7561

7561. В вертикально расположенном цилиндре находится кислород
массой m = 64 г, отделенный от атмосферы поршнем, который
соединен с дном цилиндра пружиной жесткостью k = 8,3∙102 Н/м. При
температуре T1 =300 K поршень располагается на расстоянии h = 1 м от
дна цилиндра. До какой температуры T2 надо нагреть кислород, чтобы
поршень расположился на высоте H = 1,5 м от дна цилиндра?
Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙K), молярная
масса кислорода M = 32 г/моль.
Дано: m = 0,064 кг; k = 8,3∙102 Н/м; T1 =300 K; h = 1 м; H = 1,5 м; R = 8,31
Дж/(моль∙K); M = 32 г/моль
Найти: T2=?
Решение. Поскольку в условии задачи не сказано, что поршень невесом, будем
полагать, что он обладает некоторой массой, которую обозначим через M0. Ничего не
говорится также про атмосферное давление, поэтому будем считать, что оно
существует, и обозначим его через p0. Таким образом, на поршень действуют в общем
случае четыре силы: сила тяжести M0g, сила упругости пружины, по закону Гука
равная kx (x – удлинение пружины), сила атмосферного давления p0S, направленные
вниз, и сила давления газа в цилиндре pS, направленная вверх.
Условия равновесия поршня в начальном и конечном состояниях имеют вид:
𝑀0 ∙ 𝑔 + 𝑝0 ∙ 𝑆 + 𝑘 ∙ 𝑥1 = 𝑝1 ∙ 𝑆,
𝑀0 ∙ 𝑔 + 𝑝0 ∙ 𝑆 + 𝑘 ∙ 𝑥2 = 𝑝2 ∙ 𝑆,
p1 и p2 - давления газа в начальном и конечном состояниях. Вычитая из второго
уравнения первое, получаем:
𝑘
𝑘
𝑝2 − 𝑝1 = ∙ (𝑥2 − 𝑥1 ) = ∙ (𝐻 − ℎ).
𝑆
𝑆
С другой стороны, из уравнения Клапейрона-Менделеева, записанного для начального
и конечного состояний газа:
𝑚
𝑚
𝑝1 ∙ ℎ ∙ 𝑆 = ∙ 𝑅 ∙ 𝑇1 ,
𝑝2 ∙ 𝐻 ∙ 𝑆 = ∙ 𝑅 ∙ 𝑇2 ,
𝑀
𝑀
вытекает, что
𝑚 ∙ 𝑅 𝑇2 𝑇1
𝑝2 − 𝑝1 =
∙ ( − ).
𝑀∙𝑆 𝐻 ℎ
Приравнивая разности давлений газа, получим ответ:
𝐻 𝑀 ∙ 𝑘 ∙ 𝐻 ∙ (𝐻 − ℎ)
𝑇2 = 𝑇1 ∙ +
;
ℎ
𝑚∙𝑅
1,5 32 ∙ 10−3 ∙ 8,3 ∙ 102 ∙ 1,5 ∙ (1,5 − 1)
𝑇2 = 300 ∙
+
= 487 𝐾.
1
0,064 ∙ 8,3
Как и следовало ожидать, наличие атмосферного давления и конечная масса поршня
не влияют на ответ.
Нужно отметить, что из условия задачи неясно, была ли растянута или сжата
пружина в начальном состоянии, а также меняла ли знак деформация пружины в
процессе перемещения поршня. Следует понимать, что при изменении знака
деформации пружины изменяется знак проекции силы упругости. Будет полезным
самостоятельно убедиться в том, что от начального и конечного состояний пружины
ответ не зависит.