Задание 2 «Элементы математической логики» Рожкова Светлана Николаевна,

Задание 2
«Элементы математической
логики»
Рожкова Светлана Николаевна,
учитель физики и информатики
высшей квалификационной категории
Задание 2 базового уровня сложности проверяет знание
понятия таблицы истинности и умение построить
таблицу истинности для выражений, содержащих
отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. До 2015
года включительно задание представляло собой
фрагмент таблицы истинности. Необходимо было
выбрать из предложенных ответов выражение, этой
таблице соответствующее. Задание выполнялось
участниками экзамена с хорошим результатом,
представляло собой одно из тех заданий, с которыми
справлялось большинство экзаменующихся.
В 2016 году задание впервые будет предполагать
краткий ответ в виде строки символов.
№1. Логическая функция F задаётся выражением
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z). Определите, какому
столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных.
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы.
?
0
0
0
0
1
1
1
1
?
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
СКНФ
СДНФ
Нормальная форма логической функции – если логическая функция представлена дизъюнкцией, конъюнкцией и инверсией.
Простой конъюнкцией (умножение)
называется конъюнкция одной или нескольких перемен
ных, при этом каждая переменная встречается не более
одного раза (либо сама, либо ее отрицание).
Простой дизъюнкцией (сложение)
называется дизъюнкция одной или нескольких перемен
ных, при этом каждая переменная входит не более одно
го раза (либо сама, либо ее отрицание).
Примеры
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется
конъюнкция простых дизъюнкций
дизъюнкция простых конъюнкций.
Примеры
Совершенной конъюнктивной нормальной формой
(СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую
простую дизъюнкцию входят все переменные данного
списка (либо сами, либо их отрицания), причем в
одинаковом порядке.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой
(СДНФ) называется такая ДНФ, у которой в каждую к
онъюнкцию входят все переменные данного списка (ли
бо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же
порядке.
Примеры
СКНФ
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z)=( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )
логическая сумма … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю
x
1
1
0
y
0
1
1
z
0
0
1
F
0
0
0
?
0
0
0
0
1
1
1
1
?
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z)=( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )
логическая сумма … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю
x
1
1
0
y
0
1
1
z
0
0
1
F
0
0
0
?
0
0
0
0
1
1
1
1
?
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z)=( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )
логическая сумма … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю
x
1
1
0
y
0
1
1
z
0
0
1
F
0
0
0
?
0
0
0
0
1
1
1
1
z
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z)=( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )
логическая сумма … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю
x
1
1
0
y
0
1
1
z
0
0
1
F
0
0
0
?
0
0
0
0
1
1
1
1
z
0
0
1
1
0
0
1
1
y
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
(¬x  y  z)  (¬x  ¬y  z)  (x  ¬y  ¬z)=( x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )
логическая сумма … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю
x
1
1
0
y
0
1
1
z
0
0
1
Ответ: x z y
F
0
0
0
x
0
0
0
0
1
1
1
1
z
0
0
1
1
0
0
1
1
y
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
1
1
0
0
0
1
1
№2. Логическая функция F задаётся выражением
a  (¬c)  (¬a)  b  c. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных a, b, c? В ответе напишите буквы a, b, c в том
порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
?
0
0
0
0
1
1
1
1
?
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
1
1
0
1
0
0
Законы алгебры логики
№ Для ИЛИ
Для И
Примечание
1
A+0=A
A•1=A
Ничего не меняется при действии, константы
удаляются
2
A+1=1
A•0=0
Удаляются переменные, так как их оценивание не
имеет смысла
3
A+B=B+A
A•B = B•A
Переместительный (коммутативности)
4
A + ¬A = 1
5
Один из операторов всегда 1
(закон исключения третьего)
A • ¬A = 0
Один из операторов всегда 0
(закон непротиворечия)
A•A=A
Идемпотентности
6
A+A=A
7
¬¬A = A
8
(A+B)+C = A+(B+C)
(A•B)•C = A•(B•C)
Ассоциативный
9
(A+B)•C = (A•C) + (B•C)
(A•B) + C = (A+C)•(B+C)
Дистрибутивный
10 (A+B)•(¬A + B) = B
(A•B)+(¬A•B) = B
Склеивания
11 ¬(A+B) = ¬A • ¬B
¬(A•B) = ¬A + ¬B
Правило де Моргана
12 A+(A•C) = A
A•(A+C) = A
Поглощение
Двойное отрицание
13 A→B = ¬A + B и A → B = ¬B → ¬A
Снятие (замена) импликации
14 1) A↔B = (A • B) + (¬A • ¬B)
2) A↔B = (A + ¬B) • (¬A + B)
Снятие (замена) эквивалентности
a  (c)  (a)  b  c  a  c  a  b  c 
СДНФ
Закон исключения третьего
 a  c  (b  b )  a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c
Логическое произведение a · b · c · … равно 1 (выражение истинно) тогда и
только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице
a
b
c
F
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
a
b
c
F
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
?
0
0
0
0
1
1
1
1
?
0
0
1
1
0
0
1
1
?
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
1
1
0
1
0
0
a
b
c
F
c
?
?
F
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
a
b
c
F
c
?
b
F
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
a
b
c
F
c
a
b
F
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
Ответ: cab
№3. Логическая функция F задаётся выражением (a  b)  (¬a  c).
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F
соответствует каждая из переменных a, b, c?
В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы.
?
?
?
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
Снятие (замена) импликации
( a  b )  ( a )  c  ( a  b )  a  c 
Правило де Моргана
 ( a  b)  a  c  a  b  a  c  a  b  a  c 
Закон исключения третьего
 a  b  (c  c )  a  c  (b  b ) 
СДНФ
 a b c  a b c  a bc  a b c
a b c  a b c  a bc  a b c
a
b
c
F
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
a
b
c
F
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
?
?
?
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
a
b
c
F
a
c
b
F
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
Ответ: acb