Синус и косинус угла

Синус и косинус угла
Если рассмотреть прямоугольные треугольники с заданным углом, то
отношение противолежащего катета к гипотенузе будет постоянной величиной.
Эта величина называется синусом угла и равна sin 𝛼 =
𝐵𝐶
𝐴𝐵
.
Название «синус» происходит от латинского слова sinus – изгиб,
кривизна. Впервые этот слово появилось в XII веке при переводе арабских
текстов. Косинус – сокращение латинского выражения complementy sinus –
дополнительный синус.
Аналогично вводится понятие косинуса: cos 𝛼 =
𝐴𝐶
𝐴𝐵
.
Поскольку второй угол треугольника равен 90°–α, то sin(900 − 𝛼) =
cos 𝛼, cos (900 − 𝛼) = sin 𝛼.
Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса
с центром O в начале координат и произвольный угол α.
Окружность единичного радиуса с центром в начале координат
называется тригонометрической окружностью.
Из прямоугольного треугольника ОАВ (А=90о) имеем sin 𝛼 =
𝑂𝐵
𝐴𝐵
𝑂𝐴
,
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = . Поскольку ОА=1, то sin 𝛼 = 𝐴𝐵 = 𝑦𝛼 , cos 𝛼 = 𝑂𝐵 = 𝑥𝛼 , т.е. синус
𝑂𝐴
угла α равен ординате точки А, а косинус угла α – абсциссе точки А.
Синусом угла α называется ордината точки единичной окружности, т.е.
sin 𝛼 = 𝑦𝛼 .
Косинусом угла α называется абсцисса точки единичной окружности, т.е.
cos 𝛼 = 𝑥𝛼 .
Каждому углу α соответствует определенная точка на единичной
окружности с координатами 𝑥𝛼 и 𝑦𝛼 . Поэтому каждому углу α соответствуют
определенные значения sin 𝛼 = 𝑦𝛼 и cos 𝛼 = 𝑥𝛼 .
Поскольку координаты любой точки А(cosα, sinα) единичной окружности
удовлетворяют уравнению х2+у2=1, то при любом α будет верно равенство
cos2α+sin2α=1.
Отсюда cos 𝛼 = √1 − sin2 𝛼, sin 𝛼 = √1 − cos 2 𝛼.
Это
равенство
тождеством.
называется
основным
тригонометрическим
Поскольку точка лежит на единичной окружности, то ее ордината и
абсцисса лежит в промежутке от – 1 до 1. Значит, синус и косинус угла может
принимать только значения от – 1 до 1, т.е. - 1sinα1, - 1cosα1.
Таким образом, множеством значений синуса и косинуса является
промежуток [ - 1; 1].
Рассмотрим на единичной окружности углы α и – α:
Точки А и В симметричны относительно оси Ох, значит, ординаты этих
точек – противоположные числа, а абсциссы – равные числа, следовательно,
sin( - α)= - sinα, cos( - α)=cosα.
Нули синуса и косинуса
Ординаты, равные нулю, лежат на оси Ох и повторяются через . Т.е.
sinα=0 при α=n, nZ. Эти значения называют нулями синуса.
Абсциссы, равные нулю, лежат на оси Оу и также повторяются через .
𝜋
Т.е. cosα=0 при α= +n, nZ. Эти значения называются нулями косинуса.
2
Промежутки знакопостоянства
Знаки косинуса и синуса зависят от того, в какой четверти лежит угол.
Если угол α оканчивается в I или во II четверти, т.е. 0+2n<α<+2n, nZ,
то sinα>0. Если угол α оканчивается в III или в IV четверти, т.е.
+2n<α<2+2n, nZ, то sinα<0.
𝜋
𝜋
Если угол α оканчивается в I или в IV четверти, т.е. − +2n<α< +2n,
2
2
nZ, то cosα>0. Если угол α оканчивается во II или в III четверти, т.е.
𝜋
3𝜋
+2n<α< +2n, nZ, то cosα<0.
2
2
Примеры решения задач
Пример 1: Найдите значение выражения cos 00 ∙ sin 2700 −
Решение. cos 00 ∙ sin 2700 −
2 cos 1800
cos2 00
= 1 ∙ (−1) −
2∙(−1)
1
2 cos 1800
cos2 00
.
=1
Ответ: 1
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения cosx+5.
Решение. Поскольку наименьшим значением косинуса является число
( - 1), а наибольшим – 1, то наименьшим значением выражения cosx+5 будет
число 4, а наибольшим – 6.
Ответ: наименьшее 4, наибольшее 6
Пример 3. Чему равно наибольшее значение функции f(x)=|5sinx – 3| при
х( - ∞; +∞)?
Решение. Так как |sin x|1 при всех х, то f(x)=|5sinx – 3|5|sin
x|+| - 3|=5+3=8.
𝜋
𝜋
𝜋
2
2
2
С другой стороны при х=− получаем f(− )=|5sin(− ) – 3|=8.
Поэтому наибольшее значение функции равно 8.
Ответ: 8
Пример 4. Решить уравнение sinx=0.
Решение. Решить уравнение sinx=0 то же самое, что найти нули синуса.
Следовательно, х=n, nZ.
Ответ: х=n, nZ
Пример 5. Решить уравнение sin(x+3)=0.
Решение. Поскольку sin(x+3)=0, то х+3=n, nZ, откуда х=n - 3, nZ.
Ответ: n - 3, nZ.
Пример 6. Решить уравнение cos7х=0.
𝜋
𝜋
2
14 7
𝜋
Решение. 7х= +n, nZ. х= + n, nZ.
Ответ:
𝜋
𝜋
+ n, nZ
14 7
Упражнения
1. Найдите значение выражения:
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2
3
𝜋
𝜋
4
2
10) sin + cos
𝜋
2
3
𝜋
4) cos (− ) − sin(− )
3
2
7) cos(− ) − sin
𝜋
2) cos − sin
1) sin (− ) + cos(− )
6
4
𝜋
𝜋
𝜋
3
6
𝜋
4
3
𝜋
𝜋
4
3
6) cos + sin
5) sin (− ) − cos(− )
3
6
8) sin + cos
𝜋
3) cos + sin(− )
𝜋
𝜋
9) sin (− ) + cos(− )
4
2
2. Найдите значение выражения:
𝜋
𝜋
𝜋
1) 2sin (− ) − √2 cos (− ) + √3sin(− )
6
4
3
3) sin (−
5) cos (−
3𝜋
) − sin (−
4
3𝜋
) + sin (−
4
7) sin 𝜋 cos
9)
3𝜋
2
+
1
cos 2𝜋
3 sin 00
2
cos 180
sin(−900 )
−
0
5𝜋
) − cos(−
6
2𝜋
) + cos(−
3
+
5𝜋
6
)
2𝜋
3
2) cos300 - sin2600
4)
sin 1200 sin2 300
sin 1350 −cos 2400
6) cos00cos2700 –
)
1
8)
3𝜋
sin(− )
2
− cos 3600
2 cos(−1800 )
sin2 450
sin2 300
cos2 30
cos2 450
10)
+
0
sin 450
sin 300
cos 30
cos 450
+
0
cos 00
3. Определите знаки sinα и cosα для угла, равного:
1) 333о
6) −
371𝜋
40
2) – 297о
3) −
7) – 2,5
8)
𝜋
12
19𝜋
18
4. Определите истинность выражения:
4) 1585о
5) 3,5
9) – 250о
10)
𝜋
14
1) sin 𝛼 =
√5
3
5) sin 𝛼 = √3 − 2
9) sin 𝛼 = −
𝜋
2) sin 𝛼 = √11 − √29
3) cos 𝛼 =
6) cos 𝛼 = 1 − √2
7) cos 𝛼 =
𝜋
√5
3
3
4) sin 𝛼 = 2 −
√7
4
8) cos 𝛼 = √15 − √12
10) cos 𝛼 = −√12
2
5. При каких значениях t верно равенство:
1) sin 𝑡 = 1
2) cos 𝑡 = −1
3) sin 𝑡 = −1
6) cos 𝑡 = 0
7) sin 𝑡 = 0
8) cos 𝑡 = −
4) cos 𝑡 =
𝜋
𝜋
5) cos 𝑡 = 1
2
9) sin 𝑡 = 𝜋
2
10) sin 𝑡 = 2𝜋
6. Решите уравнение:
𝑡
1) cos 2𝑡 = 0
2) cos(10𝑡 + 4𝜋) = 0
3) sin = −1
4) cos(4 − 2𝑡) = 0
5) sin(6𝜋 − 3𝑡) = 0
6) sin 3𝑡 = 0
7) cos( − 1) = 0 8) cos 3 = −1
9) sin(6𝑡 − 5) = 0
10) sin( + 2) = 0
4
𝑡
𝑡
2
𝑡
4
7. Сравните с нулем:
1) sin1276o
6) sin(−
31𝜋
16
2) cos
)
133𝜋
3) cos2078o
8
4) sin3,14
7) sin( - 3461o) 8) cos(− 25𝜋)
5) sin
18𝜋
13
9) cos( - 3065o) 10) cos4,7
13
8. Определите знак выражения:
1) cos(𝜋 + 2)
6) cos (
3𝜋
2
𝜋
2) sin ( + 2)
2
+ 2) 7) sin (𝜋 + 1)
3) sin(𝜋 − 2)
8) cos (
3𝜋
2
4) cos(−𝜋 + 2)
− 2) 9) cos(𝜋 − 1)
5) sin (
3𝜋
2
− 1)
10) sin(−𝜋 − 2)
8. Определите знак выражения:
1) cos( - 1250o)sin( - 3390o)
31𝜋
4) cos
4
sin1564o
7) sin10cos16cos21
10)
15𝜋
2) cos
4
sin(−
21𝜋
16
)
5) cos( - 5431o)sin( - 679o)
81𝜋
8) cos
4
81𝜋
sin
4
3) sin345osin( - 7654o)
6)
cos 4,1 sin(−5,9)
cos 3,5
9) sin11cos22sin33
sin 4 cos 5
sin(−2)
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
5) − cos 2 𝛼 − 8
1
1) 5 sin 𝛼
2) −| − cos 𝛼 |
3) − cos 𝛼 + 2
4)
6) sin2 𝛼 − 1
7) −7 cos 𝛼
8) | sin 𝛼|
9) 3 + sin 𝛼
4+sin 𝛼
10)
1
5−cos 𝛼
10. В какой четверти лежит угол, если:
1) sinα>0, cosα>0
2) sinα=|sinα|
3) sinα>0, cosα<0
4) sinαcosα=0
5) sinαcosα<0
6) sinαcosα>0
7) sinα<0, cosα<0
8) |cosα|=cosα
9) sinα<0, cosα>0
10) sinα=0, cosα<0
Дополнительные задания
1. Найдите sinα, если:
𝜋
1) cosα=0,8 и 0<α<
2) cosα= - 0,6 и <α<
2
1
2
1
3𝜋
3
2
7) cosα=− и <α<
3
3𝜋
5
2
10) cosα=− и <α<
3𝜋
6
2
1
π
2
2
1
𝜋
2
2
3) cosα= и <α<
2
5
5) cosα= − и <α<
4) cosα= и −π<α<0
3𝜋
2
3𝜋
5
2
6) cosα= и <α<
8) cosα=− и <α<𝜋
3
3𝜋
5
2
9) cosα= и
<α<2
2. Найдите cosα, если:
𝜋
1) sinα=0,6 и 0<α<
2) sinα= - 0,8 и
2
4)
5) sinα=
5
13
7)
3𝜋
2
<α<2
𝜋
и <α<
2
8)
10) sinα= -
7
25
и
3𝜋
2
3)
1
𝜋
4
2
6) sinα= и <α<
√3
2
9) sinα=
и 0<α<
<α<2
3. Определите знак разности:
1) sin 230 − sin 360
4) cos
7) cos
𝜋
11
3𝜋
7
10) cos
− sin
𝜋
11
− cos
5𝜋
6
3𝜋
11
− cos
5𝜋
7
4. Решите задачу:
𝜋
𝜋
2) cos 2120 − cos 2130
3) sin
5) cos 370 − cos 180
6) sin 3100 − sin 3470
8) sin
2𝜋
3
− cos
3𝜋
4
12
− sin
18
𝜋
2𝜋
9
9
9) cos − cos
𝜋
2
1) C вершины холма, находящегося на левом берегу реки, этот берег виден под
углом 32,1о к горизонтальному направлению, а правый берег – по углом 25,4о.
Определите высоту холма и расстояние от вершины холма до берега реки, если
ширина реки равна 121 м.
2) Маяк был виден с корабля в направлении, образующем угол 26 о с
направлением на юг (к западу). После того как корабль проплыл 3,8 км в
направлении, образующем с направлением на юг 85о (к западу, направление на
мак образует с направлением на юг угол 28о (к востоку). Определите
расстояние от корабля до маяка в начале и в конце его пути.
3) На параллели, имеющей широту х взяты точки, разность долгот которых
равна у. Найдите длину дуги параллели между этими точками, если радиус
сферы равен R.
4) Найдите направление и величину равнодействующей двух сил,
приложенных к точке А, если одна из них равна 8 Н, вторая – 5 Н и угол
между ними равен 75о.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Найдите значение выражения:
1)
2)
4)
5) 4√2 cos cos
𝜋
7𝜋
4
3
7) 4√2 cos cos
3)
𝜋
9𝜋
3
4
6)
𝜋
𝜋
4
3
8) 10√6 cos(− ) sin(− )
𝜋
𝜋
6
6
10) 42√3 cos(− ) cos(− )
𝜋
7𝜋
6
4
9) 46√6 cos cos
Синус и косинус угла
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите значение
выражения
sin30o
cos45o
2. Найдите значение
выражения
cos
3. Найдите значение
выражения
sin
𝜋
4
sin
2𝜋
3
cos
𝜋
6
5𝜋
6
4. Найдите значение
выражения
sin30o+cos45o
cos60o–sin30o
5. Найдите значение
выражения
𝜋
𝜋
2 sin (− ) − √2 cos(− )
6
4
𝜋
𝜋
√2 sin + cos(− )
4
6
6. Найдите значение
выражения
7. Сравните с нулем
8. Сравните с нулем
sin
3𝜋
3𝜋
+ cos
4
4
sin 1276O
sin(−
31𝜋
)
16
sin
5𝜋
5𝜋
− cos
6
6
cos 2078O
cos(−
25𝜋
)
13
9. Решите уравнение
cos2t=0
sin = −1
10. Решите уравнение
cos(10t+88)=1
sin(6 - 3t)=1
𝑡
4