Тождества с корнями

Тождества с корнями, содержащими одну переменную
Пусть n – нечетное число. Тогда при любом значении а верны равенства:
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎,
𝑛
𝑛
√−𝑎 = − √𝑎.
𝑛
Доказательство: рассмотрим равенство √𝑎𝑛 = 𝑎. Возведя левую и
𝑛
правую части в n-ю степень получим ( 𝑛√𝑎𝑛 ) = 𝑎𝑛 . Это верное числовое
𝑛
равенство при любом а≠0. Следовательно верно и равенство √𝑎𝑛 = 𝑎.
Пусть n – четное число. Тогда при любом значении а верно равенство
√𝑎𝑛 = |𝑎|.
𝑛
Пусть n и k – натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном
значении а верны равенства:
𝑛
𝑛𝑘
√𝑎 = √𝑎𝑘 ,
𝑛 𝑘
√ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎.
Пусть k – целое число. Тогда при любом положительном значении а
верно равенство:
𝑛
𝑛
( √𝑎)𝑘 = √𝑎𝑘 .
Примеры решения задач
4
Пример 1. Найти значение выражения √𝑏12 при b= - 1.
4
Решение: √𝑏12 = |𝑏 3 | = |(−1)3 | = 1
Ответ: 1
6
4
Пример 2. Сравнить числа √2√3 и √2.
6
6
12
12
4
12
Решение: √2√3 = √√3 ∙ 4 = √12; √2 = √23 = √8. Поскольку 12>8,
6
12
4
12
то верно равенство √12> √8. Следовательно, √2√3>√2.
6
4
Ответ: √2√3>√2
3
Пример 3. Решить уравнение √𝑥 = −2.
Решение: по определению корня n-й степени x=( - 2)3, т.е. х= - 8.
Ответ: - 8
3
6
Пример 4. Решить уравнение √𝑥 − 9 √𝑥 + 14 = 0.
6
6
3
Решение: обозначим √𝑥 = 𝑡. Тогда √𝑥 = √𝑥 2 = 𝑡 2 .
Получим уравнение t2 – 9t+14=0. Корни этого уравнение t1=2, t2=7. Таким
6
6
образом, √𝑥 = 2 или √𝑥 = 7.Отсюда х=26 или х=76, т.е. х=64 или х=117649.
Ответ: 64, 117649
4
6
Пример 5. Упростите выражение √ √𝑎.
4
6
4∙6
24
Решение: √ √𝑎 = √𝑎 = √𝑎
24
Ответ: √𝑎
5
19
Пример 6. Упростите выражение √7 .
32
5
Решение: √7
19
32
5
=√
243
32
5
=
√243
5
√32
=
3
2
Ответ:
4
3
2
4
Пример 7. Упростите выражение √𝑎 ∙ √𝑎5 .
4
4
4
2∙2
4
Решение: √𝑎 ∙ √𝑎5 = √𝑎 ∙ 𝑎5 = √𝑎6 = √𝑎2∙3 = √𝑎3 .
Ответ: √𝑎3
Пример 8. Вычислить
7  4 3  7  4 3.
Решение. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:

7  4 3  4  22 3 3  2  3

2


2
; 7  4 3  4  22 3  3  2  3 .
Тогда получим
2  3 
74 3  74 3 
2
2  3 

2

 2  3  2  3  2  3  2  3  4.
Ответ: 4

a3b
3

2
3

a3b
3

2
a b
Пример 9. Упростить выражение
.
Решение. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также

3
a3b

3

3

3
a3b

2
a b
свойства корней. Получаем:

2

a 2  2 3 ab  3 b2  33 a 2  6 3 ab  33 b2 4 3 a 2  4 3 ab  4 3 b2


3
3
a b
3
a  3b
   
4

3

3
a 2  3 ab  3 b 2
a3b

3

a 2  3 ab  b 2
3


4
a3b
3
.

4

3

3
a 2  3 ab  3 b 2
a3b

3

Ответ:
a 2  3 ab  b 2
3

4
3
a3b
.
Пример 10. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1
7 5 3
1)
1
;
2)
3
7 3
3
1
;
3)
4
243
.
Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные
выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
1
7 5 3



7 5 3
10  2 35
5 

35 

 7  5  3

5   3    7  5   3  
7
7 5 3


2 5  35
7 5 3
2  25  35 



  5 

35    5 
7 5 3
7 5
7  5  3  5  35

2 5

35 
35
7 5 3
20


2

3

 


35  5 
7 5 3
20
.
2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и
воспользуемся формулой суммы кубов:
1
3
7 3
3



3
3
7 2  3 7  3  3 32

733 
3

7 2  3 7  3  32
3


 
3
7 2  3 7  3  3 32
 7    3
3
3
3
3

3
7 2  3 7  3  3 32
10
.
3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные
выражения:
1
4
243



4


24
2
4
34
4
243
4

243

 2  3 2  3  2    3
3 2  3  2  3 2  3 


23
3 2  3
2    2  3 .
4
4
4
4
4
4
2
4
2
4
4
4
243
2 3


243 
2 3
1

Упражнения
1. Извлеките корень:
3
1) √𝑎3
2) √16𝑥 2
6) √0,36𝑏2
7) √𝑏 7
7
5
13
4
3) √32𝑡 5
4) √𝑎4
5) √−𝑛13
8) √(𝑎 − 𝑏)2
9) √−𝑐 21
21
1
10) √ 𝑐 2
4
2. Извлеките корень:
6
1) √𝑚2 , 𝑚 > 0 2) √𝑎6 , 𝑎 ≥ 0
3) √𝑡 2 , 𝑡 ≥ 0
4) √𝑦 2 , 𝑦 ≤ 0
𝑘2
5) −5√ , 𝑘 ≤ 0
25
8
4
6) √𝑎4 , 𝑎 ≤ 0
7) √𝑚2 , 𝑚 < 0 8) √𝑏 8 , 𝑏 > 0
1
12
9) √ℎ2 , ℎ ≥ 0 10) √𝑏12 , 𝑏 < 0
4
3. Вычислите:
1) √(−2)2 − √(3)2
2)
3)
4) √(−5)2 + √42
5)
6)
8)
9)
7
8
7) √(−3)8 + √62 − √47
4
3
10) √(−8)4 + √113 − √(−2)6
4. Решите уравнение:
5
2) √𝑥 2 = −3
3) √(𝑥 − 4)5 = −1
4
6) √𝑥 2 = −7
7) √𝑥 6 + 1 = 0
4
10) √(2 + 𝑥)3 = 6
1) √𝑥 5 = 5
5) √𝑥 4 = 1,5
9) √𝑥 4 + 6 = 0
5
4)
6
8)
3
5. Вычислите:
6
1) √363
2)
1
√( )2
25
4
10
3) √25
3
4) √106
3
1
5) √( )9
2
12
8
6) √642
4
7) √2254
4
8) √(−3)12
9) √(−0,5)12
1
4
10) √(− )16
3
6. Упростите выражение:
6
1) √4𝑚2 𝑛4
4
4
2) √(1 − √2)2
3) √625𝑚8 𝑛4
6
6
6) √(√7 −
2)3
7) √27𝑥 3 𝑦12
6
64𝑎3 𝑏12
3
4) √(1 − √2)2 5) √ 125𝑐 21
9
5
8) √(√3 − √5)3
9) √
243𝑎15 𝑏10
10
10) √(√3 − 4)2
32𝑚5
7. Упростите выражение:
7
1) √√7
5 3
3
2) √ √(−3)
3
3) √√ √3
5) √√√13
5
9
6) √√5
4
4) √ √8
3
7) √ √9
8) √√10
3
10) √ √6
4
9) √ √√2
8. Вычислите:
3
3
1)
2) √√1024
3)
4) √√729
5)
6)
7)
8) √√256
9)
10) √ √64
3
9. Сравните числа:
5
3
10
1) √6 и √2√2
3
4
5) √2√7 и √3
6
18
9) √2 и √10
2)
13
√2
2
18
6
и
6
4
3
18
6) √ и √0,43
7
3
9
3) √4 и √8
1
(√ )2
2
6
7) √4 и √8
12
4) √
3
5
12
и 12√0,4
5
8) √4 и √8
6
10) √5 и √24
10. Решите уравнение:
3
4
1) √𝑥 − 5 √𝑥 = 0
2) √𝑥 + 4 = 0
5) 5√𝑦 − 1 = −2
6) √𝑥 + 4 √𝑥 = 0
4
4
9) √𝑥 − 5 √𝑥 + 6 = 0
4
4) √𝑥 + 3 √𝑥 − 4 = 0
3
8) 9√𝑦 + 3 = 4
3) √𝑥 = 3
7) √𝑥 = 2
4
5
10) √𝑥 = −2
Дополнительные задания
1. Вынесите множитель за знак корня:
1) √4𝑎, 𝑎 ≥ 0
2) √8𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0
3
3) √5𝑎4 , 𝑎 ≥ 0
4) √50𝑥 3 , 𝑥 > 0
4
5) √18𝑏, 𝑏 ≥ 0
6) √16𝑐, 𝑐 ≥ 0
9) 3√27𝑦, 𝑦 ≥ 0
10) √10𝑐 8 , 𝑐 > 0
7) √12𝑦 2 , 𝑦 < 0
4
8) √81𝑏6 , 𝑏 < 0
6
2. Найдите значение выражения:
8
4
4
8
4
4
1) ( √𝑎2 + 11 + 2𝑎√11 + √𝑎 + √11) ∙ √𝑎 − √11 при 𝑎 = √92
2) ( √𝑎2 + 14 + 2𝑎√14 + √𝑎 + √14) ∙ √𝑎 − √14 при 𝑎 = √30
8
4
4
3) ( √𝑎2 + 7 + 2𝑎√7 + √𝑎 + √7) ∙ √𝑎 − √7 при 𝑎 = √23
8
4
4
8
4
4
4) ( √𝑎2 + 15 + 2𝑎√15 + √𝑎 + √15) ∙ √𝑎 − √15 при 𝑎 = √31
5) ( √𝑎2 + 17 + 2𝑎√17 + √𝑎 + √17) ∙ √𝑎 − √17 при 𝑎 = √98
8
4
4
6) ( √𝑎2 + 6 + 2𝑎√6 + √𝑎 + √6) ∙ √𝑎 − √6 при 𝑎 = √87
8
4
4
8
4
4
7) ( √𝑎2 + 13 + 2𝑎√13 + √𝑎 + √13) ∙ √𝑎 − √13 при 𝑎 = √29
8) ( √𝑎2 + 10 + 2𝑎√10 + √𝑎 + √10) ∙ √𝑎 − √10 при 𝑎 = √91
8
4
4
9) ( √𝑎2 + 5 + 2𝑎√5 + √𝑎 + √5) ∙ √𝑎 − √5 при 𝑎 = √630
8
4
4
10) ( √𝑎2 + 3 + 2𝑎√3 + √𝑎 + √3) ∙ √𝑎 − √3 при 𝑎 = √628
3. Найдите значение выражения:
1
2) 4√2 + √98 − √128
3) 13√2 + √128 − 6√18
2
4) 6√2 − √32 + 5√50
4
5) 5√2 − 4√8 − √32
6) 5√2 + 2√72 − √8
2
7) 2√2 + 2√50 − √98
8) 4√5 − √20 + 3√45
2
1) 4√3 + √75 − √108
1
1
1
1
9) 5√3 − √108 + √48
3
10) √2 + √72 − 3√128
4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
1
5 √2
2)
1
;
3
3
3)
2
;
3 2 5
4)
1
;
3 33 3
5)
3
;
9
4
6)
1
;
16
6
7)
4
;
1 5
8)
2
;
2 2
9)
1
;
5 3
1
10)
2 3 5
;
5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
1
;
1 3 2
2)
15  6
35  14
5)
6)
5 32
1
;
4 1
3)
2
;
1
9)
3
23 2
;
10)
3
2
;
233
4)
3 2 3
;
7)
3 2 3
;
8)
3
2
;
432
1
;
1 2  3
1
;
5 3 2
6. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
3
1
;
4 639
3
1
;
2 3 5 7
4)
1
2  3  5  7  11
7)
10)
4
2)
3
5)
4
;
8)
1
;
16  20  3 25
3
2
;
2  4  4 8 1
4
1
;
5 2 3 7
3)
4
6)
8
9)
4
1
;
745
1
;
785
1
;
345
2
;
3  9  4 27
4
7. Упростите выражение:
3
1)
4)
23
5
3

 ;
2
2
64
4
48  32
5  3 2 
7)

97  4
6
5)
113  8 97  2;
1  6   1 
3
6
3

6  3 36  5;
6
3
3) 7  4 3  2  3  1;
6)
21  8 5

5 2
94 5
 1;
8. Упростите выражение:
4
626  6  7  2 6  5;
5
3
3
8) 20  14 2  20  14 2  4;
9)
4 5
10)
2)
43  5 72  7;

3
4
1


 0;
6 3
7 3
7 6

3  50  5  24
75  5 2
  1;
1)

3
25  3 10  3 4
3)

 28;
 4 3  4 27 1  30,5 
 0,25 

3
 3 3

5)
7)

0, 25
2)
1
 1

3 15 2  7 2   15  7




 6,5;
 9
3 
 13 

4)
1
 1

3
 5  23  




 1
 1
2
 3  2  72 2


 0, 2.
1

  1 
3  2 6  16 2    64 3  1

 


 

2
6 

4 

3


1
2
6)
;
8)
9)
10)
9. Упростите выражение:
4
4
1)
8
8
2 1 
2 1
4
;
8
2)
2 1
6
2

;
2
2
3)
2  1 3 10  7 2

;
2  1 10  7 2
6)
3 1 3 9  5 3

;
3 1
95 3
5)
8  2 10  2 5  8  2 10  2 5 ;
4)
2 3 
7)
8)
83 7  83 7
1
1
1
1


 ... 
.
1 2
2 3
3 4
99  100
3 5  3 5
9)
3  3  4 12  2 27  8 4  2 3 .
10)
10. Упростите выражение:



3
1)
 a  3 a 2b : b  3 ab 2  1

1 
a

3   2;

3
3
a b
b b



4)
 a 3 a  3 a2

 3
 3 b   

 
a a



3
a3b

2
3

3
a3b
7)
2
10)
 4 xy 3  4 x3 y 1  xy 
x x

  1 2

 .
4


y y
x

y
xy


2)
3

2
;


3)
1



 x  y  2 xy 
:
;
1
1
2 
x  3 y  23
3
3
3 
x x y y 
1
x2
1
y2
5)
6)
8)
9)
;