Самостоятельные работы по дисциплине «Дискретная математика»

Самостоятельные работы по дисциплине «Дискретная
математика»
Тема «Алгебра логики. Форма мышления»
Задание 1: Ответить на контрольные вопросы письменно в тетради.
1. Какие существуют основные формы мышления?
2. В чем состоит разница между содержанием и объемом понятия?
3. Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
4. Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного
высказывания?
Задание 2:
Приведите примеры предложений:
а) являющихся высказываниями;
б) не являющихся высказываниями.
Задание 3:
Какие из следующих предложений являются высказываниями:
a)
Москва - столица России;
b)
5+3 – 6;
c)
Луна есть спутник Марса;
d)
а>0.
Тема «Законы алгебры логики»
Задание 1
Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические
связки «И», «ИЛИ»: Например:
Все ученики изучают математику.
Все ученики изучают литературу.Все ученики изучают математику и литературу.
a)
Марина старше Светы. Оля старше Светы.
b)
Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса
изучает немецкий язык.
c)
В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.
d)
Слова в этом предложении начинаются на букву Ч. Слова в этом предложении
начинаются на букву А.
e)
Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко.
f)
Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого.
g)
Х = 3, Х>2.
Задание 2
Определите значение истинности следующих высказываний:
a) Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом.
b) Суффикс есть часть слова, и он стоит после корня.
c) Родственные слова имеют общую часть, и они сходны по смыслу.
d) Рыбу ловят сачком или ловят крючком, или мухой приманивают, иль червячком.
e) Буква «а» — первая буква в слове «аист» или «сова».
f) Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются.
g) Данное число четно или число, больше его на единицу, четно.
h)
Луна — планета или 2 + 3 = 5.
Задание 3
Используя логические операции, запишите высказывания, которые являются
истинными при выполнении следующих условий:
a)
только одно из чисел X,Y,Z больше 10;
b)
только одно из чисел X,Y,Z не больше 10;
c)
ни одно из чисел X,Y,Z не равно 104;
d)
каждое из чисел X,Y,Z равно 0.
Задание 4
Записать логические выражения (формулы), истинные при соблюдении следующих
условий:
a) точка с координатами X, Y принадлежит первой четверти единичного круга с
центром в начале координат;
b) точка с координатами X, Y не принадлежит единичному кругу с центром в
начале координат и принадлежит кругу радиусом 2 и с центром в начале координат
(изобразите это графически).
Задание 5
Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических
выражений:
a)
(X > 0 и X < 1) или (X < 10 и X > 5);
b) (X ≠ Y) и (Y ≠Z);
c)
не ((0 <X) и (X ≤ 5) и (Y < 10));
d) (0 <X) и (X ≤ 5) и (не (Y < 10)).
Задание 6
Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических
выражений:
e)
(X > 0 и X < 1) или (X < 10 и X > 5);
f)
(X ≠ Y) и (Y ≠Z);
g)
не ((0 <X) и (X ≤ 5) и (Y < 10));
h) (0 <X) и (X ≤ 5) и (не (Y < 10)).
Задание 7
Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических
выражений:
a)
(X = 12) и (Y = 12) и (Z = 12);
b)
(X < 0) и (Y > 0) или (Y < 0) и (X > 0);
c)
(X х Y < 0) и (X х Z > 0);
d)
(X х Y х Z < 0) и (X х Y > 0).
Задание 8
Определите значение логического выражения не (X>Z) и не (X = Y), если:
a)
X = 3, Y = 5, Z = 2;
b)
X = 0, Y = 1, Z = 19;
c)
X = 5, Y = 0, Z = -8;
d)
X = 9,Y= -9, Z = 9.
Тема «Формулы логики. Таблицы истинности»
Задание 1
Придумать предложение по следующим сложным высказываниям.
a)
𝑃 → 𝐴 ↔ 𝑍̅
b)
𝐴&𝑍𝑣𝑃̅
c)
𝑃̅ ↔ 𝐴&𝐵𝑣𝐴̅
d)
𝑉 → 𝑍̅ ↔ 𝐶&𝐴
Задание 2
Доказать с помощью таблицы истинности:
a)
x (y & z) = (x y) & (x z)
b)
(x & y) z = (x z) & (y z)
c)
x & (y z) = (x & y) (x & z)
d)
(x y) & z = (x & z) (y & z)
Задание 3
Построить таблицу истинности для следующего высказывания:
Задание 4
Найдите логические значения х и у, при которых выполняются равенства:
Задание 5
Известно, что импликация ху истинна, а эквивалентность х у ложна. Что можно
сказать о значении импликации у х ?
Задание 6
Составить таблицы истинности для формул:
Тема «Построение СДНФ, СКНФ»
Задание 1
Построить СДНФ, СКНФ с помощью таблицы истинности.
̅
𝑓 = (𝑥̅ 𝑉𝑦) → (𝑥&𝑧)
Задание 2
Построить СДНФ, СКНФ с помощью таблицы истинности.
̅̅̅̅̅) → 𝑦)
𝑓 = (𝑦 → (𝑥&𝑦))&((𝑥&𝑧
Задание 3
Доказать равносильность с помощью таблицы истинности.
xy (xy)  (yx);
Задание 4
Доказать равносильность:
1) xy  x y  x y  x  y;
2) x  ( y  z )  xy  z;
3) x  xyz  xy z  x yz  x y z;
4) x  x y  x  y.
Задание 5
Составить СДНФ и СКНФ:
Тема «Операция двоичного сложения. Полином Жегалкина»
Задание 1
Построить полином Жегалкина (𝑥 → 𝑧)𝑣(𝑥 → 𝑧̅) ↔ (𝑧 → 𝑦&𝑧)
Задание 2
̅̅̅̅̅)
Построить СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑣𝑦
̅̅̅̅̅ → 𝑧) ↔ (𝑦̅ → 𝑥&𝑧
Задание 3
Методом неопределенных коэффициентов разложить функции в полиномы:
а) f(x,y,z)= (01001110);
б) f(x,y,z) = (11000101);
в) f(x,y)= (0101);
г) f(x,y)=(1011)
Тема «Полнота множеств функций»
Задание 1
С помощью теоремы Поста проверить на полноту системы : {+, V, , -}, {, , -}, {,
-}, {1, 0, -}.
Задание 2
Является ли система {1,0,+,} базисом множества всех булевых функций?
Тема «Основные классы функций»
Задание 1
Выразить импликацию через функции системы {1, +, }.
Задание 2
Выразить дизъюнкцию и конъюнкцию через функции системы {-, }.
Тема «Основные понятия теории множеств»
Задание 1
Доказать тождество: ( А  В)  ( А  В )  А. Составить двойственное и тоже доказать.
Доказательство справедливости равенства и двойственного равенства с помощью
диаграмм предлагаем выполнить самостоятельно.
Задание 2
Даны множества А={
1
| n  N} и В ={n3-2 |n N}.
n
Укажите:
а) по 3 элемента каждого из этих множеств;
б)множества, которым принадлежит число 3; 4; 5; 13; 25;
в)множества, которым не принадлежат данныечисла 3; 4; 5;
13; 25.
Задание 3
Задайте характеристическим свойствам множество всех:
а) квадратов;
б)прямоугольников;
в)равнобедренных треугольников;
г)параллелограммов.
Задание 4
Постройте множество точек М( х;у) плоскости для которых:
а) у ≥ Зх-2;
б) х2+у2+6у ≤ 0.
а) х2 -5х + 6 > 0;
б) х2+у2 - 4х + 2у+5 ≤ 0.
а)|у| > |х+1|;
б) х2 + у2+6х - 4у + 15 < 0.
Тема «Теоретико-множественные диаграммы Эйлера-Венна»
Задание 1
Найдите А  В, если:
А=(0;3); В=[1;7].
а)(0;7];в) {1;2};
б)[1;3); г)[1;3].
Задание 2
Найдите А  В,если:
1 1 1 1
1 1 1
А={ ; ; ; },В = { ; ; }.
2 3 5 6
3 4 5
1 1 1 1 1
1 1
а){ ; ; ; ; },в) { ; },
2 3 4 5 6
2 6
1 1
б) { ; },
3 5
1
г){ }.
4
А=(-4;4);В=[0;5].
а){0;1;2;3};в)[0;4];
б)(-4;5] ;
г) [0;4].
А={-3;-1;1;3},
В={-3;-2;-1}.
а){-2}, в){-3;-1},
б){1;3}, г){-3;-2;-1;1;3}.
Задание 3
Какой системе неравенств удовлетворяет построенное множество
точек плоскости:
Задание 4
Пусть есть следующие множества чисел:
А={0,1,2,3,4,5,6,7}
В={3,4,5,7,8,9,10,13}
С={0,2,3,7,8,10,11,12}
D={0,3,4,6,9,10,11,14}
Универсум U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
Постройте Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D.
Задание 5
1.Решить задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Руководителю группы социологических исследований был представлен следующий отчет.
Число опрошенных — 100 человек.
Из них:
занимаются спортом по месту жительства — 78 человек; занимаются спортом в
производственном коллективе — 71 человек; занимаются спортом по месту жительства и
в производственном коллективе — 48 человек;
не занимаются спортом — 8 человек. Отчет был забракован. Почему?
2. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о количестве изучающих
различные иностранные языки: английский — 28 человек, немецкий — 30, французский
— 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и
французский — 5, все три языка — 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка?
3. В одной известной спортивной семье семеро детей увлекались легкой атлетикой,
шестеро — лыжными гонками, пятеро — велоспортом. Четверо занимались легкой
атлетикой и лыжами, трое — легкой атлетикой и велоспортом, двое — лыжными гонками
и велоспортом, а один увлекался легкой атлетикой, лыжами и велоспортом. Сколько детей
было в семье? Сколько из них увлекалось только одним видом спорта?
4. Министерство поставило в один из лицеев инспектора для проверки , как
в нем ведется преподавание иностранных языков. Сотрудник министерства в отчете
записал:" В лицее учатся 100 детей, каждый изучает по крайней мере один из трех
языков, немецкий, французский или испанский. Причем все три языка
изучают 5 человек, немецкий и испанский -10 человек французский и
испанский -8 человек, немецкий и французский 20 человек, испанский 30 человек, немецкий - 23 , а французский - 50 человек". Уволите вы инспектора,
представившего отчет или нет? Объясните почему?
Тема «Логика предикатов»
Задание 1
Какие из предикатов тождественно истинны?
a.
х2 + у2  0;
b.
sin2x + cos2x =1;
c.
x2 + 1(x+1)2;
d.
х2 + у2 > 0;
e.
(x+1)2>x-1.
Задание 2
Изобразить на декартовой плоскости области истинности предикатов:
1)
х+у=1;
2)
х+3у=3;
3)
sinx=siny;
4)
(x-2)2+(y+3)2=0;
5)
(x-2)2+(y+3)24;
6)
((x>2)v(y>1))((x<-1)v(y<-2)).
Тема «Понятие бинарного отношения»
Задание 1
Ответить на контрольные вопросы:
1. Сформулировать определение бинарного отношения.
2. Описать операции, выполняемые с бинарными отношениями.
3. На множестве прямых на плоскости рассмотрим отношения: а) параллельность
прямых,
б) перпендикулярность прямых. Определить будут ли эти отношения отношениями
эквивалентности.
4. Дано множество: люди, живущие в одной стране. Задать какое либо отношение
эквивалентности и разбить данное множество на классы эквивалентности.
5. К какому типу отношения порядка относятся следующие отношения:
а) А  В, б ) А  В, в) x  y, г ) x  y, д) схема организации подчинения в учреждениях.
Задание 2
На шкале температур выделены отметки, обозначенные буквами m, р, к. Между этими
отметками множеством ГA = {(к; к), (к; р), (к; т), (р; р), (р; m), (m; m)} задано отношение
А : « х не выше у». Какая отметка соответствует самой высокой (самой низкой)
температуре? Покажите на шкале температур возможное положение этих отметок.
Задание 3
В множестве чисел М = {—8, —4, 0, 4, 8, 12, 16, 20} задайте отношение «х на 4 больше у"
множеством пар.
Тема «Понятие отображения. Способы задания»
Задание 1
Составить всевозможные композиции из функций f(x) = lgx и g(x) = sinx. Проверить
композиции на биективность.
Задание 2
Составить для функций обратные соответствия и проверить являются ли они функциями:
5x
а). f ( x) 
;
x2
б). y  log 5 ( x  2).
Тема «Понятие вычета по модулю N. Система вычетов по модулю N»
Задание 1
Выпишите на листочке все наименьшие неотрицательные вычеты и все абсолютно
наименьшие вычеты
а) по модулю 6 ,
б) по модулю 8 .
Задание 2
Чуть ниже выпишите приведенные системы вычетов по этим модулям. Нарисуйте
отдельно на комплексной плоскости корни шестой и корни восьмой степени из единицы,
на обоих рисунках обведите кружочком первообразные корни и найдите в каждом случае
их сумму.
Задание 3
Пусть e – первообразный корень степени 2n из единицы.
Найдите сумму: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 .
Задание 4
Найдите сумму всех первообразных корней: а) 15-й; б) 24-й; в) 30-й степени из единицы.
Тема «Принцип метода математической индукции»
Задание 1
Вычислить сумму : 1+3+5+…+(2n-1).
Задание 2
Доказать справедливость равенства: 12+32+52+…+(2n-1)2 =
n(2n  1)( 2n  1)
.
3
Задание 3
Доказать справедливость неравенства: 2n  5n  3, n  5.
Задание 4
Докажите, что истинно высказывание: 5 n  2  3 n  58 при любых натуральных n.
Тема «Элементы теории и практики кодирования
Неформальное определение алгоритма. Примеры алгоритмов»
Задание 1
В каких случаях правильно заканчивается предложение: Алгоритм – это
а) конечная последовательность действий, приводящая к искомому результату при любых
допустимых исходных данных
б) указание на выполнение действий
в) конечный набор понятных некоторому исполнителю команд, выполнение которых
приводит к однозначному решению поставленной задачи
г) программа в машинных кодах
Задание 2
Расчлененность алгоритма на отдельные элементарные действия – это
а) Дискретность
б) Определенность
в) Массовость
г) Детерминированность
Задание 3
Которые из документов являются алгоритмами?
А) Каталог книг в библиотеке
Б) Порядок набора международного телефонного номера
В) Рецепт приготовления клея
Г) Настенный календарь на текущий год
Задание 4
Запишите логическое выражение, которое принимает значение "истина" тогда и только
тогда, когда точка с координатами (x, y) принадлежит заштрихованной области.
Задание 5
Задайте с помощью команд если или выбор вычисления по формулам:
a)
б)
в)
где
г)
д)
е)
ж)
если точка лежит внутри круга радиусом r (r>0) с центром в
точке (a,b)
в противном случае
Задание 6
Постройте графики функций y(x), заданных командами если:
а)если x<=-1
в)если x<-0.5
то y:=1/x**2
то y:=1/abs(x)
иначе
иначе
если x<=2
если x<1
то y:=x*x
то y:=2
иначе y:=4
иначе y:=1/(x-0.5)
все
все
все
все
г)если x<0
то y:=1
Решение
иначе
если x<3.14
то y:=cos(x)
иначе y:=-1
все
все
б)если x<-5
то y:=-5
иначе
если x<0
то y:=x
иначе
если x<3
то y:=2*x
иначе y:=6
все
все
все
д)если abs(x)>2
то y:=x*x
иначе
если x<0
то y:=-2*x
иначе
если x>=1
то y:=4
иначе y:=4*x*x
все
все
все
Тема «Теория графов»
Задание 1
Ответить письменно на вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Сформулировать определение графа.
Перечислить виды графов.
Перечислить способы задания неорграфа.
Пояснить понятия: инцидентность и смежность.
Что называется компонентой связности неорграфа?
Что такое степень вершины? Сформулировать теорему о сумме степеней вершин.
Сформулировать определение маршрута в графе.
Какой маршрут в неорграфе называется минимальным?
Перечислить виды маршрутов.
Задание 2
Ответить письменно на вопросы:
1.
Какой маршрут называется минимальным?
2.
Алгоритм выделения минимального маршрута в ненагруженном неорграфе.
3.
Алгоритм выделения минимального маршрута в нагруженном графе.
4.
Какой граф называется ациклическим? Какой подграф называется остовом?
Алгоритм его построения.
5.
Что называется цикловым рангом графа? Что такое цикломатическое число,
цикловой базис графа? Алгоритм построения циклового базиса графа.
Задание 3
Ответить письменно на вопросы:
1.
Сформулировать определение эйлерова цикла (цепи) .
2.
Необходимое и достаточное условие существования Эйлерова цикла
(цепи).Алгоритм построения эйлерова цикла (цепи).
3.
Сформулировать определение гамильтонова цикла (цепи).
4.
Необходимые и достаточные условия существования гамильтонова цикла (цепи).
Алгоритм выделения гамильтоновых циклов и цепей без учета инфомации о графе и с
учетом информации
Задание 4
Ответить письменно на вопросы:
1.
Сформулировать определение орграфа. Элементы орграфа.
2.
Понятие полустепени вершин. Теорема о количестве дуг орграфа.
3.
Какие существуют способы задания орграфа?
4.
Виды связностей в орграфе.
5.
Какой подграф данного графа называется компонентой сильной связности?
6.
Теорема о свойствах компонент сильной связности
Тема «Элементы комбинаторики»
Решить задачи на различные комбинаторные схемы:
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний
при выборе из одиннадцати дисциплин.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими
способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля,
если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из
вазы пять гвоздик одного цвета?
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое
количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми
цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая
команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч
следует провести.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер.
Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать
номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток
предшествовало удачной?
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100.
Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых
участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места,
занятые членами этой команды?
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы
одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней
на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может
взять другую. Сколько существует таких расположений?
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько
различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может
быть различных составов групп?
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7,
если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10
разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке
следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить,
чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими
способами они могут распределить мишени между собой?