Применение производной к решению задач

Применение производной к решению задач
Многие задачи приводят к необходимости находить наибольшее или
наименьшее значение. При решении такого рода задач можно придерживаться
следующего порядка действий:
1) ввести переменную;
2) выразить через эту переменную и известные данные ту величину,
наибольшее (наименьшее) значение которой надо найти, т.е. ввести функцию
(если функция имеет на интервале только одну точку экстремума – точку
минимума (максимума), то она принимает в этой точке наименьшее
(наибольшее) значение на данном интервале);
3) определить наименьшее (наибольшее) значение введенной функции.
Производная в физике
Работа
Рассмотрим работу, которая совершает заданная сила F по перемещении
по отрезку х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на
длину пути. Если сила меняется, то ее моно рассматривать как функцию от х,
т.е. F=F(x).
Приращение работы А на отрезке [x; x+dx] нельзя точно вычислить как
произведение F(x)dx, так как сила меняется на этом отрезке. Однако при
маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение
представляет собой главную часть А, т.е. является дифференциалом работы:
dA=F(x)dx. Таким образом, силу можно считать производной работы по
перемещению.
Заряд
Пусть q – заряд, переносимый электрическим током через поперечное
сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время dt ток
перенесет заряд, равный Idt.
При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I=I(t),
произведение I(t)dt дает главную часть приращения заряда на маленьком
отрезке времени [t; t+t], т.е. является дифференциалом заряда: dq=I(t)dt. Тем
самым сила тока является производной заряда по времени.
Масса тонкого стержня
Пусть есть неоднородный тонкий стержень. Можно рассмотреть
функцию m=m(l) – массу куска стержня от начала до точки l.
Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не
является постоянной, а зависит от положения точки l по некоторому закону
=(l). Если на маленьком отрезке стержня [l; l+dl] считать плотность
постоянной и равной (l), то произведение (l)dl дает дифференциал массы –
dm. Это значит, что линейная плотность – производная массы по длине.
Теплота
Рассмотрим процесс нагревания вещества и вычислим количество
теплоты Q(T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 00 до
Т0 (по Цельсию). Зависимость Q=Q(T) очень сложна и определяется из опыта.
Если бы удельная теплоемкость с данного вещества не зависела от
температуры, то произведение cdT дало бы изменение количества теплоты.
Считая на малом отрезке [T; T+dT] удельную теплоемкость постоянной,
получим дифференциал теплоты dQ как c(T)dT. Поэтому теплоемкость –
производная теплоты по температуре.
Работа как функция времени
Мощность – это характеристика работы, определяющая ее скорость по
времени. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt.
Это выражение представляет собой дифференциал работы, т.е. dA=N(t)dt и
мощность выступает как производная работы по времени.
Примеры решения задач
Пример 1. Проволочной сеткой длиной 240 м надо огородить
прямоугольный участок земли. Какие размеры должен иметь участок, чтобы
его площадь была наибольшей?
Решение: пусть х – длина одной из сторон участка, тогда длина смежной
стороны равна (120 – х), а площадь участка можно найти по формуле
S(x)=x(120 – x). По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<x<120.
Рассмотрим функцию S(x)=x(120 – x) на отрезке [0; 120] и найдем ее
наибольшее значение на этом отрезке.
S ’(x)=120 – 2x.
120 – 2х=0,
отсюда
х=60.
S(60)=60(120 – 60)=3600; S(120)=120(120 – 120)=0.
S(0)=0(120 – 0)=0;
Таким образом, функция S(x) принимает наибольшее значение при х=60.
Вторая сторона равна 120 – 60=60 м.
Ответ: 60х60 м
Пример 2. Прямоугольный участок земли площадью 3600 м2 надо
огородить проволочной сеткой. Какие размеры должен иметь участок, чтобы
длина сетки была наименьшей?
Решение: пусть х – длина одной стороны участка, тогда вторая сторона
3600
3600
равна
. Периметр участка находится по формуле 𝑃(𝑥) = 2(𝑥 +
).
𝑥
𝑥
3600
𝑥 2 −3600
𝑃′ (𝑥) = (2 (𝑥 +
))′=2 𝑥 2 . Производная обращается в нуль при
𝑥
х=60 и х= - 60. Значение – 60 не подходит по условию задачи, следовательно,
х=60. При 0<x<60 производная отрицательно и функция Р(х) убывает; при x>60
значения производной положительны и функция Р(х) возрастает.
Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке х=60. Вторая
сторона равна 3600:60=60 м.
Ответ: 60х60 м
Пример 3. Из прямоугольного листа жести размером 5х8 надо изготовить
открытую коробку наибольшего объема, вырезав квадратные уголки.
Решение: обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда
длины сторон прямоугольника уменьшатся на 2х и объем коробки будет равен:
𝑉 = 𝑥(8 − 2𝑥)(5 − 2𝑥) = 4𝑥 3 − 26𝑥 2 + 40𝑥. При этом х может меняться в
следующих пределах: 0х2,5.
10
Найдем критические точки: 𝑉′ = 12𝑥 2 − 52𝑥 + 40. 𝑉′ = 0 при х1=1, х2= .
3
Значение х2 не принадлежит области определения. При х=1 объем максимаkен
Vmax=18
Ответ: 18
Пример 4. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.
Решение: обозначим через R радиус шара, а через r и h соответственно
радиус основания и высоту вписанного цилиндра. Как видно из рисунка,
выполняется соотношение
ℎ2
4
+ 𝑟 2 = 𝑅2 .
Будем считать h переменной. Тогда 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ = 𝜋 (𝑅2 −
𝜋ℎ3
4
ℎ2
4
) ℎ = 𝜋𝑅2 ℎ −
. h меняется в пределах от 0 до 2R.
3
2𝑅
4
√3
Находим критические точки 𝑉 ′ = 0, 𝜋𝑅2 − 𝜋ℎ2 = 0, ℎ =
значении h объем будет максимальным: 𝑉𝑚𝑎𝑥 =
4𝜋
3√3
. При этом
𝑅3.
Ответ:
4𝜋
3√3
𝑅3
Пример 6. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой
высоте следует повестить эту лампу, чтобы на краях стола получить
наибольшую освещенность?
Решение: из физики известно, что освещенность обратно
пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна
синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке. Иными
sin 𝜑
ℎ
словами, 𝐸 = 𝑘 2 2, где Е – освещенность на краю стола, sin 𝜑 = 2 2, h –
ℎ +𝑟
√ℎ +𝑟
расстояние от лампы до стола.
Вместо функции 𝐸 = 𝑘
3
(ℎ2 +𝑟 2 )2
рассмотрим функцию 𝑇 =
1
𝑘2
𝐸2 =
(ℎ2 +𝑟 2 )3
.
При этом вместо h можно взять переменную z=h2 и найти критические точки Т
как функции от z:
𝑇=
𝑟2
𝑟2
2
2
. 𝑇 ′ = (𝑧+𝑟 2)4 = 0. r2 – 2z=0, z= , т.е. ℎ2 =
3
(𝑧+𝑟 2 )
Итак, освещенность максимальна, если ℎ =
𝑟
иℎ=
𝑟
√2
.
.
√2
Ответ:
𝑟
√2
Пример 7. В сопротивлении материалов доказывают, что сопротивление
изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине х и
квадрату ее высоты: P=kxy2. Какое сечение должна иметь балка наибольшего
сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R?
Решение: из рисунка видно, что х и у связаны соотношением 𝑦 =
− 𝑥 2 . Поэтому P=kxy2=kx(4𝑅2 − 𝑥 2 ). Значит, надо найти наибольшее
значение функции на отрезке [0; R]. Производная этой функции имеет вид:
′
(𝑘𝑥(4𝑅2 − 𝑥 2 )) = (4𝑘𝑅2 𝑥 − 𝑘𝑥 3 )′ = 4𝑘𝑅2 − 3𝑘𝑥 2 .
√4𝑅2
Приравнивая ее к нулю, получаем уравнение 𝑘(4𝑅2 − 3𝑥 2 ) = 0, корнями
2𝑅
2𝑅
2𝑅
которого являются числа − и . На отрезке [0; R] лежит лишь корень .
√3
√3
2
Значит, надо сравнивать значение функции 𝑘𝑥(4𝑅 − 𝑥
2)
при х=0,
2𝑅
√3
√3
, 2R. В
точках 0 и 2R функция обращается в нуль. Наибольшее значение она имеет при
2𝑅
2𝑅√2
√3
√3
х= . При этом значение имеем: 𝑦 = √4𝑅2 − 𝑥 2 =
Отсюда находим, что
𝑦
𝑥
.
7
= √2. Так как √2 ≈ , то на практике принимают,
что должно выполняться условие
𝑦
𝑥
7
5
= .
5
Ответ:
7
5
Пример 8. Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в
окружность радиуса R.
Решение: обозначим длины сторон прямоугольника через х и у. Тогда
𝑦 = √4𝑅2 − 𝑥 2 , и поэтому площадь S выражается через х так: 𝑆 = 𝑥√4𝑅2 − 𝑥 2 .
Поскольку значения этой функции неотрицательны, она принимает наибольшее
значение в той же точке, что и функция 𝑆 2 = 𝑥 2 (4𝑅2 − 𝑥 2 ).
Производная этой функции равна 8𝑅2 𝑥 − 4𝑥 3 .
Приравнивая ее к нулю, получаем уравнение 4𝑥(2𝑅2 − 𝑥 2 ) = 0, корнями
которого являются числа 0 и R√2 и 2R. При х=0 и х=2R функция обращается в
нуль, следовательно, она принимает наибольшее значение при х=R√2.
В этом случае 𝑦 = √4𝑅2 − (𝑅√2)2 = 𝑅√2, а потому у=х.
Отсюда следует, что прямоугольником наибольшей площади, вписанным
в окружность радиуса R является квадрат.
Ответ: квадрат
Упражнения
1. Решите задачу:
1) Каковы должны быть стороны прямоугольного участка с периметром 120
м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
2) Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором.
Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была
наименьшей?
3) Кусок проволоки длиной 81 см нужно согнуть так, чтобы площадь
ограниченного ею прямоугольника была наибольшей.
4) Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как
определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном
периметре?
5) Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны,
чтобы периметр был наименьшим?
6) Кусок проволоки длиной 48 см сгибают так, чтобы образовался
прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы
его площадь была наибольшей?
7) Требуется сделать коробку с квадратным дном наибольшего объема без
крышки при заданной площади поверхности 12 дм2. Определите размеры
коробки.
8) Из всех прямоугольников, вписаны в окружность радиусом 1 см, укажите
тот прямоугольник, который имеет наибольшую площадь. Найдите эту
площадь.
9) Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите
наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.
10) Из круглого бревна вырезают балку прямоугольного сечения наибольшей
площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна 20 см.
2. Решите задачу:
1) Число 48 представьте в виде сумм двух слагаемых так, чтобы их
произведение было наибольшим. Найдите эти слагаемые.
2) Число 16 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их
квадратов бала наименьшей.
3) Число 18 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма
удвоенного одного слагаемого и квадрата другого слагаемого была
наименьшей.
4) Число 10 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
5) Число 64 представлено в виде произведения двух положительных
сомножителей так, что сумма их квадратов минимальна. Найдите эти
сомножители.
6) Число 10 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их
квадратов была наименьшей
7) Число 12 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых,
произведение которых имело бы наибольшее значение.
8) Число 8 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
9) Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме
наименьшее значение.
10) Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих числе была наименьшей.
3. Решите задачу:
1) Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной а
найдите треугольник наибольшей площади.
2) Боковые стороны и меньшее основание равнобедренной трапеции равны
24 см. Какой должна быть длина большего основания, чтобы площадь
трапеции была наибольшей?
3) В треугольник с основанием 6 м и высотой 8 м вписан прямоугольник,
одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Определите
наибольшую площадь такого прямоугольника.
4) В треугольник с основанием 4 см и высотой 3 см вписан прямоугольник,
одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Определите
наибольшую площадь такого прямоугольника.
5) В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и противолежащим ему
углом 30о вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе.
Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей?
6) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 60 о вписан
прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны
быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
7) Какой из равнобедренных треугольников с заданным периметром 2р имеет
наибольшую площадь?
8) Сумма длин катетов прямоугольного треугольника рана 20 см. Какой
длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
9) В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой 8 см вписан
прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника.
Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы он имел наибольшую
площадь?
10) Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника
заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был
наибольший?
4. Решите задачу:
1) Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в
шар радиусом R.
2) Из всех цилиндров, имеющих объем 16π м2, найдите цилиндр с
наименьшей площадью полной поверхности.
3) В конус, радиус основания которого R и высота Н, требуется вписать
цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите
радиус цилиндра.
4) Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема
(плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
5) Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара
радиусом R.
6) Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара
радиусом R так. Чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.
7) Найдите отношение высоты к диаметру конуса, который при заданном
объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
8) Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть
сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
9) Тело представляет собой цилиндр, завершенный сверху полушаром. Какую
наименьшую площадь полной поверхности может иметь это тело, если его
объем равен V?
10) В основании пирамиды прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см.
Высота пирамиды 6 см. Найдите наибольший объем пирамиды.
5. Решите задачу:
1) Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега.
Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на
расстоянии 5 км от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир,
выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна
пристать лодка, чтобы пассажир достиг села В в кратчайшее время?
2) По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными
скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, то улицы прямолинейные и
пересекаются под прямым углом, а в некоторый момент времени
автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км, определите,
через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
3) Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С
буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по
шоссе в 15 км от точки. Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по
шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее
время достичь населенного пункта?
4) Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги,
пешеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от
пункта А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5
км/ч, а по лесу – с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое минимальное
время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В?
5) Для машины, движущейся со скоростью 30 м/сек, тормозной путь
определяется формулой S (t )  30t  16t 2 м, где t – время торможения (в
секундах). Определите, какое расстояние (в метрах) пройдет машина до
полной ее остановки.
6)
7)
8)
9)
10)
6. Решите задачу:
1) Концы отрезка АВ=5 м, скользят по координатным осям. Скорость
перемещения конца А равна 2 м/с. Каков модуль скорости перемещения
конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на
расстоянии 3 м?
2) Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы
начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью
опускается в момент времени t верхний конец лестницы и с каким
ускорением?
3) Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по
которой идет человек, рост которого равен 18 м. С какой скоростью
удлиняется его тень, если он удаляется со скоростью 50 м/мин?
4) Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 600, одновременно
начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч,
второе – по закон s(t)=2t2-t. С какой скоростью они удаляются друг от друга в
момент t=3 ч?
5) Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком
расстоянии должен встать человек ростом 1,6 м, чтобы видеть статую под
наибольшим углом?
6) Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м
выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать
наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра
картины (т.е. чтобы угол рения по вертикали был наибольшим)?
7)
8)
9)
10)
Дополнительные задания
1. Решите задачу:
1) Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. масса его части АМ растет
пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при
АМ=2 см. Найдите массу всего стержня и линейную плотность в любой его
точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В?
2) Для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на
расстояние l, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле
𝑚(𝑙) = 3𝑙 2 + 5𝑙. Найдите линейную плотность стержня в средине отрезка АВ
и в конце В стержня.
3) Масса неоднородного стержня длины l вычисляется по формуле
m(l )  150l 
l3
. Определите, при каком значении l плотность в конце стержня
3
будет втрое меньше, чем в начале.
4) Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S (t )  2t 2  3t  1.
mv 2
Найдите кинетическую энергию тела E 
(в джоулях) через 3 секунду
2
после начала движения.
5) Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что радиус
равномерно увеличивается на 0,01 см/с. С какой скоростью увеличивается его
площадь в тот момент, когда его радиус равен 2 см?
6) Количество электричества q в проводнике меняется по закону
q  25e2t  cos(3t  1). Определите силу тока I  q(t ) в конце 5-й секунды.
7) На двух стройплощадках возводятся два одноэтажных склада общей
площадью 600 м2. Стоимость постройки склада прямо пропорциональны
квадрату его площади. Кроме того, известно, что строительство 1 м2 на
второй площадке обходится на 40% дороже, чем на первой. Какой должна
быть площадь каждого склада, чтобы стоимость строительства была
наименьшей?
8) По одну сторону от стены высотой 30 м на расстоянии 10 м от стены лежит
груз, по другую сторону от стены по горизонтальной площадке ездит кран.
Башня крана имеет высоту 20 м, а его стрела, прикрепленная к верхней точке
башни, имеет длину а м и может быть расположена под любым углом к
горизонту. При какой наименьшей длине а стрелы кран может поднять груз
через стену? (Трос крана свисает вертикально с конца стрелы, его длина не
ограничена).
9) На странице книги печатный текст должен занимать 150 см2. Верхнее и
нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое – по 2 см. Если принимать во
внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее
выгодные размеры страницы?
10)