Задачи: и отрезки касательных из точки к окружности с центром

Задачи:
а) 𝑆𝐴 и 𝑆𝐵 отрезки касательных из точки 𝑆 к окружности с центром 𝑂. Докажите
равенство треугольников 𝐴𝑆𝑂 и 𝐵𝑆𝑂.
б) Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝐿𝑀 вписаны в окружность. 𝐴𝐶 = 𝐾𝑀. Докажите
равенство углов 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝐿𝑀.
в) Доказать, что прямые 𝑎 и 𝑏 параллельны. (Рисунок 2.7)
a
120°
b
60°
Рисунок 1
г) 𝐴𝐻 – высота в равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 = 𝐵𝐶). Найдите длину
отрезка 𝐵𝐻, если 𝐴𝐷 = 2, 𝐵𝐶 = 6.
д) В прямоугольном треугольнике длины гипотенузы и катета соответственно
равны 5 и 2. Найдите длину другого катета.
е) В прямоугольном треугольнике длины катетов равны 3 и 2. Найдите длину
гипотенузы.
ж) Найдите радиус описанной окружности около ∆𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 6, ∠𝐶 = 30°.
з) 𝐴𝑀 и 𝐵𝐾 – высоты треугольника 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐶 = 6, 𝐵𝐶 = 7, 𝐴𝑀 = 5. Найдите
длину 𝐵𝐾.
и) На сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежат точки 𝐾 и 𝐿 соответственно.
𝐾𝐿 ∥ 𝐴𝐶, 𝐴𝐶 = 5, 𝐾𝐿 = 2, 𝐵𝐾 = 3, найдите длину 𝐵𝐶.
Проверка:
а) 𝑆𝐴 и 𝑆𝐵 отрезки касательных из точки 𝑆 к окружности с центром 𝑂. Докажите
равенство треугольников 𝐴𝑆𝑂 и 𝐵𝑆𝑂. (Рисунок 2.8)
Доказательство:
𝑆
𝐴
𝐵
𝑂
Рисунок 2
𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 (как отрезки касательных), 𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 (как радиусы), 𝑆𝑂 – общая сторона.
Следовательно, треугольники 𝐴𝑆𝑂 и 𝐵𝑆𝑂 равны по трем сторонам.
б) Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝐿𝑀 вписаны в окружность. 𝐴𝐶 = 𝐾𝑀. Докажите
равенство углов 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝐿𝑀. (Рисунок 2.9)
Доказательство:
𝐿
𝐵
𝐾
𝐶
𝑀
𝐴
Рисунок 3
По условию хорды 𝐴𝐶 = 𝐾𝑀, а значит равны и дуги 𝐴𝐶 и 𝐾𝑀. Следовательно,
углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐾𝐿𝑀 равны как вписанные, опирающиеся на равные дуги.
в) Доказать, что прямые 𝑎 и 𝑏 параллельны. (Рисунок 2.10)
a
120°
b
60°
Рисунок 4
Доказательство:
Угол смежный с углом, равным 60°, равен 180°-60°=120°. Прямые 𝑎 и 𝑏
параллельны, так как при пересечении их секущей соответственные углы равны.
г)
𝐴𝐻 – высота в равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 = 𝐵𝐶). Найдите длину
отрезка 𝐵𝐻, если 𝐴𝐷 = 2, 𝐵𝐶 = 6. (Рисунок 2.11)
Решение:
𝐴
𝐵
𝐷
𝐻
𝐶
Рисунок 5
𝐵𝐶 − 𝐴𝐷 6 − 2
=
= 2.
2
2
д) В прямоугольном треугольнике длины гипотенузы и катета соответственно
𝐵𝐻 =
равны 5 и 2. Найдите длину другого катета.
Решение:
Обозначим длину искомого катета 𝑎. По теореме Пифагора 𝑎2 + 22 = 52 . Откуда
𝑎 = √21.
а) В прямоугольном треугольнике длины катетов равны 3 и 2. Найдите длину
гипотенузы.
Решение:
Обозначим длину гипотенузы 𝑐. По теореме Пифагора 𝑐 2 = 22 + 32 . Откуда 𝑐 =
√13.
ж) Найдите радиус описанной окружности около ∆𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 6, ∠𝐶 = 30°.
Решение:
𝑎
𝑏
𝑐
𝐴𝐵
По теореме синусов sin 𝛼 = sin 𝛽 = sin 𝛾 = 2 ∙ 𝑅. Следовательно, 𝑅 = 2∙sin ∠𝐶 =
з)
6
2∙
1
2
= 6.
𝐴𝑀 и 𝐵𝐾 – высоты треугольника 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐶 = 6, 𝐵𝐶 = 7, 𝐴𝑀 = 5. Найдите
длину 𝐵𝐾.
Решение:
1
1
Воспользуемся методом площадей. 2 ∙ 𝐴𝑀 ∙ 𝐵𝐶 = 2 ∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐾. 𝐵𝐾 =
𝐴𝑀∙𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
5∙7
6
=
35
6
.
и) На сторонах 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 лежат точки 𝐾 и 𝐿 соответственно.
𝐾𝐿 ∥ 𝐴𝐶, 𝐴𝐶 = 5, 𝐾𝐿 = 2, 𝐵𝐾 = 3, найдите длину 𝐵𝐶. (Рисунок 2.12)
Решение:
𝐵
𝐾
𝐿
𝐴
𝐶
Рисунок 6
∆𝐴𝐵𝐶 ∾ ∆𝐿𝐵𝐾 с коэффициентом подобия равным
отсюда
𝐵𝐶
3
5
= 2, 𝐵𝐶 =
15
2
.
𝐴𝐶
𝐾𝐿
5
𝐵𝐶
2
𝐵𝐾
= . Следовательно,
5
= ,
2