ЛР Исследование функций - Орловский государственный

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
Лабораторная работа
«Исследование функций»
ОРЕЛ 2012
Теоретическая часть.
1. Понятие односторонних пределов.
2. Непрерывность функции.
3. Классификация точек разрыва.
4. Исследование функции на монотонность.
5. Исследование функции на экстремум.
6. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, перегиб.
7. Асимптоты графика функции.
8. Полная схема исследования функций.
Практическая часть.
1. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.
2. Исследовать функцию по полной схеме и построить её график.
3. Исследовать функцию по полной схеме и построить её график.
4. Задача.
Вариант 1.
x 1
1. y 
;
x 1
2 x
2. y  x e ;
2

x  1
3. y  2
;
x 1
4. В прямой круговой конус с углом 2 в осевом сечении и радиусом
основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
Вариант 2.
x 1
1. y  x 
;
x 1
1
2. y  e  x ;
x
x2
3. y 
;
x2
1. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной
вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
Вариант 3.
x
1. y 
;
x2
2. y  x x  1 ;
2
2
x4
3. y  x  ;
4
3
4. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.
Вариант 4.
1. y 
1
1 2
1
x
;
2. y  x  13 x  13 ;
2
3. y  x  2 ln x ;
4. Какое число (положительное), будучи сложено с обратным ему числом,
даем наименьшую сумму?
Вариант 5.
1. y  arctg
a
;
xa
2. y 2  x3  1 ;
3. y 
3 x
;
x2
4. Лодка находится на озере на расстоянии 3 километров от ближайшей
точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на
берегу
на
расстоянии
5
километров
от
А
(участок
АВ
считать
прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из
лодки, может в час пройти 5 километров. К какому пункту берега должна
пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?
Вариант 6.
1. y 
x3  x 2
;
2 x 1
2. y 
x
;
1  x 1  x 2
3. y  1  x 2 1  x3  ;
4. Найдите число, сумма которого с своим квадратом принимает наименьшее
значение.
Вариант 7.
1. y  2 
x
x
;
x2  1
2. y  2
;
x  5x  6

3. y  xe
x2
2
;
4. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением
наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения
бревна равен 20 см.
Вариант 8.
1
1
1. y  2
x2
;
2. y  e
x 2 4 x3
;
1
x
3. y  x  ;
4. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50
см
вписан
прямоугольник
наибольшей
площади.
Две
вершины
прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых
сторонах. Найдите длины сторон прямоугольника.
Вариант 9.
1
2. y  cos x  ln cos x ;
1. y  1  2 x ;
3. y 
x
x  1x  4
;
4. Два коридора шириной 2,4 метра и 1,6 метра пересекаются под прямым
углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести
горизонтально из одного коридора в другой.
Вариант 10.
1. y 
x3  x
;
2x
2
2. y  ln cos x ;
3. y  2 x  3x 3 ;
4. Сумма двух положительных чисел равна a. Каковы эти числа, если сумма
их кубов будет наименьшей?
Вариант 11.
1. y 
4  x2
4 x  x3
;
2. y  3 x 2  x ;
3. y 
1  x  x2
;
1  x  x2
4. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32
м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество
материала.
Вариант 12.
x 1
1. y  x 
;
x 1
2. y  x ln x ;
2
2

x  1
3. y 
;
x  12
4. Найдите число, сумма которого со своим квадратом принимает
наименьшее значение.
Вариант 13.
1. y 
x2
;
x 1
2. y  ln x 2  1 ;
3. y 
x  33 ;
x  22
4. Найти наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна S.
Вариант 14.
1. y 
1  4x
;
1  2x
2. y 
ex
;
x
3. y  2 
12
;
x 4
2
4. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.
Периметр сечения 18 метров. При каком радиусе полукруга площадь сечения
будет наибольшей?
Вариант 15.
1. y 
1
;
x  22
2. y 
x
;
ex
3. y  x 
4
;
x2
4. Каковы радиус основания R и высота H открытого цилиндрического бака
данного объема V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество
листового материала?
Вариант 16.
1. y 
1
;
1  x 2
3. y  1  2 x 2 
2. y  4 x3  9 x 2  6 x ;
x4
;
4
4. Даны точки А(0;3) и В(4;5). На оси Ох найти точку М так, чтобы
расстояние S=AM+MB было наименьшим.
Вариант 17.
1
1. y 
2x 1
1
;
2x 1
2

x  1
2. y 
;
x  13
3. y 
3 1
 ;
x x3
4. Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает
наименьшую сумму?
Вариант 18.
1 x
1. y 
;
1  x3
x3
2. y 
;
2
2x  1
3. y 2  xe x ;
4. Из углов прямоугольного листа картона размером 8x5 см2 нужно вырезать
одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям
получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона
вырезанного квадрата?
Вариант 19.
1. y 
x
;
1  x 2
2. y 
x3
;
3  x2
3. y 2  x  33 ;
4. Бревно длиной в 20 метров имеет форму усеченного конуса, диаметры
оснований которого равны соответственно 1 и 2 метрам. Требуется вырубить
из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала
бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны
быть размеры балки?
Вариант 20.
 x2  4
,x  2
1. f x    x  2
;
 A, x  2

2. y 
2x  1
;
x  12
3. y 
2x
;
1  x2
4. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см.
Какова должна быть высота воронки, чтобы её объем был наибольшим?
Вариант 21.
 x 2 ,0  x  1
1. f x   
;
2  x,1  x  2
2. y 
1
 4x2 ;
x
3. y 
1
2
 2;
4
x
x
4. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего
при данном объеме наименьшую полную поверхность.
Вариант 22.
 x, x  1
1. f x   
1, x  1
;
2. y 
x
;
x 1
2
3. y 
4 1

;
x x4
4. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме V каковы
должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность
была наименьшей?
Вариант 23.
 x
cos , x  1
1. f x    2
;
 x  1, x  1

2. y 
x2
;
x2  1
3. y  1  3 x  12 ;
4. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть
сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
Вариант 24.
e x , x  0
1. f x   
;
a  x, x  0
1
2. y 
;
1  x2
x3
3. y  2
;
x 3
4. Из углов квадратного листа картона размером 18х18 см2 нужно вырезать
одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям,
получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона
вырезаемого квадрата?
Вариант 25.
1. y 
x4
;
2x  4
2. y 
x
;
1  x2
3. y  33 x  12  2 x ;
4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72
см3, причем стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть
размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?