Тема 6 Нормальные формы

Компьютерная дискретная математика
Нормальные формы
Лекция 6
Н.В. Белоус
Факультет компьютерных наук
Кафедра ПО ЭВМ, ХНУРЭ
ХНУРЭ, кафедра ПО ЭВМ, Тел. 7021-446, e-mail: [email protected]
Совершенная нормальная форма
Среди
множества
эквивалентных
формул, представляющих выбранную
булеву функцию f, выделяется одна
формула,
которая
называется
совершенной
нормальной
формой
функции f, имеет регламентированную
логическую структуру и однозначно
определяется по функции f .
2
Обозначения
x,σB={0,1}
 x , если   0
x 
 x , если   1

1, x  
x 
0 , x  


x  x  x
3
Теорема о дизъюнктивном разложении
функции f(x1,…,xn) по k переменным
 Любую булеву функцию f(x1,x2,…,xn) можно
представить в следующей форме:
f(x1,…,xk,xk+1,…,xn)=
x1 x2 …xk f(1,2,…,k,xk+1,…,xn)
1
2
k
(1,2,…,k)
4
Теорема о дизъюнктивном разложении функции

Запись (1,2,…,k )
означает
многократную
дизъюнкцию, которая берется по всем возможным
наборам значений (1,2,…,k) при любом k (1≤k≤n).
f(1,2,…,k,xk+1,…,xn) представляет значение
функции на интерпретации x1,x2,…,xn, когда вместо
значений переменных x1,x2,…,xk, по которым
ведется
разложение,
подставлены
значения
1,2,…,k.
5
Пример
Получить дизъюнктивное разложение функции
f ( x, y, z, t )  ( x  y  z)  t по переменным x, z.
f ( x, y, z, t )   x1  z 2  f ( 1 , y,  2 , t )  x  z  f (0, y,0, t ) 
 x  z  f (0, y,1, t )  x  z  f (1, y,0, t )  x  z  f (1, y,1, t )
f ( 0 , y ,0 , t )  (0  y  0)  t  0 ,
f ( 0 , y ,1 , t )  ( 0  y  1 )  t  t ,
f ( 1 , y ,0 , t )  ( 1  y  0 )  t  0 ,
f ( 1 , y ,1 , t ) ( 1  y  1 )  t y  t .
Подставим f(0,y,0,t), f(0,y,1,t), f(1,y,0,t), f(1,y,1,t) в
формулу дизъюнктивного разложения
f ( x , y, z ,t )  x  z  0  x  z  t  x  z  0  x  z  ( y  t ) 
 xzt xz yt
6
Дизъюнктивное разложение булевой
функции f(x1,x2,…,xn) по одной переменной
Любую булеву функцию f(x1,x2,…,xn) можно
представить в следующей форме:
f(x1, x2, …, xn)=
x
σi
i
f(x1, x2, …, xi-1, i, xi+1, …, xn)
i
7
Дизъюнктивное разложение булевой
функции f(x1,x2,…,xn) по всем n переменным
Любую булеву функцию f(x1,x2,…,xn)0 можно
представить в следующей форме:
f(x1,x2,…,xn) =

x1 x2 … xn
1
2
n
(1,2,…,n)
f(1,2,…,n) = 1
8
Пример
Получить дизъюнктивное разложение функции
f ( x , y , z )  xy  z по всем переменным.
Определим значение функции на каждой из
интерпретаций:
f ( 0 ,0 ,0 )  0  0  0  0  1  1
f ( 1 ,0 ,0 )  1  0  0  0  1  1
f ( 0 ,0 ,1 )  0  0  1  0  0  0
f ( 1 ,0 ,1 )  1  0  1  0  0  0
f ( 0 ,1 ,0 )  0  1  0  0  1  1
f ( 1 ,1 ,0 )  1  1  0  1  1  1
f ( 0 ,1 ,1 )  0  1  1  0  0  0
f ( 1 ,1 ,1 )  1  1  1  1  0  1
f ( x , y , z )  x0 y0 z0  x0 y1z0  x 1 y0 z0  x 1 y1 z0 
 x 1 y 1 z 1  x y z  x y z  x y z  xy z  xyz
9
Определения и понятия
Элементарной
конъюнкцией
называется
конъюнкция любого числа булевых переменных,
взятых с отрицанием или без него, в которой каждая
переменная встречается не более одного раза.
Примеры
Элементарными конъюнкциями для функции от
одной переменной могут быть y, z,
двух переменных x y, x z
трех переменных xyz , x  y z , x yz .
10
Определения и понятия
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)
называется формула, представленная в виде
дизъюнкции элементарных конъюнкций.
Примеры:
f(x, y,z)= x  y  x  z  x  y  z  x ДНФ
f(x, y,z)= x  y  x  y  z
f(x, y,z)= x  y  z
ДНФ
–
11
Определения и понятия
Элементарная конъюнкция
x1 x2 … xn
называется конституентой единицы (минтермом)
функции f(x1,x2,…,xn), если f(1,2,…,n)=1, то есть
интерпретация, обращающая в единицу данную
элементарную конъюнкцию, обращает в единицу и
функцию f.
1
2
n
12
Свойства конституенты единицы
Конституента единицы функции n переменных
имеет вид x1 x2 …xn и соответствует
интерпретации (1,2,…,n).
Конституента единицы обладает следующими
свойствами:
 Конституента единицы равна единице только на
соответствующей ей интерпретации.
 Конституента единицы однозначно определяется
номером соответствующей ей интерпретации.
 Конъюнкция
любого
числа
различных
конституент единицы функции равна нулю.
1
2
n
13
Определение и понятия
Совершенной дизъюнктивной нормальной
формой (СДНФ) булевой функции называется
формула, представленная в виде дизъюнкции
конституент единицы данной функции.
Примеры:
f(x, y,z)= x  y  z  x  y  z
f(x, y,z)= x  y  z
f(x, y,z)= x yz
СДНФ
ДНФ
СДНФ
14
Определения и понятия
Совершенной конъюнктивной нормальной
формой (СКНФ) функции называется формула,
представленная в виде конъюнкции конституент
нуля данной функции.
Примеры
f(x, y,z)= x  y  z
f(x, y,z)= ( x  y )  ( y  z )  z
f(x, y,z)= ( x  y  z )  ( x  y  z )
СКНФ
КНФ
СКНФ
15
Следствия из определений СДНФ и СКНФ
булевых функций
 Для каждой булевой функции f(x1,x2,…,xn), не
являющейся
константой
нуля,
существует
представление в виде СДНФ.
 Для каждой булевой функции f(x1,x2,…,xn), не
являющейся константой единицы, существует
представление в виде СКНФ.
 Две различные булевы функции не могут иметь
одинаковые СДНФ или СКНФ.
 Для каждой булевой функции f(x1,x2,…,xn)
существует представление в виде формулы булевой
алгебры, содержащей только операции дизъюнкции,
конъюнкции и отрицания.
16
Пример конституент 1 и конституент 0
x
y
z
17
Алгоритм перехода от таблицы
истинности булевой функции к СДНФ
• Выделить все интерпретации (1,2,…,n), на
которых значение функции равно единице.
• Записать
конституенты
единицы
вида
x1 x2 …xn , соответствующие отмеченным
интерпретациям.
• Получить
СДНФ
функции
посредством
соединения операцией дизъюнкции записанных
конституент единицы.
1
2
n
18
Алгоритм перехода от таблицы истинности
булевой функции к СДНФ. Пример
Получить СДНФ для функций f13(x,y).
Функция f13(x,y)
x
0
y
f13(x,y)
f8(x,y)
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
f 13 ( x , y )  x y  x y  x y  x y  xy  xy
0 0
0 1
1 1
f8 ( x , y )  x y  x y
0
0
19
Алгоритм перехода от таблицы
истинности булевой функции к СКНФ
1. Выделить все интерпретации (1,2,…,n), на
которых значение функции равно нулю
2. Записать конституенты нуля вида х  х  ...  х ,
соответствующие выделенным интерпретациям.
3. Записав конъюнкцию конституент нуля, получить
СКНФ функции.
1
2
n
1
2
n
20
Алгоритм перехода от таблицы
истинности булевой функции к СКНФ
Пример
Получить СКНФ для функций f7(x,y) и f9(x,y).
x
0
y
f7(x,y)
f9(x,y)
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
f7 ( x, y ) 
0
1
x1  y 1  x0  y 0  х  y
0
1
f 9 ( x , y )  ( x0  y 1 )  ( x 1  y 0 ) 
 ( x1  y0 )  ( x0  y1 )  ( x  y )  ( x  y )
21
Алгоритм построения таблицы
истинности функции, заданной СДНФ
1. Построить таблицу истинности, содержащую 2n
интерпретаций вида (1,2,…,n).
2. Отметить в таблице истинности все интерпретации
(1,2,…,n),
соответствующие
конституентам
единицы вида х  х  ...  х из заданной СДНФ.
3. Напротив выделенных интерпретаций в столбец
значения функции записать единицы.
4. Напротив оставшихся интерпретаций в столбец
значения функции записать нули.
1
2
n
1
2
n
22
Алгоритм перехода от произвольной
формулы алгебры логики к СДНФ
1. Исключить константы, используя законы действий с
константами.
2. Опустить знаки отрицания непосредственно на
переменные, используя законы де Моргана.
3. Используя дистрибутивный закон, раскрыть скобки.
К полученным элементарным конъюнкциям
применить
законы
идемпотентности
и
противоречия, упростить их и привести подобные.
Результатом выполнения указанных действий
является получение ДНФ булевой функции.
23
Алгоритм перехода от произвольной формулы
алгебры логики к СДНФ. Продолжение
4. Построить конституенты единицы функции,
введением в каждую элементарную конъюнкцию
недостающих переменных, используя закон
исключенного третьего.
5. С помощью дистрибутивного закона раскрыть
скобки и привести подобные, используя закон
идемпотентности
6. Полученная
формула
соответствует
СДНФ
функции.
24
Примеры
Пример 1. Переход от СДНФ к таблице истинности
Пример 2. Переход от СКНФ к таблице истинности
25