Элементы операционного исчисления. Файл

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекция 1.Преобразование Лапласа
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
Единственность оригинала.
3 Свойства преобразования Лапласа.
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
Пусть f t  – комплекснозначная функция действительного переменного t , определенная на
интервале    t   .
О п р е д е л е н и е 1 . Любая комплекснозначная функция f t  называется оригиналом, если
она удовлетворяет условиям:
1) f t   0 при t  0 ;
2) при t  0 функция f t  кусочно-непрерывна, т.е. на любом конечном участке оси t имеет не
более чем конечное число точек разрыва первого рода;
3) при t   функция f t  имеет ограниченную степень роста, т. е. существует такое
положительное постоянное M и такое неотрицательное постоянное s0 , что для всех t  0
выполняется неравенство f t   M  e s0t , M  0 , s0  0 . Число s0 называется показателем роста
функции f t  .
Свойства оригиналов
1. Если f t  — оригинал с показателем роста s0 , то f t  является оригиналом с тем же
показателем роста.
2. Если f1 t  , f 2 t  , ... , f n t  – оригиналы с показателями роста s1 , s 2 , ... , s n , то функция
f t   c1 f1 t   c2 f 2 t   cn f n t  ,
где c1 , c 2 , ... , c n – постоянные (действительные или комплексные), является также оригиналом с
показателем роста s0 , равным наибольшему из чисел s1 , s 2 , ... , s n :
s0 = max  s1 , s2 ,..., sn .
– оригинал с показателем роста s0 , то являются оригиналами следующие
3. Если f t 
функции:
– функция f1 t   f   t  ,   0 , имеющая показатель роста, равный   s0 ;
– функция f 2 t   e  t f t  (  — действительное или комплексное число), показатель роста
которой равен
s0  Re  , если s0  Re   0,
s
0, если s0  Re   0.
0, если t   ,
– функция f 3 t   
,   0 , имеющая показатель роста, равный s0 ;
 f t   , если t   .
– функция f 4 t   t z  f t  , ( z — действительное или комплексное число), показатель роста
которой равен s0 .
t
4. Если f t  — оригинал с показателем роста s0 , то функция g t    f z dz на интервале
0
0  t   является непрерывным оригиналом с показателем роста s 0 .
Пример. Функция
304
1 при t  0,
0 при t  0
 t   
называется единичной функцией Хевисайда. Функция  t  является оригиналом с показателем
роста s0  0 .
Пусть функция f t  определена на интервале    t   ; и удовлетворяет условиям 2) и 3)
определения 1, но f t   0 при t  0 . Тогда функция
 f t  при t  0,
является оригиналом.
f t  t   
0 при t  0
Пример. Найти показатель роста функции f t   e at , где a – действительное или комплексное
число.
Р е ш е н и е . Если Re a  0 , то для функции f t   e a t показатель ее роста s0  Re a  0 . Если
Re a  0 , то функция e a t является ограниченной и s0  0 .
Определение
2 . Изображением (интегралом Лапласа) оригинала
f t  называется
несобственный интеграл

F  p    f t e  pt dt , зависящий от комплексного параметра p .
0
О п р е д е л е н и е 3 . Преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала
f t  к изображению F  p  .
Соответствие между оригиналом f t  и изображением F  p  записывается в виде f t   F  p  .
Пусть функция f t  является оригиналом с показателем роста s0  0 .
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения.
Единственность оригинала.
Теорема 1 (существование изображения). Для любого оригинала f t  изображение F  p 
существует в полуплоскости Re p  u  s0 , где s0 – показатель роста функции f t  , причем
функция F  p  является аналитической в этой полуплоскости.
►Пусть p  u  iv , произвольная точка полуплоскости Re p  u  s0 . Учитывая, что
f t   M  e s0t , u  s0  0 ,
e  pt  e ut  e ivt  e ut  cos vt  i sin vt  e ut ,
имеем

 f t   e
0
 pt

dt   f t   e
 pt

dt  M   e  e
s0 t
0
 pt
dt  M   e s0t  e ut dt 
0

0
 M   e t u  s0 dt 
0

M
.
u  s0
Таким образом,
F  p 

 f t   e
0
 pt
dt 
M
.
us
Отсюда на основании признака сравнения сходимости несобственных интегралов следует
абсолютная сходимость интеграла Лапласа. Значит, изображение F  p  существует и однозначно в
полуплоскости Re p  u  s0 .◄
Теорема 2 (необходимый признак существования изображения). Если функция F  p 
является изображением функции f t  , то lim F  p   0 .
Re p 
305
►
Справедливость

 f t   e
0
 pt
dt 
данной
теоремы
непосредственно
вытекает
из
неравенства
M
.◄
u  s0
Теорема 3 (единственность оригинала). Если функции F  p  и   p  совпадают, то
совпадают между собой и соответствующие оригиналы f t  и  t  во всех точках, в которых
они непрерывны.
Без доказательства.
Пример. Найти изображения функций
1 при t  0,
1) единичной функцией Хевисайда  t   
0 при t  0,
2) f t   e at , где a – действительное или комплексное число.

Р е ш е н и е . 1. По формуле F  p    f t e  pt dt при u  Re p  0 находим
0
 1
F  p   1  e  pt dt  lim 1  e  pt dt  lim    e  pt
N 
N  
p
0
0

1
Итак,  t   .
p

N
N
0
 1
 .
 p


2. По формуле F  p    f t e  pt dt при Re  p  a   0 имеем
0

F  p   e  e
at
 pt
N
dt  lim
N 
0
e
0
  p  a t
 1
dt   lim 
e  p  a t
N  p  a

N
0




 1
e   p  a N 
1

 lim 

.

N  p  a
pa  pa

1
at
Итак, e 
при Re p  Re a .
pa
1
Замечание. Функция F  p  
является аналитической не только в полуплоскости
pa
Re p  Re a , но и на всей комплексной плоскости, кроме точки p  a . Такая особенность
наблюдается и для многих изображений.
3. Свойства преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами.
1 (линейность). Линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация
изображений, т.е. если f1 t   F1  p  и f 2 t   F2  p  и c1 , c 2 – постоянные числа, то
c1 f1 t   c2 f 2 t   c1F1  p   c2 F2  p  .
► Находим изображение для функции c1 f1 t   c2 f 2 t  :

c1 f1 t   c2 f 2 t    c1 f1 t   c2 f 2 t  e  pt dt 
0


0
0
 c1  f1 t   e  pt dt  c2  f 2 t   e  pt dt  c1F1  p   c2 F2  p  . ◄
2 (подобие). Если f t   F  p  и   0 , то
306
f t  
► Находим изображение для функции f t 
 p
 F  .
 
1
замена y  t , 
p


 y
1
 dy  1 F  p  .◄



f t    f t   e  pt dt   y

f
y

e
t  , dt  1 dy  
   
0
0
 

 
3 (запаздывание). Если f t   F  p  и   0 , то f t     e p  F  p  .
► Находим изображение для функции f t   

f t     
0
замена y  t   , 
t  y   , dt  dy, 
  f  y   e  p  y  dy 
f t     e  pt dt  
t  0  y   ,  


t    y  . 


0
0
  f  y   e  p y e  p dy  e  p   f  y   e  p dy  e  p  F  p  .◄
Графики функций f t  и f t    имеют одинаковый вид, но график f t    сдвинут на 
единиц вправо. Это означает, что процесс, описываемый функцией f t    , начинается с
опозданием на время  относительно процесса, описываемого функцией f t  (рис.1).
Рис.1.
4 (опережение). Если f t   F  p  , то



f t     e p  F  p    f t e  pt dt  .


0
► Находим изображение для функции f t   

f t     
0
замена y  t   , 
t  y   , dt  dy, 
 pt
  f  y e  p  y  dy 


f t    e dt  
t  0  y   ,  


t    y  . 






p
 py
 py


 e  f  y   e dy  f  y   e dy  e   F  p   f  y   e py dy  . ◄


0


0
0

Графики функций f t  и f t    изображены на рисунке 2.
p



Рис.2.
307
5 (изображение периодической функции). Если оригинал
f t  имеет период T , т.е.
f t  T   f t  , то она может быть представлена в виде сходящегося ряда

 f t  при 0  t  T ,
f t    f 0 t  nT  , где f 0 t   
0 при t  0 и t  T .
n 0

 f 0 t  nt   F0  p   1  e pT .
Тогда
1
n 0
► На основании теоремы запаздывания, имеем
f 0 t  T   e  pT F0  p  ,
f 0 t  2T   e 2 pT F0  p  ,
............................................ ,
f 0 t  nT   e  npT F0  p  ,
где F0  p  – изображение функции f t  на начальном периоде.
Поэтому при достаточно больших p , Re p  s0



n 0
n 0
n 0
f t    f 0 t  nt   F  p    e  npT F0  p   F0  p  e  npT  F0  p  
1
◄.
1  e pT
Пример. Найти изображение  -периодичной функции
f t   sin t
при 0  t   , график которой представлен на рисунке 3.
Рис.3.
Р е ш е н и е . Учитывая предыдущий пример, имеем

1
1
e  pt  p sin t  cos t 
 pt

sin
t

e
dt



1  e   p 0
1  e   p
p2 1
0

sin t 

1  e  p
.
1  e  p  p 2  1



6 (затухание (смещение)). Если f t   F  p  и a – постоянное число, то
eat  f t   F  p  a  .
► Находим изображение для функции e at  f t 

e  f t    e  f t   e
at
at
0
при Re  p  a   s0 .◄
 pt

dt   f t   e   p  a t dt  F  p  a 
0
7 (дифференцирование оригинала). Если
являются оригиналами, то
f t   p  F  p   f 0 ,
f t   F  p  и функции
f t   p 2  F  p   p  f 0  f 0 ,
f t   p3  F  p   p 2  f 0  p  f 0  f 0 ,
..........................................................................,
f n  t   p n  F  p   p n 1  f 0    f n 1 0 .
308
f t  ,
f t  ,…,
f n  t 
► Находим изображение для функции f t 

f t    f t   e
0
 pt
интегрируе м по частям



dt  u  e  pt , dv  f t dt,   f t e  pt 
0
du   p  e  pt dt, v  f t  



 p  f t e  pt dt   f 0  p  F  p  .
0
Находим изображение для функции f t  , используя пункт 1:

f t    f t   p   p  F  p   f 0  f 0  p 2 F  p   pf 0  f 0 .
Аналогично находятся изображения производных 3-го, 4-го и т.д. порядков.◄
8 (дифференцирование изображения). Если f t   F  p  , то
F '  p   t  f t  ,
F ' '  p   t 2  f t  ,т
............................................ ,
n
F n   p    1  t n  f t  .
► Изображение F  p  согласно теореме 1 является аналитической функцией в полуплоскости
Re p  u  s0 . Следовательно, у нее существуют производные любого порядка. Функции
1n  t n  f t 
являются оригиналами с показателями роста s0 . Поэтому
 1n  t n  f t   M  es t ,
1
где s1  s0 .
n
Тогда получаем  1  t n  f t   e  pt  M  e u s1 t  M  e s2 s1 t , где s2  s1  s0 , Re p  u  s2 .

Так как интеграл
  s  s t
 Me 2 1 dt существует, несобственный интеграл
0

  1
n
 t n  f t   e  pt dt
0
равномерно сходится относительно p в полуплоскости Re p  u  s2  s0 . Тогда возможно
дифференцирование под знаком несобственных интегралов и



 

 pt


F '  p    f t   e dt   f t   e  pt dt   f t    t   e  pt dt 


0
0
 0



   t  f t   e  pt dt  t  f t  ,
0

F ' '  p   F '  p   t   t  f t   t 2  f t  и так далее. ◄
9 (изображение оригинала (интегрирование оригинала). Если f t   F  p  , то
t
 f z dz  p F  p  .
1
0
t
► По свойству 4 оригиналов имеем, что функция  t    f z dz является оригиналом с
0
показателем роста s0 и  0   0 .
Так как  ' t   f t  , то  ' t  также оригинал с показателем роста s0 . Пусть  t    p  .
Используя свойство изображения производной оригинала, имеем f t   p   p  . Так как
f t   F  p  , то F  p   p   p  .
1
Отсюда  p   F  p 
p
309
t
или
 f z dz  p F  p  , при Re p  u  s
1
0
.◄
0
Следствие. Пусть f t  – непрерывный оригинал на интервале 0  t   , f t   F  p  и

существует
несобственный
 f t dt .
интеграл
Тогда
имеет
место
соотношение
0

F  p .
 f t dt  lim
p 0
0
10 (интегрирование изображения). Если f t   F  p  и интеграл

 F  d
сходится, то
p

 F  d 
p
f t 
.
t
► Имеем
 




 f t   e   t dt  d   e   t d   f t  dt 


F

d









p
p 0
0







1
f t   pt
     e   t   f t  dt  
 e dt .◄
 t

t
p
0
0

Следствие. Пусть
f t 
1)
– оригинал непрерывный на 0  t   ,
t
2) f t   F  p  ,

3) несобственный интеграл

0
f t 
dt сходится.
t

Тогда имеет место равенство

0
f t 
dt   F x dx .
t
0

Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение оригинала и перечислите их свойства.
2. Что называется изображением? Перечислите свойства изображений.
3. Дайте определение преобразования Лапласа. Перечислите свойства преобразования Лапласа.
310
Лекция 2. Обратное преобразование Лапласа.
1 Теоремы разложения.
2 Определение обратного преобразования Лапласа. Формула Римана-Меллина.
3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
4 Таблица оригиналов и их изображений.
1 Теоремы разложения.
Теорема 1 (умножение изображений). Если f1 t   F1  p  , Re p  s0' , и f 2 t   F2  p  , Re p  s0'' ,
то

t

F1  p   F2  p    f1    f 2 t    d , Re p  max s0' , s0'' .
0
t
► Шаг 1. Докажем, что функция  t    f1    f 2 t    d является оригиналом.
0


Условия 1) и 2) очевидны. Возьмем s0  max s0' , s0'' и M  max M 1 , M 2  .
Тогда
f1 t   M 1 e s0t  M e s0t и f 2 t   M 2 e s0t  M e s0t .
'
''
Следовательно,
 t  
t

t
t
0
0
f1    f 2 t   d   f1    f 2 t    d  M 2  e s0 t e s0 t  d   M 2te s 0 t .
0
Так как при любом малом   0 справедливо lim
t 
интервале 0  t   , т.е.
Тогда  t   M te
2
s0t
t
t
 0 , то функция g t    t ограничена на
t
e
e
t
t
 A . Отсюда t  A  e .
t
e
 AM e
2
 s 0   t
t
. При   0 имеем, что функция  t    f1    f 2 t    d
0
имеет ограниченный рост, показатель которого равен s0 .
t
Шаг 2. Докажем формулу F1  p   F2  p    f1    f 2 t    d .
0
Используя преобразование Лапласа, можно записать

t
t
 t

  pt
 pt


 f1  f 2 t   d     f1   f 2 t   d   e dt  0 e dt 0 f1    f 2  t    d .
0
00

Область S интегрирования данного двойного интеграла определяется условиями 0  t   и
0   t .
Изменяя порядок интегрирования и полагая y  t   (рис.1),
Рис.1.
311
получим
t

f1   f 2 t   d 
0




f1  d e  pt f 2 t   dt 

0


f1   e  p d f 2  y  e  py dy  F1  p F2  p  .◄

0
0
t
О п р е д е л е н и е 1 . Функция вида
 f1   f 2 t   d
называется сверткой функций f1 t  и
0
f 2 t  .
Обозначается: f1 t  * f 2 t  , т.е.
t
f1 t  * f 2 t    f1    f 2 t    d .
0
Положим y  t   . Тогда
 y  t   ,
f1 t  * f 2 t    f1    f 2 t    d  
    f1 t  y   f 2  y  dy    f 2  y   f1 t  y  dy .
  t  y. 
0
t
0
Видно, что свертка обладает свойством коммутативности.
Учитывая понятие свертки, теорему умножения можно записать в виде
f1 t  * f 2 t   F1  p   F2  p  .
t
0
t
Следствие (формула Дюамеля). Пусть f1 t  и f 2 t  – оригиналы, f1 t   F1  p  , Re p  s0' , и
f 2 t   F2  p  , Re p  s0'' , причем f 2' t  также является оригиналом. Тогда имеет место равенство
t
p  F1  p   F2  p    f1    f 2' t    d  f1 t   f 2 0 ,

где Re p  max
s0' , s0''
0
.
►Запишем произведение p  F1  p   F2  p  в виде
p  F1  p   F2  p   p  F1  p   F2  p   f 2 0  F1  p   f 2 0  F1  p  .
Отсюда p  F1  p   F2  p   F1  p    p  F2  p   f 2 0  f 2 0  F1  p  .
Первое слагаемое есть произведение изображений, соответствующих оригиналам f 2' t  и f1 t  .
Используя свойства умножения изображений и линейности, можно записать
p  F1  p   F2  p   f1' t   f 2 t   f1 t   f 2 0 .
t
Тогда p  F1  p   F2  p    f1    f 2' t    d  f1 t   f 2 0 .◄
0
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению F  p  
2 p2
p
2

1
2
.
Р е ш е н и е . Поскольку
2 p2
p

2
 2p
1
1
 sin t ,
p2  1
то на основании формулы Дюамеля имеем
2
1
p
 2
,
p 1 p 1
2
p
 cos t ,
p 1
2
t
2p
1
p
 2
 2 cos  cost   d  0  t cos t  sin t .
2
p 1 p 1
0
Теорема 2 (1-я теорема разложения). Если функция F  p  в окрестности точки p  
может быть представлена в виде ряда Лорана

c
c
c
c
F  p    kk1  0  12  23  ... ,
p p
p
k 0 p
312
то
функция

f t    ck 
k 0
изображение F  p  :
tk
t2
 c0  c1t  c2   ... ,
k!
2!

F  p  
k 0
t  0,
является
оригиналом,
имеющим

tk
ck
c



 k k!  f t  .
p k 1 k 0
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал f t  , если F  p  
p
.
p 1
Р е ш е н и е . Запишем разложение в ряд Лорана функции данной в окрестности точки p   :
F  p 
p

p 1
p

1

p
2
 1

  2  1 p  1 
 1 
p

1    2  
p


1

1 
p 2 1  2 
p 

 1 1
1 
1
1
1
  1  2  4  ...   3  5  ... .
p 
p
p
p
 p p
Следовательно,
t2 t4
f t   1    ...  cos t при t  0 .
2! 4!
2
Теорема 3 (2-я теорема разложения). Если F  p  
P p 
– рациональная правильная
Q p 
несократимая дробь, знаменатель которой Q p  имеет лишь простые корни p1 , p 2 , ... , p n , то
функция
n
P p 
f t    ' k  e p k t
k 1 Q  pk 
является оригиналом, имеющим изображение F  p  .
P p 
► Разложим правильную рациональную дробь
на простейшие:
Q p 
cn
c1
c2
P p 
,


 ... 
Q p  p  p1 p  p2
p  pn
где ck , k  1,2,.., n , – неопределенные коэффициенты.
Для определения коэффициента c1 умножим обе части этого разложения на  p  p1  :
 c
cn 
P p 
   p  p1  .
  p  p1   c1   2  ... 
Q p 
p

p
p

p
2
n 

Переходя в этом равенстве к пределу при p  p1 , получим
c1  lim
p  p1
P p 
P p 
P p 
0
  p  p1      lim
 ' 1 .
p

p




Q
p

Q
p
Q p 
1
Q  p1 
1
0
p  p1
Аналогично находятся коэффициенты ck , k  2,3.., n .
P p 
, имеем
Q p 
P p 
P p 
P p  P p1 
1
1
1
.
 '

 ' 2 
 ...  ' n 
Q p  Q  p1  p  p1 Q  p2  p  p2
Q  pn  p  p n
Подставляя найденные значения в разложение функции
Известно, что
1
 e pk t , k  1,2,.., n . На основании свойства линейности получим
p  pk
313
n
n
P p 
P p 
1
P p 
 ' k 
  ' k  e pk t  f t  . ◄
p

p
Q p  k 1 Q  pk 
k 1 Q  pk 
k
P p 
Замечания. 1. Дробь
должна быть правильной. В противном случае не выполняется
Q p 
необходимый признак существования изображения lim F  p   0 .
F  p 
p 
2. Видно, что коэффициенты ck , k  1,2,.., n определяются как вычеты комплексной функции
F  p  в простых полюсах
P p 
P p 
.
ck  lim '
 Res
p  pk Q  p 
p  p k Q p 
Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.
P p 
Теорема 4 (3-я теорема разложения). Если F  p  
– рациональная правильная
Q p 
несократимая дробь, p1 , p 2 , ... , p n – простые или кратные полюсы знаменателя Q p  , то
оригинал f t  , соответствующий изображению F  p  , определяется формулой
F  p 
P p 

Q p 
 P p 
n

 e pt   f t  .
 Res

p  p Q p 


k 1
k
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал f t  функции F  p  
p 1
.
 p  1 p 2  4


Решение. Функция F  p  правильная рациональная несократимая дробь. Корни знаменателя

Q p    p  1 p 2  4

есть
p1  1 ,
Очевидно, что Q p   3 p  2 p  4 .
Тогда для p1  1 имеем
p2  2i ,
p3  2i . Применим 2-ю теорему разложения.
2
P p 
p 1
 2
'
Q  p  p  1 3 p  2 p  4
1

p1  1
2
,
5
для p2  2i имеем
P p 
Q'  p p

2  2 i
p 1
3p  2 p  4

2
p2  2 i
 1  2i 1  2i 4  3i
,


 8  4i 8  4i
20
для p3  2i имеем
P p 
Q'  p p

3  2i
p 1
3p  2 p  4

2
p3  2 i
 1  2i 1  2i 4  3i
.


 8  4i 8  4i
20
В итоге получим
 2 t 4  3i  2it 4  3i 2it  2 t 2
3
f t  
e 
e 
e 
e  cos 2t  sin 2t .
5
20
20
5
5
10
2 Формула Римана-Меллина .
Теорема 5 (формула Римана-Меллина). Пусть функция f t  является оригиналом и имеет
показатель роста s0 , а F  p  – ее изображением. Тогда в любой точке t , где оригинал f t 
непрерывен, справедлива формула Римана-Меллина
f t  
u  i
F  p e pt dp ,
2 i u i
причем интегрирование производится вдоль любой прямой, интеграл понимается в смысле
главного значения.
Без доказательства.
1
314
О п р е д е л е н и е 2 . Формула Римана-Меллина
f t  
u  i
F  p e pt dp
2 i u i
1

является обратной к формуле F  p    f t e  pt dt и называется обратным преобразованием
0
Лапласа.
Теорема 6. Пусть F  p  – функция комплексного переменного p , обладающая следующими
свойствами:
1) функция F  p  , первоначально заданная в полуплоскости Re p  u  s0 и удовлетворяющая в
ней условиям:
а) F  p  – аналитическая функция в полуплоскости Re p  u  s0 ,
б) в области Re p  u  s0 функция F  p  стремится к нулю при p   равномерно
относительно arg  p  s0  ;
в) для всех Re p  u , u  s0 , сходится несобственный интеграл
u  i
 F  p  dp  M ,
u  i
где M – некоторое положительное число, может быть аналитически продолжена на всю
комплексную плоскость C p ;
2) аналитическое продолжение функции F  p  в полуплоскость Re p  s0 удовлетворяет
условиям леммы Жордана. Тогда имеет место следующее соотношение
f t  
1
u  i
n


pt
pt
 F  p e dp   Res F  p  e ,
2 i u  i
k 1
p  pk
где t  0 и p  pk – особые точки (полюсы, существенно особые точки) функции, являющейся
аналитическим продолжением F  p  в полуплоскость Re p  s0 , k  1,2,, n .
Без доказательства.
Пример. Найти оригинал f t  функции F  p  

.
p  2
Р е ш е н и е . Аналитическим продолжением функции F  p  в левую полуплоскость Re p  s0
является функция
2

, удовлетворяющая условиям леммы Жордана и имеющая две особые
p  2
точки – полюсы первого порядка p1  i и p2  i . Поэтому при Re p  u  0 и t  0 имеем
f t  

1
u  i
2 i u i
2
n
 

pt
e
dp

Res  2
e pt  

2
2
2
p  pk p  
p 
k 1



 e i t  e  i  t

 sin  t .
2i
2i
3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
Постановка задачи: Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами
a0 y n   a1 y n1  ...  an y  f t  ,
удовлетворяющее начальным условиям Коши
y 0   c0 , y ' 0  c1 , ... , y n 1 0  cn 1 ,
315
где c0 , c1 , ... , cn 1 – заданные числа, функция y t  вместе с ее рассматриваемыми производными и
функция f t  являются оригиналами.
Р е ш е н и е . Пусть y t   Y  p  , f t   F  p  . Пользуясь свойствами дифференцирования
оригинала и линейности, перейдем от оригиналов к изображениям:
a0 p nY  p n1c0  p n2 c1  ...  cn1  a1 p n1Y  p n2c0  ...  cn2  ...   an 1  pY  c0   anY  F
Разрешая это операторное уравнение относительно Y  p  , получим:

 
a p  a p  ...  a Y 
 c a p  a p  ...  a   c a p
n 1
n
0
1
n 1
0

n
n2
0
n 1
1
1
Положим
Qn  p   a0 p n  a1 p n1  ...  an ,

0
n2

 a1 p n3  ...  an 2  ...   cn 1a0  F .
 

 ...  cn1a0 .
Rn1  p   c0 a0 p n1  a1 p n 2  ...  an1  c1 a0 p n2  a1 p n3  ...  an2 
F  p   Rn 1  p 
Тогда Y  p  
.
Qn  p 
Полученное решение называется операторным решением искомого дифференциального
уравнения.
Определяя оригинал y t  , соответствующий найденному изображению Y  p  , получаем
искомое решение.
Замечания. 1.Полученное решение y t  во многих случаях оказывается справедливым при
всех t  R , а не только при t  0 .
2. При нулевых начальных условиях решение операторного уравнения примет вид
F  p
.
Y  p 
Qn  p 
Пример. Решить уравнение y '''  y ''  6 y '  0 при начальных условиях y 0   15 , y ' 0  2 ,
y '' 0  56 .
Р е ш е н и е . Имеем y t   Y  p  . Тогда
y t   p  Y  p   y 0  pY  p   15 ,
y ' t   p 2  Y  p   p  y0  y ' 0  p 2Y  p   15 p  2 ,
y ''' t   p3  F  p   p 2  y0  p  y ' 0  f 0  p F  p   15 p  2 p  56 .
3
2
Подставляя в дифференциальное уравнение и преобразовывая, получим
5
4
15 p 2  p  6  2 p  1  56 15 p 2  13 p  36 6
.
Y  p 

 

3
2
p p  2 p  3
p  p 6p
p p  2 p 3
По таблице оригиналов находим
1
1
1
 e 2t ,
 e 3t .
 1 ,
p2
p 3
p
Тогда получаем
yt   6  5 e 2t  4 e3t .
ПРИМЕНЕНИЕ
ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
К
РЕШЕНИЮ
СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Постановка задачи. Требуется найти решение системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
y1'  a11 y1  ...  a1n yn  f1 t  ,


y '2  a21 y1  ...  a2n yn  f 2 t  ,
.......................................... ,
yn'  an1 y1  ...  ann yn  f n t  .
удовлетворяющее начальным условиям Коши
y1 0  c1 , y2 0  c2 , ... , yn 0  cn ,
316
где c0 , c1 , ... , cn 1 – заданные числа, функции y1 t  , y2 t  , ... , yn t  вместе со своими первыми
производными и функции f1 t  , f 2 t  , ... , f n t  являются оригиналами.
Р е ш е н и е . Пусть yk t   Yk  p  , f k t   Fk  p  , k  1,2,..., n . Применяя преобразование Лапласа
к каждому уравнению системы и учитывая правила дифференцирования оригинала, получим
pY1  c1  a11Y1  ...  a1nYn  F1 t  ,
pY2  c2  a21Y1  ...  a2 nYn  F2 t  ,
.......................................... ,
pYn  cn  an1Y1  ...  annYn  Fn t  ,
или
 p  a11 Y1  a12Y2 ...  a1nYn  c1  F1 t  ,
a21Y1   p  a21 Y1  ...  a2 nYn  c2  F2 t  ,
...........................................................,
an1Y1  an 2Y2  ...   p  ann Yn  cn  Fn t  .
Данная система называется системой операторных уравнений.
Пусть
a11  p
a12
...
a1n
a21
a22  p ...
a2 n

...
...
...
...
an1
an 2
... ann  p
есть определитель системы операторных уравнений и  km – алгебраические дополнения
элементов, находящихся на пересечении k -1 строки и m -го столбца. Если определитель   0 , то
применяя правило Крамера, получим
n
Yk  p  
 Fi  p   ci  km
i 1
, k  1,2,..., n .

Для нахождения решения исходной системы определяются оригиналы, соответствующие
полученным изображениям.
Если определитель   0 , то система операторных уравнений решения не имеет,
следовательно, и исходная система не имеет решения.
Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений
y '  2 y  4 z  cos t ,
z '  y  2 z  sin t ,
удовлетворяющее начальным условиям y 0   0 и z 0  0 .
Р е ш е н и е . Пусть y t   Y  p  и z t   Z  p  . Применяя преобразование Лапласа к данной
системе, получим систему операторных уравнений
p

 2  p Y  4Z  p 2  1 ,


Y  2  p Z  1 .

p2 1
Определитель данной системы
2 p 4

 p2 .
1
2 p
Тогда решение относительно изображений есть
p2  2 p  4 4
2 2p 3
Y  p  2 2
 2  2
,
p p 1
p p 1
p
2
2
2
.
Z  p   2 2
 2  2
p p 1
p
p 1




317
Переходя от найденных изображений к оригиналам, получим при t  0
y t   4t  2  2 cos t  3 sin t ,
z t   2t  2 sin t .
При помощи операционного исчисления можно находить решения линейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнениями в частных
производных, уравнений в конечных разностях, проводить суммирование рядов. Вычислять
интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.
4 Таблица оригиналов и их изображений
В таблице 1 приведены изображения некоторых функций (оригиналов).
Таблица 1
№
1
Оригинал
1
Изображение
1
p
2
e at
1
pa
3
t
1
p2
4
sin wt
w
p  w2
p
2
p  w2
w
2
p  w2
p
2
p  w2
w
 p  a 2  w2
2
5
cos wt
6
sh wt
7
ch wt
8
e at  sin wt
9
e at  cos wt
10
11
w
 p  a 2  w2
pa
e at  ch wt
t n , n – целое число
13
e at  t n
14
t  sin wt
16
 p  a 2  w2
e at  sh wt
12
15
pa
 p  a 2  w2
n!
p n 1
n!
( p  a) n1
2 wp
p
t  cos wt
2
 w2

2
p 2  w2
t  sh wt
318
p
2
p
2
 w2
2 wp
 w2

2

2
17
t  ch wt
p 2  w2
p
18
e at  t  sin wt

2
 w2
2w p  a 
2
 p  a
2
e at  t  cos wt
20
1
sin wt  wt cos wt 
2 w3
p
2
1
( wt ch wt  sh wt )
2 w3
p
2
22
sin wt   
23
coswt   

2
 p  a 2  w 2
 p  a 2  w2 2
19
21
 w2
1
 w2
1

2

2
 w2
w cos  p sin 
p 2  w2
p cos  w sin 
p 2  w2
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте и докажите формулу умножения изображений.
2. Что называется сверткой функций?
3. Запишите формулу Дюамеля.
4. В чем суть первой теоремы разложения?
5. Сформулируйте и докажите вторую теорему разложения.
6. В чем суть третьей теоремы разложения?
7. Запишите формулу Римана-Меллина?
8. Что называется обратным преобразованием Лапласа?
9. Как связаны между собой преобразование Лапласа и преобразование Фурье?
ЛИТЕРАТУРА
1. Вещественный и комплексный анализ: Учебное пособие: В 6 кн. / Э.И.Зверович. – Мн.:
БГУ, 2003.
2. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики: Учебное пособие для втузов. – М.:
Высшая математика, 1973.
3. Сидоров Ю.В., федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного: Учеб. Для вузов. – 3-е изд., испр. – М.:Наука, 1989.
4. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособ. для
вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
5. Зорич В.А Математический анализ. Ч.1 – М.: Наука, 1981.
6. Зорич В.А Математический анализ. Ч.2. – М.: Наука, 1984.
7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1985.
8. Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. – М.: Наука.,
1989.
9. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебн. пособие для вузов / Под ред.
Бутузова. – М.: Высш. шк., 1984.
10. Математический анализ: Справочное пособие. В 2 ч. Ч.1/ А.И.Герасимович, Н.А. Рысюк. –
Мн.: Выш.шк., 1989.
11. Математический анализ: Справочное пособие. В 2 ч. Ч.2/ А.И.Герасимович, Н.П. Кеда,
М.Б. Сугак. – Мн.: Выш.шк., 1990.
12. Никольский С.М. Курс математического анализа: В 2т. Т.1. – М.: Наука, 1990.
13. Никольский С.М. Курс математического анализа: В 2т. Т.2. – М.: Наука, 1991.
319