ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ВТОРОГО РОДА А.К. Жанболова1, Г.Ж. Каршыгина2, А.Е. Омирбекова3 Казахстан, Караганда, Карагандинский Е.А.Букетова, магистр, преподаватель дифференциальных уравнений 2 Казахстан, Караганда, Карагандинский Е.А.Букетова, магистрант 3 Казахстан, Караганда, Карагандинский Е.А.Букетова, магистрант 1 государственный университет имени кафедры математического анализа и государственный университет имени государственный университет имени В статье рассмотрено сингулярное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, к которому редуцируется ряд краевых задач для нагруженных уравнений теплопроводности. Ввиду неограниченности промежутка интегрирования и особенности ядра к нему не применим метод последовательных приближений. Построено соответствующее характеристическое уравнение, решение которого найдено в явном виде. Для исходного уравнения применен метод равносильной регуляризации, найден его спектр. Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, норма оператора, метод регуляризации Карлемана-Векуа. Ряд краевых задач для спектрально-нагруженных параболических уравнений, а также краевые задачи для уравнения теплопроводности в нецилиндрических областях сводятся к решению сингулярных интегральных уравнений типа Вольтерры вида [1]-[3] K 2 v I K 2 v v t K 2 , t v d g1 t , t 0, (1) t где t K 2 , t 3 / 2 2 , exp 3/ 2 2 t 4 t 1 (2) 2 Особенность данного класса уравнений заключается в том, что к нему не применим метод последовательных приближений, так как ядро интегрального уравнения (1) – функция K 2 , t обладает следующим свойством: . lim K 2 , t d 1 . t (3) t Равенство (3) означает, что норма интегрального оператора, действующего в пространстве суммируемых функций и определяемого ядром K 2 , t , равна единице. Это существенно отличает уравнение (1) от классических уравнений Вольтерры второго рода, для которых решение существует и единственно. Для исследования интегрального уравнения (1) рассмотрим соответствующее характеристическое уравнение, которое имеет вид: K v I λK v v t K , t v d g1 t , t где t R , (4) t K , t 1 / 2 3 / 2 1 2 t 3/ 2 exp 4 t , 1 2 0 . (5) Для ядра характеристического уравнения K , t также справедливо предельное соотношение: lim K , t d 1 . t (6) t Для того, чтобы интегральное уравнение (4) было характеристическим для уравнения (1), должны выполняться следующие два условия: 10 . оно должно сводиться к «эталонному» уравнению, решение которого найдено в [4]; 2 0 . разность ядер ~ K 2 , t K , t K , t должна обладать слабой особенностью (при t ). Проверка выполнения условия 10 не вызывает затруднений. Справедливость условия 2 0 следует из утверждения следующей теоремы: Теорема 1. При выполнении условий 0 и 0 t имеет место оценка: K 2 , t K , t C t 3/ 2 1 1 exp C t t 2 (7) и выполняется предельное соотношение lim t K , t K , t d 0 . 2 t Используя решение эталонного уравнения [4] запишем решение характеристического интегрального уравнения (4) в следующем виде 0 : v t ~ 1 1 t 1 t 2 1 g1 t r - 1 t N2 g1 d k N 1 где iz k c t 1 / 2 exp t , k t R (*), 2 pk ln 2 arg 2k i 2arg 2k ln , k Z m2 1 m , 1, y R , r y m exp 3/ 2 2 m1 4y N1 1 r y 2 p k exp pk y 2 p k exp pk y k 1 2 y 3/ 2 m2 m , exp 4y m k 1 k N 2 1 Re p k 0 , 1, y R ln arg N1 k N 2 , N1 , 2 ln arg N2 2 . Линии, описываемые уравнением exp arg 2k , делят комплексную плоскость параметра на непересекающиеся области Dm , m 0, 1, 2, ... , следующим образом: 2 n 1 D D2 n Dn1 Dn2 \ k , k 1 2n D1 , D2 n 1 Dn1 Dn2 \ Dk , (8) k 0 где Dn1 : exp2n 1 arg , Dn2 : exp2n arg , n 0, 1, 2, ... Внешние части границ Dm , m 0 ,1, 2 ,..., областей Dm , m 0 ,1, 2 ,..., обозначим соответственно через Г m , m 0 ,1, 2 ,... . Решение исходного интегрального уравнения найдем методом регуляризации Карлемана-Векуа. Введем обозначение ~ K , t K 2 , t K , t (9) и запишем исходное интегральное уравнение (1) в виде ~ ~ Κ v~ v t Κ , t v d Κ , t v d g1 t t (10) t Рассматривая уравнение (10) как характеристическое, то есть считая правую часть этого уравнения временно известной запишем его решение 1 / 2 t N2 ~ p 1 / 2 exp k t . g1 d K , v d d ck t k N1 ~ t v t g t Κ t , v d t t 1 r Преобразуем правую часть последнего равенства 1 / 2 t v t g1 t t 1r t g1 d ~ pk 1 / 2 c t exp t K , t v d k k N1 N2 1 / 2 t ~ (11) K , d Поменяв ролями переменными интегрирования и в повторным t v d t t 1 r интеграле последнего уравнения получим новое регуляризованное уравнение относительно искомой функции v t : ~ Κ v I K v v t Κ , t v d g t t p ck t 1 / 2 exp k t (12) k N1 N2 где использовали обозначения: 1 / 2 t ~ ~ Κ t , Κ t , t 1r ~ t ~ ~ ~ Κ , d Κ t , Κ t , (13) 1 / 2 1r t g1 t g1 t t t g d . 1 (14) Покажем, что интегральное уравнение (12) действительно регулярное (имеет единственное решение), для этого достаточно показать справедливость следующей оценки: t 1 exp C , t 1 / 2 / 2 t 1 / 2 0 / 2, 0, 0 t . K C (15) Для регуляризации особых интегральных уравнений с бесконечным пределом интегрирования целесообразнее переходит к уравнениям на конечном интервале. Поэтому в начале преобразуем интегральное уравнение (11) к уравнению на конечном интервале. Для этого в нем произведем замены независимых переменных 11 t t11 , и получим: t1 t1 ~ v t1 Κ t1 , 1 v 1 d 1 Κ ' t1 , 1 v 1 d g1 t1 , ' 0 где (16) 0 ~ K ' t1 , 1 K 2' t1 , 1 K ' t1 , 1 , (17) Соответственно равенства (12) - (14) примут вид: t1 ' ~ ' Κ v I K v v t1 Κ ' t1 , 1 v 1 d 1 0 g t1 N2 k N1 p c k t11 / 2 exp k t , (18) здесь использованы обозначения: 1 / 2 t1 ' ~' K t1 , 1 K t1 , 1 1 t1 1 1 r t1 ~ ~ K ' t1 , 1 K ' t1 , 1 , t 1 1 / 2 g 1 t1 g 1 t1 1 t 0 1 1 1 t1 r 1 1 1 ~' K 1 , d (19) 1 g1 1 d 1 . (20) Теперь покажем, что интегральное уравнение (18) действительно регулярное (вольтеррово), для этого достаточно доказать справедливость следующей леммы: Лемма 1. Ядро интегрального уравнения (18) имеет слабую особенность, т.е. справедлива оценка t1 1 exp c , t 11 / 2 t1 1 1 / 2 1 1 0 / 2 , 0 , 0 1 t1 K ' t1 , 1 C t11/ 2 (21) ~ ~ ~ Доказательство. Так как K ' t , имеет представление K ' t , K ' t , , то оценка (21) следует нижеприведенных соотношений. Используя следующее двойное неравенство [5] [с.55]: C1 t 1 t t C2 t 1 t , C1 min 1, , C2 max 1, , вначале получим 1 2 0 : 1 / 2 t ~ C t 1 / 2 t / 2 ~' 1 d K t , M 1 exp 1 t t t M 2 1 1 / 2 C 2 t 1 / 2 t 3 / 2 3 / 2 exp t t 3 / 2 d J 1 t , J 2 t , . Здесь C j , M j , j 1, 2 - постоянные, зависящие только от , функции J1 t , , J 2 t , соответственно равны: J 1 M 1 C t t d M 1 1 / 2 I 1 t , ; exp 1 t t t t 1 / 2 1 1 / 2 C 2 t t d M 2 1 / 2 I 2 t , . exp 1 / 2 3/ 2 1/ 2 t t Далее, каждую из функций I1 t , , I 2 t , представим в виде суммы из двух J 2 M 2 слагаемых: t 1 / 2 t t I1 t , I11 t , I12 t , ; I 2 t , I 21 t , I 22 t , , для каждого из которых последовательно будем иметь: J11 t , t 2 C t C t 1 0 1 / 2 C t 1 d exp 1 t t t 2 t d t dz z2 / t C ln t z2 t 1 t t / t / 1 C 1 1 / t C 1 2 ln ln t /t t /t 1 C1 C2 / t ln t t / t 1 C1 C3 t / t где значение параметра выбирается из условия 0 / 2 ; I12 t , t 2 t t C t 1 / 2 I 21 t , C t 1 / 2 t t /2 t / 2 C1 t t C1 t d t 1 1 t exp t 1 t z t / 2 C1 t d t 1 1 / 2 t exp t / 2 1 / 2 C t C1 t exp 1 1 d t t 1 / 2 C t exp z dz 2 C t 0 C 2 t t 1 / 2 exp t t 3 / 2 1 / 2 d C C1 C 2 / t ln t t / t 1 1 t C ; t 2 t d t C3 t / , 1 где последнее неравенство получается также как при оценке функции I11 t , , и значение параметра выбирается также из условия 0 / 2 ; t C 2 t t 1 / 2 d I 22 t , exp 3/ 2 1/ 2 t t t / 2 С t 1 / 2 t t t t 3/ 2 /2 С t 1 / 2 t t t / 2 t С t t 3/ 2 t 1 / 2 t 3/ 2 0 C C t t exp 3 t C t 1 exp 3 t C t 1 exp 4 t t / 2 t /2 d 1 t z d t 1 / 2 2 t d 1 / 2 t d dz 3/ 2 4t exp z 2 dz C t . j 1, 2 , 3 , 4 , разные и зависят В этих неравенствах постоянные С , C j , только от . Из полученных неравенств следует искомая оценка (21). Лемма доказана. Итак, в силу оценки (21) для заданной правой части уравнение (18), а вместе с ним и уравнение (12) имеет только единственное решение, существование которого можно показать методом последовательных приближений. Из соотношений (10) и (12) следует, что однородное уравнение K 2 v I λK 2 v v t K 2 , t v d 0 , t R , (22) t равносильно неоднородному уравнению: K v v t K , t d p ck t 1 / 2 exp k t , N2 k N1 t t R , (23) Рассмотрим вместо (23) семейство интегральных уравнений: K v t t p K t , v d t 1 / 2 exp k t , k N1 , ...., 0 , N 2 , (24) t R Далее, в силу того, что каждое из уравнений (24) имеет единственное нетривиальное решение vk t , k N1 , ..., 0 , ... , N 2 (соответствующее правой части pk t , то для каждого значения параметра C \ D0 эти функции vk t , k N1 , ..., 0 , ... , N 2 , будут соответствующими собственными уравнения (24) t 1 / 2 exp функциями однородного уравнения (22) (а значит, и однородного для (1) уравнения). Теорема 2. Значения D0 из (8) является регулярными числами оператора K 2 (1). Теорема 3. Множество C \ D0 составляет характеристические числа m оператора K 2 (2). Причем, если Dm m 1 \ 1 e m , m 1, 2 , ..., то dim Ker K 2 m ; и соответствующими собственными функциями будут решения уравнений (22): vk t K 1 1 / 2 p exp k t , t k 1, .... , m N1 N 2 1 . Общим решением неоднородного интегрального уравнения (12), равно как и уравнения (1), будет функция: v t K 1 gˆ t m N1 N 2 1 k 1 ck vk t , t R , где c k - произвольные постоянные, k 1, ... , m . Список литературы 1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. – 205 с. 2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012. – 232с. 3. Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. – Алматы: ҒЫЛЫМ, 2010. – 334 с. 4. Akhmanova D.M., Dzhenaliev M.T., Ramazanov M.I. On a particular Volterra integral equation of second kind with a spectral parameter.// Siberian Mathematical Journal, 2011.-Vol. 52. - №1. – P.1-12. 5. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства, М.: Иностранная литература, 1948, 456с.