z5_otv

Задачи:
а) Сфера с центром в точке 𝑂 касается ребер пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝐴, 𝐵, 𝐾,
𝐿. Точки 𝐾, 𝐿 принадлежат ребрам 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 соответственно, точка 𝑂 принадлежит
основанию пирамиды. Докажите, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐾, 𝐿 принадлежат одной плоскости.
б) Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Докажите, что 𝐴𝐵𝐶𝐷
– трапеция.
в) 𝐴𝐵𝐶𝐷 – трапеция, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2√5, 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐷 = 2. Найдите: длину
диагонали трапеции, радиус описанной окружности, длину перпендикуляра, проведенного
из точки 𝐷 к прямой 𝐴𝐵.
г)
На сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежат точки 𝐾, 𝐿 соответственно,
𝐾𝐿 ∥ 𝐴𝐵, 𝐵𝐾 = 3. Найдите длину стороны 𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, 𝐾𝐿 = 1.
Проверка:
а) Сфера с центром в точке 𝑂 касается ребер пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝐴, 𝐵, 𝐾,
𝐿. Точки 𝐾, 𝐿 принадлежат ребрам 𝑆𝐶 и 𝑆𝐷 соответственно, точка 𝑂 принадлежит
основанию пирамиды. Докажите, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐾, 𝐿 принадлежат одной плоскости.
(Рисунок 2.13)
Рисунок 1
Решение:
𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 𝑆𝐾 = 𝑆𝐿 (как отрезки касательных)
∠𝑆𝐴𝑂 = ∠𝑆𝐵𝑂 = ∠𝑆𝐾𝑂 = ∠𝑆𝐿𝑂 = 90° (как углы между радиусом и касательной)
∆𝑆𝐴𝑂 = ∆𝑆𝐵𝑂 = ∆𝑆𝐾𝑂 = ∆𝑆𝐿𝑂 (по общей гипотенузе 𝑆𝑂 и равным 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐾, 𝑆𝐿)
В прямоугольном треугольнике 𝑆𝐴𝑂 построим высоту 𝐴𝐻, тогда отрезок 𝐵𝐻 будет
являться высотой в треугольнике 𝑆𝐵𝑂. Так как 𝑆𝑂 ⊥ 𝐴𝐻, 𝐴𝐻 ∈ (𝐴𝐻𝐵) и 𝑆𝑂 ⊥ 𝐵𝐻, 𝐵𝐻 ∈
(𝐴𝐻𝐵), то 𝑆𝑂 ⊥ (𝐴𝐻𝐵). Аналогично 𝑆𝑂 ⊥ (𝐾𝐻𝐿). 𝑆𝑂 ⊥ (𝐴𝐻𝐵), 𝑆𝑂 ⊥ (𝐾𝐻𝐿) и эти
плоскости проходят через точку 𝐻. Следовательно, они совпадают.
б) Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Докажите, что 𝐴𝐵𝐶𝐷
– трапеция. (Рисунок 2.14)
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
Рисунок Error! No text of specified style in document.
Решение:
По условию 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, тогда дуги, которые стягивают эти хорды, также равны. И
равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, то есть, ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐵. Эти углы
являются накрест лежащими при прямых 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 – секущая. Следовательно, 𝐵𝐶 ∥
𝐴𝐷. Значит, 𝐴𝐵𝐶𝐷 – равнобедренная трапеция (𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷).
в) 𝐴𝐵𝐶𝐷 – трапеция, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 2√5, 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐷 = 2. Найдите: длину
диагонали трапеции, радиус описанной окружности, длину перпендикуляра, проведенного
из точки 𝐷 к прямой 𝐴𝐵. (Рисунок 2.15)
𝐿
𝐴
𝐷
𝐻
𝐵
𝐶
𝑄
Рисунок 3
Решение:
Построим высоту 𝐴𝑄. Найдем 𝐵𝑄 =
𝐵𝐶−𝐴𝐷
2
=
6−2
2
= 2. Тогда 𝑄𝐶 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝑄 = 6 −
2 = 4.
Из прямоугольного треугольника 𝐴𝑄𝐵 катет 𝐴𝑄 = √𝐴𝐵 2 − 𝐵𝑄 2 = √20 − 4 = 4.
Из
прямоугольного
треугольника
𝐴𝑄𝐶
гипотенуза
𝐴𝐶 = √𝐴𝑄 2 + 𝑄𝐶 2 =
√16 + 16 = 4√2.
По теореме синусов найдем радиус 𝐻𝐴 окружности описанной около треугольника
𝐵𝐴𝐶, а значит, и около трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝐴𝐵
sin ∠𝐴𝐶𝐵
= 2 ∙ 𝐻𝐴, откуда найдем 𝐻𝐴 = √10.
Соединим точки 𝐻 и 𝐵. Треугольник 𝐴𝐻𝐵 – равнобедренный (𝐴𝐻 = 𝐻𝐵 как
радиусы), построим 𝐻𝐸 – медиану, высоту и биссектрису и из прямоугольного
треугольника 𝐻𝐸𝐴 найдем катет 𝐻𝐸 = √𝐻𝐴2 − 𝐸𝐴2 = √10 − 5 = √5.
Проведем перпендикуляр 𝐷𝐿 к стороне 𝐴𝐵, в треугольнике 𝐵𝐴𝐷 он является
высотой, опущенной на продолжение стороны. Найдем его длину методом площадей (𝐵𝑍
– высота к стороне 𝐴𝐷, 𝐵𝑍 = 𝐴𝑄 = 4):
1
1
𝐵𝑍 ∙ 𝐴𝐷 = 2 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐿,
2
𝐷𝐿 =
г)
𝐵𝑍∙𝐴𝐷
𝐴𝐵
4∙2
= 2√5 =
4√5
5
.
На сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежат точки 𝐾, 𝐿 соответственно,
𝐾𝐿 ∥ 𝐴𝐵, 𝐵𝐾 = 3. Найдите длину стороны 𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, 𝐾𝐿 = 1. (Рисунок 2.16)
𝐵
𝐾
𝐴
𝐿
𝐶
Рисунок 4
Решение:
∆𝐴𝐵𝐶 ∾ ∆𝐿𝐾𝐶 с коэффициентом подобия равным
𝐵𝐶
𝐵𝐶−𝐵𝐾
𝐵𝐶
= 4, отсюда 𝐵𝐶−3 = 4, 𝐵𝐶 = 4.
𝐴𝐵
𝐾𝐿
4
= 1 = 4. Следовательно,