Задачи оптимизацииx

Тема : Примеры использования производной для нахождения наилучшего
решения в прикладных задачах.
“Человек лишь там чего-то добивается, где он верит в свои силы”. (Людвиг Фейербах)
Цели :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Применение математического моделирования как способа активизации аналитического
мышления.
Формирование у учащихся навыков использования схемы для решения задач оптимизации.
Развитие навыков самостоятельной работы.
Развитие логического мышления, монологической речи.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Воспитание внимания, аккуратности.
Тип занятия: изучение нового материала.
Форма занятия: комбинированное
Метод занятия: объяснительно-иллюстративный с элементами диалога, проблемности, творчества.
Современные педагогические технологии и методы обучения: проблемное обучение, уровневая
дифференциация, технология обучения на основе решения задач, технология учебного исследования.
Межпредметные связи: физика, химия.



Оснащение занятия: памятки с методическими рекомендациями по решению задач,
компьютер, мультимедийный проектор, экран, памятка с методическими рекомендациями по
решению задач;
изготовленные учащимися коробки с открытым верхом из листа размером 12 x 12
(индивидуальная домашняя работа);
карточки с задачами.
Группа, специальность, курс: 255, СЭЗС, 1
№
п/
п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Этапы занятия
Организационный момент
Опрос обучающихся по
заданному на дом
материалу
Изучение нового учебного
материала
Закрепление учебного
материала
Задание на дом
Подведение итогов
Дата : 4 апреля 2013 г.
Преподаватель : Кононенко И. Г.
Содержание учебной деятельности
Время (мин)
Приветствие. Запись отсутствующих.Мотивация
учебной деятельности. Тема и постановка цели
занятия.
Проверка д/з у доски (ученик за крыльями
доски). Решение задач по предыдущей теме.
3
Историческая справка по теме занятия. Слово
преподавателя.
Тренировочные упражнения.
15
Домашнее задание.
Подведение итогов. Выставление оценок с
комментарием.
5
7
10
50
Ход занятия
I этап. Организационный момент (3 мин.).
II этап. Опрос обучающихся по заданному на дом материалу (10мин.).
Учитель: Для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала, нам
необходимо повторить пройденное. Во время изучения темы “Производная” вы
познакомились с понятием «Производная» , научились находить производные
элементарных и сложных функций, наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке. Сегодня мы увидим еще одно применение производной –
использование производной для наилучшего решения в прикладных задачах.
Какие математические задачи особенно важны? Наверно, не вы и не я сразу не
сможем ответить на этот вопрос. Очень много задач ставит жизнь перед
математикой, есть среди задач простые, а есть и очень трудные. Есть задачи,
оставляющие решающего человека спокойным, а есть и такие, от которых дух
захватывает. Однако, некоторые группы задач все же можно признать
особенно важными для самой математики и ее приложений. К ним относятся
задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин, или
как их называют задачи на нахождение экстремумов. Экстремум – крайнее,
оптимум - наилучшее. Мы представим презентацию, в которой попытались
отразить основные этапы “Истории развития теории экстремальных
значений величин”.
Далее следует выступление учащихся, сопровождающееся показом презентации.








С давних времен перед человеком возникают практические проблемы выбора
оптимального значения некоторой величины при определенных условиях.
Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата
может быть осуществлено не единственным способом и приходится
отыскивать наилучший способ достижения результата.
Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть
совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного
критерия. Например, каков должен быть наилучший вид дома? Ответы будут
разными в зависимости от того, для каких целей он предназначен. Жилой
частный или многоквартирный, административное здание. Для разных целей
различны будут и главные критерии. Критерии могут быть следующими:
Количество членов семьи.
Местность, в которой он строится.
Национальные традиции.
Многое другое.
Задачи такого характера, получившие название задачи на экстремумы или
задачи на оптимизацию, возникают в самых различных областях
человеческой деятельности. И их роль в жизни людей действительно очень
важна. Решением таких задач занимались крупнейшие математики прошлых
эпох - Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Ньютон и
многие другие. Ведь, несмотря на все разнообразие, их объединяет одна
особенность – поиск наиболее выгодного, в определенном отношениях,
наиболее экономного, наименее трудоемкого, наиболее производительного.
Этот поиск кратко можно назвать поиском лучшего.




Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В
Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об
экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым
периметром наибольшую площадь имеет круг (среди пространственных
фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопериметрической
экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решение
изопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о
следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача
Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать
поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она
уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно
охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие
полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок
земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в
указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой
площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то
решение получается немедленно: граница участка представляет часть
окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами
занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).
Известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник
ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать,
что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F
которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.
После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала
возрождаться только в XV веке. Задачи на экстремумы оказались среди тех,
которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные
времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими
методами и каждая задача для своего решения требовала специфического
приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач на
экстремумы, которые привели к созданию дифференциального и
интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были
созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего
открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил
его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить
вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в
каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению,
немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер
открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось,
что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы,
при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части
прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются
мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался
при объявлении объема бочки по одному измерению.
Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем
оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И.
Ньютоном и Г. В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь
название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0
непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:
С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых
величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к
созданию современного математического анализа.
III этап. Объяснение нового материала (15 мин). На предыдущем уроке мы с вами
познакомились с алгоритмом отыскания наименьшего и наибольшего значений
непрерывной на отрезке функции. (Повторяем алгоритм по пунктам.) Дальше
предлагаю самостоятельно выполнить задание: “Найти наибольшее, наименьшее
значения функции V(x) = 1/2(12 – x) * x2 на отрезке [0; 12]. Это и проверка усвоения
темы прошлого урока, и возможность просмотреть домашнее задание (собрать
коробочки), и главное, переходное задание к задачам на оптимизацию. Работу
обязательно проверяю по решению одного из учащихся на обратной стороне доски.
К объяснению темы приступаю с демонстрации исходного квадрата и тех коробочек,
которые изготовили учащиеся, с указанием их объёмов. Бумажный квадрат был у
всех одинакового размера, а объёмы коробочек получились разные. Выясняем, в
каком случае коробочка имеет наибольший объём. Пусть МN = x см (см. рисунок).
Тогда АМ = ((12-x)/2) см, объём коробочки: V = x2*(12-x)/2 = (1/2x2(12 – x)) см, где
0
x
12. Находим наибольшее значение функции V(x) = 1/2x2(12-x) на отрезке
[0;12]. Эта задача была решена в начале урока. Таким образом, в этой части урока всё
внимание сосредотачивается на составление математической модели задачи. Важно
выяснить, так чья же коробочка имеет наибольший объём?
П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые
позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека:
как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими
задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных
специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы
выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать
прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей.
Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы
транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от
латинского словаoptimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию
мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём
надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё
наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.
Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме:


составление математической модели;
работа с моделью;

ответ на вопрос задачи.
Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах. Раздаются памятки
(Приложение 1).
IV этап. Закрепление нового материала (50мин.).
Учитель: Решите самостоятельно следующую задачу 2. Периметр прямоугольника
равен 40см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь
была наибольшей?
Решение: 2(a+b)=40, a+b=20, S =a·b, b=20-a.
1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны
прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина
прямоугольника. Тогда 0< х <20;
2. записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x2;
3. находим производную S' (x) = 20-2x;
4. решаем уравнение 20-2х=0. х=10.
Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).
S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.
Ответ: 10 см.
Задача 3.Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным
основанием, должен вмещать литров жидкости. При какой стороне основания
площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?
Р е ш е н и е . Первый этап. Составление математической модели.
1) Оптимизируемая величина
— площадь поверхности бака, поскольку в
задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим
буквой
2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда.
Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием
бака; обозначим ее буквой Ясно, что
Других ограничений нет, значит,
Таковы реальные границы изменения независимой
переменной:
3) Если
— высота бака, то
, откуда находим
На рис. 152 изображен прямоугольный параллелепипед, указаны его измерения.
Поверхность бака состоит из квадрата со стороной и четырех прямоугольников со
сторонами и . Значит,
Итак,
Математическая модель зада чи составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции
найти
надо
. Для этого нужна производная функции:
На промежутке
критических точек нет, а стационарная точка только одна:
при
Заметим, что при
а при
выполняется неравенство
выполняется неравенство
Значит,
— единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на
заданном промежутке, а потому, согласно теореме из п. 1 , в этой точке функция
достигает своего наименьшего значения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел
наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего
основанием такого бака, равна
Ответ:
Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите
размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 30 см.
Задача 4. В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” говорится о
крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал
желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли
обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на
место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на
место и упал без чувств, обежав четырехугольник”. Выясните, сумел ли достичь
Пахом желаемого результата.( Для этого придется узнать, какое расстояние
пробежал крестьянин и какую площадь имеет полученный участок.)
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке. Что это за фигура?(Прямоугольная
трапеция)
Вопрос: Как вы думаете, наибольшую ли площадь получил Пахом. (с учетом того, что участки
обычно имеют форму четырехугольника)?
На доске имеется схема содержащая название раздела математики, занимающегося
решением задач оптимизации. В кружочках уже стоят нужные буквы, а остальные
фигуры должны заполнить учащиеся по окончании решения и проверки задач. У них
на столах лежат цветные фигуры, на одной стороне которых записаны буквенные
сочетания, а на другой - варианты ответов к задачам. На схеме над фигурами стоит
название цвета фигуры, которая должна заполнить данную клеточку: к – красный; с
– синий; ж – желтый. Учитель: Ребята, давайте узнаем, как же называется раздел
математики, который изучает задачи на оптимизацию?
В результате заполнения схемы на доске появляется название раздела математики –
линейное программирование.
V этап. Итог урока (7 мин.).
Подводя итог урока, учитель и учащиеся выясняют: на каком этапе учащиеся
испытывают наибольшие затруднения и на что они должны обратить внимание при
решении домашнего задания.
VI этап. Домашнее задание (5 мин.).
Учитель: Однажды в разговоре П. Л. Чебышев заметил: “В старину математические
задачи задавали боги, например, удвоение куба, по поводу изменения Делосского
жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги:
Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика”.
Поэтому домашнее задание следующее: вторую задачу (б) своего варианта (при
желании можно сделать задачу более сложного варианта). Творческое задание:
составить вместе с родителями и оформить решение в тетради задачи
оптимизации, с которой вам или вашим родителям пришлось столкнуться на
практике.
1 вариант . 1. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно,
что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ:12,12).
2. Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если
известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -18; 18).
3.Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот
прямоугольник имеет наибольшую площадь? (Ответ: 14; 14).
2 вариант. 1. Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их
произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -5; 5).
2. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы
сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.
(Ответ: 2; 1).
3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы
должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
(Ответ: 50; 50).
3 вариант. 1. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м.
Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была
наибольшей? (Ответ: 50; 50).
2. Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры,
чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? (Ответ: 4; 4).
3. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине
второго основания площадь трапеции будет наибольшей? (Ответ: 30).