Exam_questions_1

1
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Математика». Первый курс
факультет ДФО вечернее отделение
1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Бесконечно малые
функции.
2. Признаки существования пределов: Теорема о пределе «зажатой» функции.
Теорема о пределе монотонной функции.
3. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
4. Сравнение бесконечно малых функций: определения и примеры.
5. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно
малых функций.
6. Две теоремы об эквивалентных бесконечно малых, о замене бесконечно малого
множителя; о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о сумме
бесконечно малых разных порядков. Главная часть суммы.
7. Два определения непрерывности функции в точке. Непрерывность функции справа
и слева. Теорема о связи непрерывности функции в точке с существованием ее
непрерывности справа и слева.
8. Точки разрыва функций и их классификация. Привести примеры.
9. Свойства непрерывных функций: сумма, произведение, частное непрерывных
функций; ограниченность и сохранение знака непрерывной функции.
Непрерывность обратной функции. Непрерывность сложной функции.
Непрерывность основных элементарных функций.
10. Функции непрерывные на отрезке.
11. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.
Односторонние производные. Связь существования производной функции с
существованием односторонних производных.
12. Теорема о связи дифференцируемости функции с ее непрерывностью. Примеры.
13. Правила нахождения производной.
14. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица
производных.
dy
15. Дифференцирование функции, заданной неявно; найти
, если x 3  y 3  3xy  0 .
dx
dy
Дифференцирование функции, заданной параметрически; найти
, если
dx
x  t3, y  t 2 .
16. Определение дифференцируемости функции. Определение дифференциала
функции. Теорема о связи дифференцируемости функции в точке и существования
производной. Геометрический смысл дифференциала.
17. Правила
для
вычисления
дифференциала.
Таблица
дифференциалов.
Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
18. Теорема Ферма. Геометрическая интерпретация.
19. Теорема Ролля. Геометрическая интерпретация.
20. Теорема Коши.
21. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
0
22. Первое правило Лопиталя (раскрытие неопределенности вида ). Второе правило
0

Лопиталя (раскрытие неопределенности вида ).

23. Многочлен Тейлора данной функции. Остаточный член формулы Тейлора.
24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена.
2
25. Разложение функций e x , sin x, cos x по формуле Маклорена.
26. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций.
27. Определение точек максимума и минимума функции. Необходимое условие
существования экстремума функции; дать пример функции, у которой производная
в некоторой точке равна нулю, а эта точка – не экстремум. Критические точки
функции.
28. Первое достаточное условие экстремума функции.
29. Определения выпуклостей графика функции. Достаточное условие существования
выпуклостей функции (по знаку второй производной).
30. Определение точки перегиба графика функции. Достаточное условие
существования точек перегиба.
31. Определение вертикальной асимптоты графика функции. Определение наклонной
асимптоты графика функции. Горизонтальная асимптота графика функции.
Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты
функции.
32. Определение первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных
данной функции. Определение неопределенного интеграла от данной функции.
Теорема о существовании неопределенного интеграла.
33. Основные свойства неопределенного интеграла. Дать пример интегрирования,
используя инвариантность формулы интегрирования.
34. Таблица основных неопределенных интегралов.
35. Основные методы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям.
xdx
Найти  x x 2  3dx и  2 .
sin x
36. Интегральная сумма – понятие и геометрический смысл. Понятие определенного
интеграла. Теорема об интегрируемости функции на отрезке.
37. Формула Ньютона – Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.
38. Основные методы вычисления определенного интеграла: замена переменной;
2
интегрирование по частям. Найти
x
0
e
4  x dx и  x ln xdx .
2
1
39. Приложения определенного интеграла.
40. Векторы. Линейные операции над векторами.
41. Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Координаты вектора относительно
базиса. Правый и левый базисы. Декартова прямоугольная система координат.
42. Проекция вектора на ось. Угол между вектором и осью. Свойства проекций.
43. Формула разложения вектора по ортам прямоугольная система координат. Длина
вектора. Направляющие косинусы вектора.
44. Действия над векторами, заданными своими проекциями. Условие коллинеарности
двух векторов.
45. Скалярное произведение векторов, его свойства. Скалярное произведение в
координатном виде. Вычисление угла между векторами и проекции вектора на
заданное направление.
46. Векторное произведение векторов. Геометрическая интерпретация, свойства.
Векторное произведение через координаты векторов.
47. Смешанное произведение векторов. Геометрическая интерпретация, свойства.
Смешанное произведение векторов через координаты векторов.
48. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
направлению. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.
49. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в
отрезках.
3
50. Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности
плоскостей.
51. Расстояние от точки до плоскости.
52. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение
прямой, проходящей через две точки.
53. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
Условие принадлежности двух прямых плоскости.
54. Угол между прямой и плоскостью. Условия перпендикулярности и параллельности
прямой и плоскости.
55. Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости.
56. Каноническое уравнение окружности. Рисунок.
57. Эллипс. Каноническое уравнение. Рисунок. Его фокусы, полуоси, эксцентриситет,
фокальные радиусы, директрисы.
58. Гипербола. Каноническое уравнение. Рисунок. Его фокусы, полуоси,
эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы, асимптоты.
59. Парабола. Каноническое уравнение. Рисунок. Ее фокус, фокальный параметр,
эксцентриситет, фокальный радиус, директриса.
60. Цилиндрические поверхности (эллиптические, гиперболические, параболические).
Рисунки.
61. Коническая поверхность. Каноническое уравнение конуса второго порядка
Рисунки.
62. Эллипсоид, его рисунок.
63. Однополостный гиперболоид, его рисунок.
64. Двуполостный гиперболоид, его рисунок.
65. Эллиптический параболоид, его рисунок. Подвижная и неподвижная параболы.
66. Гиперболический параболоид, его рисунок. Подвижная и неподвижная параболы.
67. Матрицы. Действия над матрицами (сумма и разность матриц, умножение матрицы
на число, умножение матриц). Примеры.
68. Определители.
Свойства
определителей
(при
перестановке
строк,
транспонировании, при сложении двух его строк). Примеры.
69. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Свойства обратной матрицы. Найти
3 2 2


обратную матрицу к A   1 3 1  .
5 3 4


70. Ранг матрицы. Элементарные преобразования при вычислении ранга матрицы.
Преобразование матрицы к ступенчатому виду для определения ее ранга. Найти
 2 3 1 2


ранг матрицы A   0 2  1 1  .
4 0 5 1


71. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), основные понятия.
72. Решение СЛАУ методом Гаусса. Решить конкретную систему уравнений.
73. Решение квадратной СЛАУ методом обратной матрицы и по формулам Крамера.
2 x1  x2  0,
Решить систему
x1  3 x2  7.
74. Теорема Кронекера – Капелли. Условия определенности и неопределенности
СЛАУ.
75. Системы линейных однородных уравнений. Условие существования ненулевых
решений. Условие существования ненулевых решений для квадратной системы
линейных однородных уравнений.