен знать: Числовые множества. Понятие функции и
элементарные функции. Определение предела функции в точке и на
бесконечности. Неопределенности вида 0/0 ,∞/∞.
Студент должен уметь: Находить предел в точке и на бесконечности,
используя свойства пределов. Решать неопределенности вида 0/0 ,∞/∞.
Воспитательная цель: Формирование умений анализировать проблему и
планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной
работы с дополнительной литературой и развитие наблюдательности,
формировать
чувства
ответственности,
уверенности
в
себе,
взаимовыручки,
самоконтроля,
собранности,
организованности.
Воспитывать требовательность к себе, внимание, четкость выполнения
заданий.
Методическая
цель:
развитие
логического
мышления,
пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности
мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной
деятельности, для продолжения образования и самообразования;
Внутрипредметная связь: Производная. Дифференциал функции.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложение
определенного интеграла к вычислению площади.
Оснащение занятия: Формулы сокращенного умножения. Формулы
нахождения корней квадратного уравнения.
Литература для студентов:
1. Омельченко В.П., Курбатова «Математика», 1-е издание,
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных
учебных заведений. – М.: Академия, 2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007.
Литература для преподавателей:
5. Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: компьютерные
технологии в медицине» 2-е издание, 2010год
6. Зайцев В.М.,Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. «Прикладная
медицинская статистика» СПб ООО «Издательство Фоллиант», 2003
7. Морозов Ю.В. «Основы высшей математики и статистики:
учебник»-М;Медицина, 1998.
8. Киселева Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских
училищ и колледжей. – М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.
Структура занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Организационный момент – 5 мин.
Целевая установка занятия – 5 мин.
Актуализация базовых знаний – 15 мин.
Формирование новых знаний – 60 мин
Подведение итогов занятия 3 мин.
Задание на дом 2 мин.
Ориентировочная основа действий (ООД)
№
Этапы
занятия
Врем
я
Цели этапов
Ориентировочны
е действия
преподавателя
Проверка
готовности
студентов к
занятию, отметка
присутствующих,
запись в журнале
Ориентировоч
ные действия
студентов
1
Организац 5 мин
ионный
Создание
условий для
мотивации
студентов к
изучению
темы.
Рапорт
дежурного
2
Целевая 5 мин
установка
Активизация Ознакомление с
Записывают
мыслительной планом занятия.
тему и цели
деятельности Акцент на
урока
основные вопросы.
3
Актуализа 15
ция
мин
базовых
знаний
Повторение и Фронтальный
закрепление
опрос
базовых
знаний
Отвечают на
вопросы
преподавателя
4
Формиров 35
ание
мин
новых
знаний
Формировани
е углубление
и закрепление
знаний,
правил
Раскрытие темы,
обсуждение
основных вопросов
темы, объяснение
примеров решения
задач
Записывают
основные
определения,
правила,
формулы.
5
Закреплен 20
ие новых мин
знаний
Контроль
усвоения
полученных
знаний
Объяснение
примеров
Решают
примеры,
отвечают на
вопросы,
дополняют,
исправляют,
анализируют.
6
Подведен
ие итогов
занятия
5 мин. Релаксация
7
Задание
на дом
2 мин. УИРС
Объяснение
Запись
выполнения
домашнего
домашнего задания задания
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Тезисы лекций
Тема «Предел функции»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Предел функции
Определение. Переменная величина у называется функцией (или
зависимой переменной) переменной величины х, называемой аргументом,
или независимой переменной, если каждому допустимому значению х
соответствует определенное значение у.
Функциональная зависимость обознается некоторым символом,
например f, и записывается у=f(х). Используются и другие обозначения
функции у=f(х), у=𝜑(х), 𝐹(х)и т. д. .
К простейшим функциям относятся: линейная, степенная,
показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции.
1. Линейная функция описывается уравнением вида: у=ах+в, где аи в –
действительные числа.
График линейной функции – прямая, которая монотонно возрастает при
а> 0, а при а < 0 - монотонно убывает.
2. Степенная функция описывается уравнением вида: у=х𝑛 , где n –
любое действительное число.
Графики степенных функций – парабола, гипербола
3. Показательная функция описывается уравнением вида: у=ах , где а≠
1, а > 0. При а=е (е=2,71828…- натуральное число) функция у=ех
называется экспонентальной, а график – экспонентой.
4. Логарифмическая функция описывается уравнением у = log а х, где
а – основание логарифма, а> 0, а ≠ 1. Если основанием
логарифмической функции является число е, т функция имеет вид
у=ln х и называется натуральной логарифмической функцией.
Логарифмическая функция с основанием 10 имеет вид у=lg х и
называют десятичной логарифмической функцией.
5. Тригонометрические функции: у=sin х, функция нечетная, так как
sin(− х) = − sin х, и периодичекая – с периодом 2𝜋.
У=cos х, функция четная, так как cos(− х) = cos х, и периодическая с
периодом 2𝜋.
У=tan х,функция является нечетной с периодом 𝜋.
У=cot х, функция является нечетной с периодом 𝜋.
6. Обратные тригонометрические функции: у=sin−1 х, у=cos −1 х, у =
tan−1 х, у=cot −1 х.
Понятие предела функции является основой математического
анализа. Использование понятия предела функции позволяет
определить характер поведения функции при приближении
аргумента к некоторой точке.
Определение. Число А называется пределом функции у=f(x)
при х
𝛿>0,
что для любого числа х≠ а, удовлетворяющего неравенству 0< < 𝛿 выполняется соотношение
При этом предполагается,
окрестности бесконечности.
Записывают:
Графически можно представить:
что
.
функция
f(x)
определена
в
.
Пример
1. lim (5𝑥 2 + 2 𝑥 + 1) = 5 ∗ 4 + 2 ∗ 2 + 1 = 25
𝑥→2
(Для вычисления предела многочлена при 𝑥 →
2 надо вместо переменной 𝑥 подставить значение 2, и подсчитать)
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Если предел функции в точке а существует, то он
единственный.
Теорема 2. Предел постоянной равен этой постоянной
,
где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что
функции f(x) и g(x
Теорема 3. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
Теорема
4.
Предел
произведения
двух
функций
равен
произведению их пределов
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела
Теорема 5. Предел отношения двух функций равен отношению
пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля
при
Пример:
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥 3 +3𝑥 27+3∗3
𝑥→3 4𝑥 2
=
4∗9
=1(Используем теоремы 3 и 5 о пределе отношения
и пределе суммы, а затем подставим x=3 в формулу дроби)
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция f(х) называется бесконечно малой функцией при х→ а,
если lim f(х) = 0.
х→а
Функция f(х) называется бесконечно большой функцией при х→ а,
если lim f(х) = ∞.
х→а
Пример:
3. 𝑙𝑖𝑚
3𝑥+2
𝑥→∞ 5𝑥+6
=𝑙𝑖𝑚
х→∞
2
х
6
х(5+ )
х
х(3+ )
3
= (Вынесем за скобки самую большую степень
5
х, в числителе и в знаменателе. Сократим х и по определению
1
бесконечно малой функции, где 𝑙𝑖𝑚 = 0 получим ответ)
х→∞ х
Иногда встречаются случаи, когда числитель и знаменатель
дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что имеет место
0
неопределенность вида . Для нахождения таких пределов
0
необходимо числитель и знаменатель разложить на множители.
Пример
4. lim
5.
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6
√1+𝑥−√1+𝑥
lim
𝑥
𝑥→0
1. Ограниченность функции.
Функция f(x) называется ограниченной на данном отрезке (a,b),если
существует некоторые числа m и M такие, что
m ≤ f(x) ≤ M при x є (a, b).
Число m0 = inf{f(x)} = max(m) при x є (a, b) называется нижней гранью
функции f(x), а число M0 = =sup{f(x)} = min(M) при x є (a, b) называется
верхней гранью функции f(x) на данном промежутке (a , b). Разность M0 –
m0 называется колебанием функции на промежутке (a , b).
2. Предел функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку
сгущения a. Запись
(1)
обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0
такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые
удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство
|f(x) – A| < ε.
Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы
для каждой последовательности xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было
выполнено равенство
.
Имеют место два замечательных предела:
1)
,
2)
.
Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и
только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что
|f(x’) – f(x’’)| < ε,
Как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из
области определения функции f(x).
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Практические работы
Тема «Производная. Дифференциал функции»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Индивидуальные задания для самостоятельного решения:
Вариант №1
Найти простые пределы:
1. lim 𝑥 2 − 4𝑥 + 8
𝑥→2
2. lim
𝑥→−1
3𝑥 2 −1
4𝑥 2 +5𝑥+2
Вариант №2
Найти простые пределы:
1. lim ( 𝑥 2 − 𝑥)
𝑥→−2
2. lim
3
𝑥→2 𝑥 2 +2𝑥−5
3
3. lim √𝑥 2 + 27
𝑥→0
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
2𝑥+1
𝑥→∞ 2𝑥−3
2. lim
7𝑥 3 −𝑥 2 +3𝑥−1
10𝑥 2 +𝑥
𝑥→∞
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥
3. lim √𝑥 2 − 𝑥 − 4
𝑥→5
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim (3𝑥 2 + 6𝑥 + 7)
𝑥→∞
2. lim (
𝑥→∞ 3𝑥
√𝑥+25−5
𝑥→0 𝑥 2 +2𝑥
2. lim
1. lim (2𝑥 2 + 3𝑥)
𝑥→6
2. lim
𝑥→2
𝑥 2 −2
𝑥 2 −5𝑥+3
𝑥4
)
1− √𝑥
𝑥→1 1− √𝑥
Вариант №3
Найти простые пределы:
1
√𝑥+8−3
𝑥→1 𝑥−1
1. lim
2. lim
+
Найти неопределенности:
𝑥 2 −𝑥
𝑥→0
𝑥4
Вариант №4
Найти простые пределы:
1. lim ( 5𝑥 4 − 2𝑥 + 3)
𝑥→−1
2. lim
2𝑥+7
𝑥→−2 𝑥 4 +3𝑥 2
3
3. lim ( √𝑥 − 2 + 2𝑥)
𝑥→3
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥 2 +1
𝑥→∞ 3+2𝑥 2
2. lim
𝑥→∞
3𝑥 3 +6𝑥+8
𝑥 3 +4𝑥+2
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥 2 −6𝑥+5
𝑥→5 𝑥 2 −25
√4−𝑥−2
𝑥
𝑥→0
2. lim
3
√1+𝑥+√1+𝑥
2
𝑥→0
3. lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥→∞ 2𝑥+8
2. lim
𝑥→∞
1. lim 4𝑥 2 + 3𝑥 + 2
𝑥→−1
(6𝑥+8)(𝑥+2)
𝑥 3 +4𝑥+2
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥 2 +𝑥
𝑥→−1 𝑥 2 −1
√𝑥+5−3
𝑥→4 𝑥−4
1. lim
Вариант №5
Найти простые пределы:
7−3𝑥
Вариант №6
Найти простые пределы:
1
1. lim ( 𝑥 2 + − 9)
𝑥→3
𝑥
2. lim √1 − 𝑥 2
𝑥→1/2
2. lim (5𝑥 +
𝑥→2
4𝑥−1
𝑥+5
)
3.
√𝑥 + 8 − 2
𝑥→1
𝑥+1
lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥 2 +2𝑥
√𝑥+1
𝑥→3 √𝑥−2
3. lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
5𝑥−3
𝑥→∞ 5𝑥 2 +1
𝑥→∞ 4𝑥 2 +3
2. lim
1−3𝑥 2
2. lim
𝑥→∞
(𝑥+3)(𝑥+7)
𝑥 2 +3
𝑥→∞ 𝑥 2 +7𝑥−2
Найти неопределенности:
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥→0
4𝑥 3 −3𝑥 2 +𝑥
1. lim
𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6
2𝑥
1. lim
2. lim
𝑥 2 −4
𝑥 2 −8𝑥
𝑥−1
𝑥→1 √𝑥−1
𝑥→8 √𝑥+1−3
Вариант №7
Найти простые пределы:
1. lim (𝑥 + 2)5
𝑥→1
Вариант №8
Найти простые пределы:
1. lim √𝑥 2 − 7
𝑥→4
2. lim
𝑥→3
5𝑥+1
𝑥 2 +3𝑥−10
2. lim (
8𝑥 2
𝑥→1 4𝑥 2 +1
+ 1)
𝑥 2 −8
3. lim
𝑥→8 √𝑥+1−2
3. lim (𝑥 − √𝑥 2 − 𝑥 + 7)
𝑥→2
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥→∞
5𝑥−2
𝑥 2 −𝑥+8
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥→∞
lim (
2.
𝑥3
𝑥→∞ 𝑥 2 −3
10𝑥+6
2𝑥
− 𝑥)
Найти неопределенности:
2.
lim
𝑥→∞
(6𝑥+8)(𝑥+2)
𝑥 3 +4𝑥+2
Найти неопределенности:
1.
lim
2𝑥 2 −𝑥−1
𝑥→−1/2 −6𝑥 2 +5𝑥+4
1. lim
𝑥 2 +7𝑥+6
𝑥→−6 𝑥 3 +6𝑥 2 +3𝑥+18
√2−𝑥−1
𝑥→2 √5−𝑥−2
2. lim
√1+𝑥−1
𝑥
𝑥→0
2. lim
Вариант №9
Найти простые пределы:
Вариант №12
Найти простые пределы:
1. lim
𝑥 2 +5
2
𝑥→√3 𝑥 −1
2. lim
1−3𝑥 2
𝑥→0 7𝑥−2
1. lim 1 + 𝑥 − 𝑥 2
𝑥→5
2. lim
𝑥 3 −4𝑥 2 +5
𝑥 2 +𝑥
𝑥→1
5
3.
√𝑥+1+3
lim
𝑥→3 𝑥+2
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
√1+𝑥−1
𝑥
𝑥→0
3. lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥+8𝑥 2
𝑥→∞ 4𝑥 2 +1
1. lim
𝑥+4
𝑥→∞ 𝑥 2 −2
4𝑥 8 +7𝑥 7
2. lim
𝑥→∞ 3𝑥 8 +6𝑥
2. lim
(𝑥 2 −3)(2𝑥+9)
𝑥→∞ 6𝑥(𝑥 2 +1)
Найти неопределенности:
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥 2 −4
1. lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥→−2 𝑥 3 −𝑥 2 −8𝑥−4
2. lim
2.
√𝑥+1−2
lim
𝑥→3 √𝑥−2−1
𝑥 2 −2𝑥
𝑥→2 √𝑥 2 +6𝑥−4
Вариант №11
Вариант №10
Найти простые пределы:
Найти простые пределы:
1. lim 5𝑥 2 + 2𝑥 − 1
1. lim 2𝑥 2 + 3𝑥
2. lim
2. lim
𝑥→−2
𝑥+2𝑥 2 −𝑥 3
𝑥→2
𝑥 2 +7𝑥
𝑥
3. lim ( −
𝑥→1 2
𝑥2
)
4
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥→−3
𝑥 2 +8𝑥−1
𝑥+3
𝑥→∞ 𝑥−6
𝑥 2 −4
𝑥→3
3.
√𝑥+7−3
𝑥→2 1−√3−𝑥
lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
𝑥 2 +4𝑥
𝑥→∞ 3𝑥 2
𝑥3
2. lim (
𝑥→∞ 5𝑥 2 +1
2. lim
−
𝑥2
5𝑥−3
)
7𝑥 5 +𝑥 3 +1
𝑥→∞ 25+3𝑥 5
Найти неопределенности:
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥 2 −4
1. lim
𝑥→2 𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥→1
𝑥 2 −16
2. lim
2. lim
𝑥→4 √5−𝑥−√𝑥−3
𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥+2
𝑥 −1
√1+𝑥−√1−𝑥
𝑥
𝑥→0
Вариант №13
Вариант №14
Найти простые пределы:
Найти простые пределы:
1. lim √5 + 𝑥 2 − 𝑥
1. lim √𝑥 2 + 𝑥 − 2
𝑥→2
𝑥→2
2. lim
𝑥 2 −4
2. lim (4𝑥 5−
𝑥→3 𝑥 2 −3𝑥+6
𝑥→1
7
)
𝑥 2 +1
2
х−2
3. lim √( )
х−3
𝑥→4
√𝑥+4−2
𝑥→3 √𝑥−3−1
3. lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
𝑥+4𝑥 2
𝑥→∞ 𝑥 2 −2
1. lim 8𝑥 2 + 3𝑥 + 9
𝑥→∞
2. lim
𝑥→∞
36𝑥+2𝑥 2 −10
8𝑥 2 +3𝑥
2. lim
3𝑥 3 +6𝑥+8
𝑥→∞ 𝑥 3 +4𝑥+2
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥→1
2.
𝑥 3 −𝑥 2 +3𝑥−3
2𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥−1
√9−𝑥−2
lim
3−
√𝑥+4
𝑥→5
Вариант №15
Найти простые пределы:
Найти неопределенности:
1. lim
2𝑥 3 −2𝑥 2 +𝑥−1
𝑥→1 𝑥 3 −𝑥 2 +3𝑥−3
√2𝑥+3−3
𝑥→3 √𝑥−2−1
2. lim
1
5
2
2
3
1
2
3
1. lim 10( 𝑥 2 − 𝑥)
𝑥→−4
2. lim 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 2
𝑥→1
3. lim (9 −
𝑥→4
5𝑥
2𝑥−3
)
Найти бесконечно малые и
бесконечно большие функции:
1. lim
(𝑥 3 +3)2
𝑥→∞ 4𝑥 4 +х6
𝑥 4 +3𝑥+𝑥 2
2. lim
𝑥→∞ 𝑥+2𝑥 4 +6
Найти неопределенности:
1. lim
𝑥 3 +8
𝑥→−2 𝑥 3 −𝑥 2 −8𝑥−4
2. lim
√𝑥 2 +1−2
2
𝑥→√3 √𝑥 +6−3