Старинный способ решения задач на смешивание (сплавление)

Старинный способ решения
задач на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа
уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия
Филипповича Магницкого (1703 г).
(Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий (при рождении Телятин; 9 (19) июня 1669,
Осташков — 19 (30) октября 1739, Москва) — русский математик, педагог.
Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве
(с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике).
Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с
минимальными усилиями.
Задача 1. Имеются два сплава с 72% содержанием меди и с 80% содержанием меди.
Сколько грамм каждого сплава надо взять, чтобы получить 800г сплава с 75%
содержанием меди?
Решим задачу 1 старинным способом.
Друг под другом пишутся процентные содержания меди в имеющихся сплавах, слева от
них и примерно посередине – процентное содержание меди в сплаве, который должен
получиться после сплавления. Соединив написанные числа черточками, получим такую
схему:
Рассмотрим пары 75 и 72; 75 и 80. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и
результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема:
Из нее делается заключение, что 72%-ного сплава следует взять 5 частей, а 80%-ного – 3
части 800:(5 + 3) = 100 г приходится на одну часть. Таким образом, для получения 800 г
75%-ного сплава нужно взять 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного – 100·3 = 300 г.
Ответ:500г, 300г.
Задача 2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й
пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?
Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.
Правило креста или квадрат Пирсона
(Карл (Чарлз) Пирсон (27 марта 1857, Лондон — 27 апреля 1936, там же) —
выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель
математической статистики, автор свыше 650 опубликованных научных работ).
Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления
растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух
растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых
случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это
малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную
модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении
два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда,
если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании
общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля
растворённого вещества в первом растворе – 1, во втором – 2, а в их смеси – 3. Тогда
общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого
вещества в исходных растворах:
m 1∙
1
+ m2∙
2
=
3(m1
+ m2). Отсюда m1(
1
–
3)
= m2(
3
–
2),
.
Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение
разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к
разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют
диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой
массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его
массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из
большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для
первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
ω1, ω2 – массовые части первого и второго растворов соответственно.
Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.
Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно
добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
Ответ: 7 килограммов.
Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили
часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной
концентрация веществ.
Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка
решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов,
которые возможно встретятся с такими заданиями на ЕГЭ, но и для всех учащихся, так как
современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на
проценты.
Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием!
С. Пуассон