53 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Лекция№6
Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных.
Кривые на гладкой поверхности
План лекции
1. Понятие элементарной поверхности и способы ее задания. Вектор-функция двух
переменных.
2. Кривые на гладкой поверхности. Внутренние координаты. Внутренние уравнения
кривой.
Необходимость изучения линий и поверхностей вытекает из их роли в человеческой
деятельности.
Например, наша планета – эллипсоид вращения, и следовательно вопросы
картографии и геодезии требуют знания методов различных расчётов, связанных с
измерениями на земном шаре и с построением географических карт.
Поверхность зеркала прожектора – параболоид вращения; параболической же
формы антенны радиотелескопов.
Арки мостов часто делают параболической формы. Сложные поверхности
представляют собой корпуса кораблей, подводных лодок, фюзеляжи и крылья самолётов,
корпуса ракет и т.д.
Всё это требует знания различных свойств этих поверхностей. И вы, как будущие
учителя, всё это должны знать, так как, с одной стороны, изучение этих вопросов
углубляет его понимание элементарной геометрии, а с другой стороны, все эти вопросы
проникают сейчас посредством Интернета, газет и научно-популярной литературы в
широкие круги читателей, в частности в среду учащихся школ, и не знать их учителю
математики просто нельзя.
Элементарные поверхности в евклидовом пространстве. Способы их задания
Пусть Ф – множество в евклидовом пространстве R 3 . Множество Ф называется
элементарной поверхностью, если при проекции на некоторую плоскость оно взаимно
однозначно и взаимно непрерывно отображается на открытую область в этой плоскости
(рис.1).
Рис. 1
Рис. 2
Примеры.
1. Любая плоская область является элементарной поверхностью.
2. Сфера не является элементарной поверхностью, хотя такой будет всякая достаточно
малая сферическая область.
Зафиксируем плоскость проекций. То получим возможность явно задать
элементарную поверхность Ф. Пусть П – рассматриваемая плоскость. Введём в
53
пространстве декартову систему координат xyz так, чтобы плоскость П совпадала с
координатной плоскостью xy. Тогда проекция на плоскость П точки с координатами (x,y,z)
будет иметь координаты (x,y,0).
Если область U ⊂ П - образ элементарной поверхности Ф при проекции на П, то
множество Ф будет графиком некоторой непрерывной функции f ( x, y ) , определённой в
области U. Поэтому множество Ф можно задать уравнением
z = f ( x, y ) .
Такое задание называется явным, а само уравнение называется уравнением элементарной
поверхности Ф в явном виде (рис.2).
Для многих целей элементарную поверхность Ф удобно рассматривать как образ
области U при её отображении в пространство R 3 , которое точке с координатами
x, y, f ( x, y ) . Это пример параметрического задания элементарной поверхности Ф.
Вообще, если элементарная поверхность Ф является образом плоской области V
при непрерывном взаимно однозначном отображении F : V → R 3 , то это отображение F
называется параметризацией элементарной поверхности Ф. Элементарная поверхность,
снабжённая
параметризацией,
называется
параметризованной
элементарной
2
поверхностью. Координаты в плоскости R , в которой лежит область V, будем для
определённости обозначать буквами u и v. Значениями двух параметров u и v полностью
определяется положение любой точки Р на поверхности: P = F (u , v) . Числа u и v будем
также называть внутренними координатами точки Р. Если точка Р имеет координаты x, y,
z, то при изменении параметров u и v координаты x, y, z тоже будут меняться – каждая из
них является некоторой функцией от u и v:
x = f1 (u, v) , y = f 2 (u , v) , z = f 3 (u , v) ,
(1)
где f 1 , f 2 , f 3 - непрерывные числовые функции, заданные в области V. Функции f 1 , f 2 , f 3
полностью описывают параметризацию F и называются её координатными функциями.
Соотношения x = f 1 , y = f 2 , z = f 3 называются уравнениями параметризованной
элементарной поверхности Ф (рис.3).
v
z
V
F
Ф
u
y
x
Рис.3
Пусть F : V → R 3 - параметризация элементарной поверхности Ф, а f 1 , f 2 , f 3 - её
координатные
функции.
Если,
во-первых,
функции
f1 , f 2 , f 3
непрерывно
дифференцируемы и, во-вторых, при каждом значении параметров u и v в точке (u,v) не
обращается в нуль по крайней мере один из трёх определителей
∂f 1 ∂f 2
∂f 1 ∂f 3
∂f 2 ∂f 3
∂u ∂u , ∂u ∂u , ∂u ∂u ,
∂f 1 ∂f 2
∂f 1 ∂f 3
∂f 2 ∂f 3
∂v ∂v
∂v ∂v
∂v ∂v
то параметризация F называется регулярной.
54
Элементарная поверхность, обладающая регулярной параметризацией, называется
гладкой.
В случае явно заданной элементарной поверхности имеется простой достаточный
критерий гладкости. Если z = f ( x, y ) - явное уравнение элементарной поверхности Ф, то
для того, чтобы Ф была гладкой, достаточно, чтобы функция f была непрерывно
дифференцируемой.
Рассмотрим произвольное взаимно однозначное и взаимно непрерывное
отображение ϕ некоторой плоской области W на область V (рис.4):
ϕ : W → V , (ξ ,η ) ֏ (u, v) ,
где u = ϕ1 (ξ ,η ) , v = ϕ 2 (ξ ,η ) . Если F : V → R 3 - параметризация элементарной
поверхности Ф, то сквозное отображение G : W → R 3 , определённое по формуле
G (ξ ,η ) = F (ϕ1 (ξ ,η ), ϕ 2 (ξ ,η )) , также будет параметризацией для Ф. Говорят, что она
получается из параметризации F при помощи замены внутренних координат u = ϕ1 (ξ ,η ) ,
v = ϕ 2 (ξ ,η ) .
Для того чтобы параметризация G (ξ ,η ) элементарной поверхности Ф, полученная
заменой (u , v) = ϕ (ξ ,η ) из регулярной параметризации F, была также регулярной,
необходимо и достаточно, чтобы замена была неособой, т.е. чтобы функции ϕ1 и ϕ 2 были
непрерывно дифференцируемы и якобиан замены не обращался в нуль:
∂ϕ1 ∂ϕ 2
∂u
∂u ≠ 0 .
∂ϕ1 ∂ϕ 2
∂v
∂v
Всюду ниже для краткости будем пользоваться термином поверхность, имея при
этом в виду только гладкие элементарные поверхности [1].
Ф
G = F ϕ
v
V
F
η
W
ϕ
ξ
u
Рис. 4
55
Вектор-функции двух переменных
Вектор-функция двух переменных определена в некоторой области W ⊂ R 3 и
ставит в соответствие каждой точке ( x, y ) ∈ W вектор v( x, y ) трёхмерного пространства
(рис.5). Всё, что касается пределов, непрерывности и алгебраических операций над
такими вектор-функциями, дословно повторяет уже известное о вектор-функциях одной
переменной. Так же вводятся координатные функции v1 , v 2 , v3 (рис.6). Небольшие
отличия касаются дифференцирования: вместо одной производной у функции двух
переменных есть две частные производные[9]. Они обозначаются: v x ( x, y ) , v y ( x, y ) , а
также v x' ( x, y ) ,
∂v
, ∂ x v и т. п .
∂y
v( x 2 , y 2 )
v( x3 , y 3 )
v( x1 , y1 )
v3
v(x,y)
v( x 4 , y 4 )
v( x5 , y 5 )
v2
v( x6 , y 6 )
v1
Рис. 5
Рис. 6
Частные производные координатных функций v( x, y ) совпадают с координатными
функциями её частных производных.
v
V
v0
P
u0
u
Рис. 7
Если F : V → R 3 - параметризация поверхности Ф, то вектор-функция
определённая по формуле
f,
f (u, v) = OF (u, v) ,
называется векторной параметризацией поверхности Ф (рис.7), а соотношение
r = f (u, v)
называется её векторным уравнением. В силу непрерывности функции F вектор-функция
56
f также непрерывна. Если поверхность Ф гладкая, а F – её регулярная параметризация, то
функция f непрерывно дифференцируема в области V, причём её частные производные
в каждой точке линейно независимы:
f u (u , v) × f v (u , v) ≠ 0 .
Кривые на гладкой поверхности
Пусть Ф – гладкая поверхность, заданная уравнением
r = f (u, v) ,
где f : V → R 3 - её регулярная параметризация. Пусть u = ϕ1 (t ) , v = ϕ 2 (t ) - уравнения
некоторой параметризованной кривой C в области V. На поверхности Ф кривой C
соответствует кривая C = f (C ) , которая в пространстве задаётся векторным уравнением
r = ψ (t ) ,
где ψ (t ) = f (ϕ1 (t ), ϕ 2 (t )) (рис.8).
Рис. 8
Теорема. Если кривая C гладкая, то и кривая С тоже будет гладкой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, ясно, что если функции f (u, v) , ϕ1 (t ) и ϕ 2 (t ) n
раз непрерывно дифференцируемы, то их композиция ψ (t ) будет n раз непрерывно
дифференцируемой. Далее, воспользуемся равенством
'
ψ (t ) = f u (ϕ1 (t ), ϕ 2 (t )) ⋅ ϕ1' (t ) + f v (ϕ1 (t ), ϕ 2 (t )) ⋅ ϕ 2' (t ) .
Так как в любой точке
(u, v )
векторы частных производных
fu и
(2)
f v линейно
независимы, и при любом t хотя бы одно из чисел ϕ (t ) , ϕ (t ) не равно нулю, то и
'
1
'
'
2
'
ψ (t ) ≠ 0 . Следовательно, ψ (t ) есть регулярная параметризация кривой С, которая, таким
образом, является гладкой. Теорема доказана.
Параметрические уравнения кривой C в области V
u = ϕ1 (t ) , v = ϕ 2 (t )
называются внутренними уравнениями кривой С на поверхности Ф.
57
Рис. 9
Особый интерес представляют кривые, которые являются образами отрезков в
области V, параллельных осям координат (рис.9). Они задаются внутренними
уравнениями вида
u = t , v = v0 = const ; u = u 0 = const , v = t
и называются координатными линиями на параметризованной поверхности Ф. Теперь
можно дать геометрическое истолкование векторов частных производных функции
f (u, v) . Из формулы (2) видно, что векторы f u (u 0 , v0 ) и f v (u 0 , v0 ) - касательные к
координатным линиям в точке P = f (u 0 , v0 ) . Поскольку поверхность Ф гладкая, а f (u, v)
- её регулярная параметризация, то векторы f u (u 0 , v0 ) и f v (u 0 , v0 ) неколлинеарны, и угол
между ними равен углу между координатными линиями в точке Р (рис. 10).
fu
v = v0
Р
Ф
u = u0
fv
Рис. 10
Итак, сегодня мы познакомились с понятием элементарной поверхности, узнали
различные способы задания поверхности; познакомились с вектор-функцией двух
переменных и кривыми на гладкой поверхности.
- Что называется параметризацией элементарной поверхности Ф?
Возможный вариант ответа: Если элементарная поверхность Ф является образом
плоской области V при непрерывном взаимно однозначном отображении F : V → R 3 , то
это отображение F называется параметризацией элементарной поверхности Ф.
58