Избранные вопросы элементарной математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени И.Н.УЛЬЯНОВА»
(ФГБОУ ВПО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»)
Кафедра методики преподавания математики и информатики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
__________ И.В. Столярова
«___» __________2012 г.
Избранные вопросы элементарной математики
программа учебной дисциплины по выбору 050202.65 для специальностей:
-Математика
(заочная форма обучения)
Составитель: Ионова И.В., кандидат
педагогических наук, доцент
Рассмотрено и утверждено на заседании ученого совета физико-математического факультета
(протокол от «30» марта 2012г. №6 )
Ульяновск, 2012
Пояснительная записка.
Рабочая программа дисциплины «Практикум решения задач элементарной математики»
составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальности 050202.65 Математика,
утверждённого Министерством образования Российской Федерации от «31» января 2005 г.
(номер государственной регистрации № 675 пед/спец).
Более глубокое изучение отдельных вопросов элементарной математики может быть
осуществлено в рамках спецкурсов, спецсеминаров, через написание курсовых, выпускных
квалификационных работ.
Спецкурс по элементарной математике позволит на материале учебных тем
элементарной математики изучить возможности обучения решению нестандартных задач.
Именно нестандартные задачи учат и мыслить нестандартно, и думать самостоятельно.
Одной из составляющей преподавания спецкурса по элементарной математике
является знакомство студентов с научно - популярной литературой и с некоторыми
современными направлениями развития математики, не охватываемыми курсами высшей
математики педагогических университетов. В элементарной математике присутствуют
разделы, содержание которых может быть использовано учителем математики на отдельных
этапах урока, при организации элективных курсов, кружковой работы с учащимися.
Все это обуславливает актуальность изучаемого спецкурса.
Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины – развитие способностей к восприятию нестандартного материала
и ориентации в нем.
Задачи:
- изучить основные направления развития элементарной математики и их
приложения;
- овладеть важнейшими методами элементарной математики, уметь применять их при
решении задач.
Место курса в профессиональной подготовке выпускника.
Курс «Избранные вопросы элементарной математики» предлагается студентам в 8, 9,
10, 11 семестрах, параллельно с изучением курса «Элементарной математики», для
углубления, обобщения и систематизации курса элементарной математики повышенного
уровня.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать основные понятия элементарной математики с точки зрения заложенных в них
фундаментальных математических идей;
- свободно владеть учебным материалом элементарной математики;
- знать приемы решения нестандартных задач и уметь их использовать;
- знать особенности учебного материала, предназначенного для классов различной
профильной направленности.
Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Семестр (8,9,10,11)
300
32
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля
16
16
268
зачет
Примерный тематический план
№
п/п
Кол-во часов
Наименование разделов и тем
(с разбивкой на модули)
Всего
1.
2.
3.
4.
5.
Арифметика.
Делимость. Систематические числа. Нестандартные
задачи по арифметике.
Алгебра.
Метод математической индукции и его применение
к доказательству тождеств, неравенств и теорем.
Алгебраические
уравнения,
неравенства
нестандартного типа и их системы. Уравнения,
неравенства с параметрами и методы их решения.
Трансцендентные
уравнения,
неравенства
нестандартного типа и их системы. Уравнения,
неравенства с параметрами. Олимпиадные задачи по
алгебре.
Алгебра и начала анализа.
Построение
графиков
сложных
функций.
Классические неравенства. Средние величины.
Среднее арифметическое, среднее геометрическое,
среднее гармоническое и среднее квадратическое.
Приложение
неравенств
к
элементарному
нахождению экстремумов.
Числовые последовательности. Арифметическая и
геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи.
Возвратные последовательности.
Комбинаторика.
Применение
комбинаторики
к
вычислению
вероятности. Решение нестандартных задач.
Планиметрия.
Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их
сравнение.
Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка
Торричелли. Окружность девяти точек. Прямые
Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония.
Выпуклые,
невыпуклые
и
звездчатые
многоугольники. Теорема Жордана. Задача о 3-х
домиках и 3-х колодцах. Искусство М.Эшера.
Экстремальные задачи. Задача Герона, задача
Штейнера, изопериметрическая задача и др.
Олимпиадные задачи по геометрии.
30
Лаб.
Лекции заня
тия
2
64
Сам.
рабо
та
1
26
4
60
4
56
1
28
2
46
2
60
4
32
2
50
4
6.
Стереометрия.
Многогранники:
различные
подходы
к 64
определению. Теорема Коши.
Виды тетраэдра: ортоцентрический, равногранный,
прямоугольный.
Прямая
Эйлера
для
ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая
сферы Эйлера. Пространственный аналог теоремы
Пифагора.
Тела Платона, тела Архимеда, тела Кеплера-Пуансо,
тела Федорова.
Сфера, тор, геликоид, лист Мебиуса, бутылка
Клейна и др.
Принцип Кавальери. Третья проблема Гильберта.
Теорема Дена. Цилиндр Шварца. Формула
Симпсона.
Олимпиадные задачи по стереометрии.
Общая трудоемкость:
300
4
60
16
268
2
16
Содержание дисциплины
Тема 1. Арифметика.
Делимость. Систематические числа. Нестандартные задачи.
Тема 2. Алгебра.
Метод математической индукции и его применение к решению задач..
Алгебраические и трансцендентные уравнения, неравенства нестандартного типа
и их системы. Задачи с параметрами.
Тема 3. Алгебра и начала анализа.
Построение графиков сложных функций. Классические неравенства. Средние
величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее
гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к
элементарному нахождению экстремумов.Числовые последовательности.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи. Возвратные
последовательности.
Тема 4. Комбинаторика.
Применение
комбинаторики
к
вычислению
вероятности.
Решение
нестандартных задач.
Тема 5. Планиметрия.
Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение.
Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка Торричелли. Окружность
девяти точек. Прямые Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония.
Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники. Теорема Жордана. Задача
о 3-х домиках и 3-х колодцах. Искусство М.Эшера. Экстремальные задачи.
Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др.
Тема 6. Стереометрия.
Многогранники: различные подходы к определению. Теорема Коши. Виды
тетраэдра: ортоцентрический, равногранный, прямоугольный. Прямая Эйлера
для ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая сферы Эйлера.
Пространственный аналог теоремы Пифагора. Тела Платона, тела Архимеда,
тела Кеплера-Пуансо, тела Федорова. Сфера, тор, геликоид, лист Мебиуса,
бутылка Клейна и др.Принцип Кавальери. Третья проблема Гильберта. Теорема
Дена. Цилиндр Шварца. Формула Симпсона.
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Методические рекомендации преподавателю
По каждой теме дисциплины предполагается проведение аудиторных занятий и
самостоятельной работы: чтение лекций,
решение задач, разработки реферативных
сообщений, вопросы для контроля знаний.
Для подготовки студентов к практическим занятиям преподаватель должен
определить основные вопросы, задачи, выносимые на обсуждение, рекомендовать
дополнительную учебную литературу, рассказать о порядке и методике их проведения.
Методы проведения практических занятий весьма разнообразны. Наиболее
распространенными являются: решение задач и упражнений, вопросно-ответные,
дискуссионные (поиск решения задач), научных сообщений по отдельным вопросам темы,
реферирование, выполнение контрольных работ и другие.
Важное место занимает подведение итогов практических занятий: преподаватель
должен не только раскрыть теоретическое значение изучаемой темы, но и выделить
основные методы решения задач, приложение данных вопросов в школьном курсе
математики.
В процессе изучения тем данного спецкурса преподаватель консультирует студентов
по написанию курсовых и квалификационных работ.
Методические рекомендации студенту
В соответствии с учебным планом соответствующей специальности дисциплина
«Избранные вопросы элементарной математики» изучается студентами заочного отделения
в 8, 9, 10 и 11 семестрах.
Успешное изучение курса требует от студентов посещения лекций, активной работы
на практических занятиях, выполнения всех учебных заданий преподавателя, ознакомления с
дополнительной литературой.
Запись лекции - одна из форм активной самостоятельной работы студентов,
требующая навыков и умения кратко, схематично, последовательно и логично фиксировать
основные положения, выводы, обобщения, формулировки.
Лекции в основном нацелены на освещение наиболее трудных вопросов, а также
призваны способствовать формированию навыков работы с научной литературой.
Предполагается также, что студенты приходят на лекции, предварительно проработав
соответствующий учебный материал по источникам, рекомендуемым программой.
Практическое занятие - важнейшая форма самостоятельной работы студентов над
научной, учебной и периодической литературой. Именно на практическом занятии каждый
студент имеет возможность проверить глубину усвоения теоретического материала, показать
умения решать задачи по определенным темам. Работа на практическом занятии позволяет
студенту соединить полученные теоретические знания с решением конкретных задач.
Практические занятия в равной мере направлены на совершенствование
индивидуальных навыков решения задач, выработку навыков интеллектуальной работы, а
также ведения дискуссий по поиску решения задач. Конкретные пропорции разных видов
работы в группе, а также способы их оценки, определяются преподавателем, ведущим
занятия.
Основным методом обучения является самостоятельная работа студентов с учебнометодическими материалами, научной литературой.
Основной формой итогового контроля и оценки знаний студентов по дисциплине
«Избранные вопросы элементарной математики» являются зачеты и написание курсовой и
квалификационной работ.
Примерная тематика курсовых работ
1. Неравенства. Системы неравенств.
2. Модуль. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций, уравнений и неравенств,
аналитические выражения которых содержат модуль.
3.Обратные тригонометрические функции.
4. Степенная функция с дробным показателем. Иррациональные уравнения и неравенства.
5. Комбинаторика. Бином Ньютона.
6.Последовательности. Прогрессии.
7.Точки и линии, связанные с треугольником.
8. Некоторые свойства окружностей.
9. Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и их системы.
10.Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы.
11.Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения, неравенства и их
системы.
12.Геометрическая теория тригонометрических функций. Применение тригонометрии.
13. Числа Фибоначчи.
14. Гиперболические функции.









Примерный перечень вопросов к зачёту.
Свойства чисел.
Делимость целых чисел.
Принцип Дирихле.
Нестандартные уравнения и неравенства.
Функциональные уравнения.
Теорема Жордана, Дена.
Прямые Эцлера, симпсона.
Окружность Аполлония.
Задачи Штейнера, Герона.
Критерии оценки знаний студентов на зачете
1. Оценка «зачтено» выставляется студенту, который
- прочно усвоил предусмотренный программный материал;
- правильно, аргументированно ответил на все вопросы;
- показал глубокие систематизированные знания, владеет приемами решения
нестандартных задач;
- правильно решает задачи повышенного уровня.
Дополнительными условиями получения оценки «зачтено» могут стать хорошие
результаты при выполнении самостоятельных, контрольных работ, активная работа на
семинарских занятиях, успешное участие в предметной олимпиаде по элементарной
математике.
2. Оценка «не зачтено» выставляется студенту, который не справился с 50% вопросов
и задач билета, в ответах на другие вопросы допустил существенные ошибки. Студент не
может ответить на дополнительные вопросы, предложенные преподавателем.
Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Харди, Годфри Г. Неравенства [Текст] / Г. Харди ; Д.Е. Литлвуд, Г. Полиа; пер. с англ.
В.И. Левина; с доп. В.И. Левина, С.Б. Стечкина. - 2-е изд., стер. - М. : КомКнига : УРСС,
2006. - 456 с. - Список лит.: с. 442-456. - ISBN 5-484-00363-6 : 276.00. (Библиотека
университета)
2. Харди, Годфри Г. Неравенства [Текст] / Г. Харди ; Д.Е. Литлвуд, Г. Полиа; пер. с англ.
В.И. Левина; с доп. В.И. Левина, С.Б. Стечкина. - 3-е изд. - М. : КомКнига : УРСС, 2008. 456 с. - Список лит.: с. 442-456. - ISBN 5-382-00434-1 : 333.00.
3. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. Издательство:
ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа: http://knigafund.ru /
books55410.)
4. Хорошилова Е.В. Элементарная математика. Часть 1: Теория чисел. Алгебра: Учебное
пособие для старшеклассников и абитуриентов. Хорошилова Е.В.
Издательство: Издательство МГУ, 2010 г. (Электронный ресурс. – Режим доступа:
http://knigafund.ru / books55410.)
Дополнительная литература
1.Быльцов, Сергей Федорович.Занимательная математика для всех [Текст] / С. Ф
Быльцов. - СПб. : Питер, 2005. - 349,[2] с. : ил. - ISBN 5-94723-726-1 : 92.00.
(Библиотека университета).
2. Глухова, Людмила Уриковна. Практикум по решению задач элементарной
математики [Текст] : (пособие для студентов физ.-мат. факультета) / Л. У. Глухова;
В. П. Глухов; Ульян. гос. пед. ун-т им. И.Н. Ульянова. - Ульяновск : УлГПУ, 2007. –
139 с. - ISBN 978-6-86045-204-6 : 50.00.(Библиотека университета).
3.Ионова И.В. Элементарная математика: Учебно-методические материалы для
студентов физико-математического факультета. – Ульяновск: УГПУ им. И.Н. Ульянова,
2006. (Библиотека университета)
4. Ионова И.В. Элементарная математика: Учебно-методические материалы для
студентов физико-математического факультета. – Ульяновск: УГПУ им. И.Н.
Ульянова, 2010. (Библиотека университета)
5. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра.
Тригонометрия: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей
педагогических ВУЗов. – М.: Просвещение, 2001.(Библиотека университета).
6.Шелаев А.Н.Нестандартные и олимпиадные задачи по неэлементарной и высшей
математике: Учебное пособие Издательство: МИСиС, 2004 г. (Электронный ресурс. –
Режим доступа: http://knigafund.ru / books55410.)
7..Шарыгин, Игорь Федорович. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами [Текст] /
И. Ф. Шарыгин ; Р. К. Гордин. - : Астрель ; : АСТ, 2001. - 396,[1] с. : ил. - ISBN 5-271-01560-2
: 74.00. (Библиотека университета).