Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ивановская государственная текстильная академия»
(ИГТА)
Кафедра высшей математики и статистики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
НА ОСЕННИЙ СЕМЕСТР
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАО 1 КУРСА
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 080200 (МЕНЕДЖМЕНТ)
2011г
Вариант №1
1. Даны матрицы
1
А=(
2
1 2
0 −1
5 3
) , В = (1 0) , С = (
)
3 −2
−1 4
3 1
Найти АВ-2С.
2. Решить систему методом Крамера
х1 + 2х2 + 3х3 = 2
{ х1 − х2 + х3 = 0
х1 + 3х2 − х3 = −2
3. Найти единичный вектор а̅ , коллинеарный вектору 𝑏̅ = (0; 8; 6) и
образующий с осью OZ тупой угол.
4. Одна из сторон квадрата лежит на прямой х-3у+1=0, а одна из вершин
находится в точке (3,0). Найдите уравнения остальных сторон квадрата.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
1−2х
х→∞ 3х−2
√1+х−√1−х
3х
х→0
, б) lim
1
6. Задана функция f(x)=92−𝑥 и два значения аргумента х1 = 0 и х2 = 2.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=2√4х + 3 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
3
√х3 +х+1
, б) у=(е𝑐𝑜𝑠 х + 3)2
8. Возрастает или убывает функция у=(х-5)ех в точках х=0 и х=5 ?
Вариант №2
1. Даны матрицы
0
А = (3
1
1 0
−2 0) ,
0 0
−5
0
1
В=
1 −1 0
(11 −10 00)
1 0 1
Найти АТ ВТ + 2Е
2. Решить систему методом Крамера
7х1 + 5х2 + х3 = 4
{2х1 + 3х3 = 8
8х1 − х2 + х3 = 11
3. Даны
вершины
четырехугольника
А(2,1,-1),
В(0,-2,1),
С(3,3,2),
D(6,2,-3). Найти угол между диагоналями АС и ВD.
4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
В(2,-1), а также уравнения высоты 3х-4у+27=0 и биссектрисы
х+2у-5=0, проведенных из различных вершин.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
х→∞
х3 +1
2х3 +1
√2+х−3
х→7 х−7
, б) lim
6. Задана функция f(x)=4
1
3−𝑥
и два значения аргумента х1 = 1 и х2 = 3.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
𝑑𝑦
𝑑𝑥
а) у=х2 √1 − х2 , б) у=
данных функций
4 𝑠𝑖𝑛 х
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
8. Найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции у=
1
1+х2
.
Вариант №3
1. Даны матрицы
0
А = (3
1
1
2 3
0
2 4) ,
2 −1 0
В=
2
( 13
0
1 0
5
1 4) , С = (
3
2 −1
4
5 3
−1 0
2 0)
1 0
Найти ВА+С.
2. Решить систему методом Крамера
х1 + х2 + х3 = 6
{ 4х1 − х2 + х3 = 5
6х1 + х2 − 3х3 = −1
3. Вектор а̅ составляет с осью ОХ угол 𝛼 = 60° , а с осью OZ угол 𝛾 =
120° . Найти его координаты, если длина вектора равна 6.
4. Даны уравнения сторон тре6угольника: х-у+2=0 (АВ), х=2 (ВС),
х+у−2=0 (АС). Составить уравнение прямой, проходящей через
вершину В и через точку на стороне АС, делящую ее (считать от
вершины А) в отношении 1:3.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
2х3 +х2 −5
х→∞ х3 +х−2
х−√х
х→1 х2 −х
, б) lim
6. Задана функция f(x)=12
1⁄
х
и два значения аргумента х1 = 0 и х2 = 2.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=х√
1+х2
1−х
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
√х3 +х+1
данных функций
, б) у=
1
tg2 2x
3
8. Выпукла или вогнута кривая у= √х + 2 в точках х1 = −3 и х2 = 0 ?
Вариант №4
1. Даны матрицы
2
0
1 −1
−2 3 0
1
А=(
), В=(
)
1 1 2 −1
−1
2
1
3
Найти АВ − 3Е
2. Решить систему методом Крамера
х1 + 4х2 + 3х3 = 1
{2х1 + 5х2 + 4х3 = 4
х1 − 3х2 − 2х3 = 5
3. Найти
орт
с̅ = 2а̅ − 𝑏̅,
вектора
если
𝑎̅ = 2𝑖̅ + 4𝑗̅ − 𝑘̅,
𝑏̅ = −3𝑖̅ + 3𝑗̅ − 2𝑘̅.
4. Составить уравнения сторон квадрата,
диагонали которого служат
осями координат. Длина стороны квадрата равна а.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
3х4 +х2 −6
, б) lim
4
х→∞ 2х −х+2
х
х→0 √1+3х−1
6. Задана функция f(x)=3
1
4−𝑥
и два значения аргумента х1 = 2 и х2 = 4.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=
3+6х
√3−4х+5х2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
, б) у=𝑠𝑖𝑛 х ∙ х ∙ 𝑐𝑜𝑠 х
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции
у=
х3
х2 +12
.
Вариант №5
1. Даны матрицы
1
А = (3
2
−3 2
0 1
2 5 6
−4 1) , В = (1 2 5) , С = (2 3
−5 3
4 1
1 3 2
−1
0)
−2
Найти В ∙ АТ + 3С
2. Решить систему методом Крамера
х1 + 3х2 + 2х3 = −9
{ х1 − 4х3 = −9
2х1 + 9х2 + 7х3 = −21
3. Векторы 𝑎̅ и 𝑏̅ образуют угол 𝜑 = 120°, при чем |а̅ | = 3, |𝑏̅| = 5.
Определите |а̅ + 𝑏̅| и |а̅ − 𝑏̅|.
4. Даны уравнения сторон треугольника АВС: 3х+2у-8=0 (АВ), 4х-у-7=0
(АС), 10х-3у+41=0 (ВС). Составить уравнения высот треугольника
АВС.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
6х−5+2х2
2
х→∞ 5х −х−1
1−√1−х2
, б) lim
х2
х→0
6. Задана функция f(x)=8
1
5−𝑥
и два значения аргумента х1 = 3 и х2 5.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=
х
√а2 −х
, б) у=
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
sin2 x
2+3cos2 x
х2 −6х+13
8. Найти экстремум функции у=
х−3
.
Вариант №6
1. Найти значение матричного многочлена Р(Х), если Р(х) = х2 + 3х − 1 и
3
Х=( 2
−1
−4 1
1 6)
0 5
2. Решить систему методом Крамера
х1 − 2х2 + х3 = −2
{ 2х1 + х2 − 3х3 = 11
3х1 + 2х2 + 2х3 = 17
3. Векторы 𝑎̅ = 𝑖̅ − 4𝑗̅ + 3𝑘̅ и 𝑏̅ = 2𝑖̅ + 𝑗̅ + 2𝑘̅ совпадают со сторонами
параллелограмма. Найти векторы, совпадающие с его диагоналями, а
также их длины.
4. Даны вершина треугольника А(3,9) и уравнения медиан у-6=0,
3х-4у+9=0. Найти координаты двух других вершин.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
х→∞
3+х+5х4
√1+3х−√1−2х
х+х2
х→0
, б) lim
х4 −12х+1
1
6. Задана функция f(x)=107−𝑥 и два значения аргумента х1 = 5 и х2 = 7.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж .
7. Найти производные
а) у=
1
√х2 +1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
5
+ 5√х3 + 1 , б) у=2𝑡𝑔3 (x 2 + 1)
8. Найти экстремум функции у=
𝑥
.
х2 +1
Вариант №7
1. Даны матрицы
5 2−3 −3
−7 − 2 4
2
А = (1 1 1 1) , В = (
) , С = (3 0 − 1 1)
−1 2
1 1
2 −2 −3 4
Найти А ∙ ВТ + С
2. Решить систему методом Крамера
2х1 − 4х2 + 3х3 = 1
{ х1 − 2х2 + 4х3 = 3
3х1 − х2 + 5х3 = 2
3. Коллинеарны ли векторы с̅1 = 2а̅ + 4𝑏̅ и 𝑐̅2 = 3𝑏̅ − 𝑎̅, построенные по
векторам 𝑎̅ = 𝑖̅ − 2𝑗̅ + 3𝑘̅ и 𝑏̅ = 3𝑖̅ − 𝑘̅ ?
4. Составить уравнения трех сторон квадрата, если четвертой стороной
является отрезок прямой х+4у+6=0, концы которого лежат на осях
координат.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
х−2х2 +5х4
2
х→∞ 2+3х +х4
, б) lim
√1+3х2 −1
х→0
х2 +х3
1
6. Задана функция f(x)=146−х и два значения аргумента х1 = 4 и х2 = 6.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=√
1+х2
1−х2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
1
, б) у= 𝑡𝑔2 𝑥 + ln cos х
2
1
8. Исследовать на наличие точек перегиба функцию у= ∙ х4 − 2х3 + 1.
4
Вариант №8
1. Найти значение матричного многочлена Р(Х), если Р(х) = х3 − 3 и
1
Х=(
3
−2
)
−4
2. Решить систему методом Крамера
2х1 − х2 + х3 = 2
{3х1 + 2х2 + 2х3 = −2
х1 − 2х2 + х3 = 1
3. Найти орт направления а̅ + 2𝑏̅, если 𝑎̅ = 3𝑖̅ − 5𝑗̅ + 𝑘̅, 𝑏̅ = −2𝑖̅ + 𝑗̅ + 2𝑘̅.
4. Найти координаты точки, симметричной точке (4,-3) относительно
прямой 4х+3у+12=0.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
х→∞
5х2 −3х+1
3х2 +х−5
√3х−1−√5
х−3
х→3
, б) lim
1
6. Задана функция f(x)=158−х и два значения аргумента х1 = 6 и х2 = 8.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
5
а) у=3√х5 + 5х4 − , б) у=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑡𝑔2 х)
х
8. Выпукла или вогнута кривая у=2е−х в точке х=0 ?
Вариант №9
1. Даны матрицы
−2 3
А=(
1 1
2
0
1
), В=( 1
−1
2 −1
1
0
−1) , С = ( 2
2
−3
3
1
)
0
Найти А ∙ В + СТ
2. Решить систему методом Крамера
х1 + 2х2 + 3х3 = 5
{2х1 − х2 − х3 = 1
х1 + 3х2 + 4х3 = 6
3. Коллинеарны ли векторы с̅1 = 2а̅ + 4𝑏̅ и 𝑐̅2 = 3𝑏̅ − 𝑎̅, построенные по
векторам 𝑎̅ = 𝑖̅ − 2𝑗̅ + 3𝑘̅ и 𝑏̅ = 3𝑖̅ − 𝑘̅ ?
4. Через точку пересечения прямых х+2у-3=0 и 3х-у-2=0 провести
прямую, перпендикулярную прямой 2х+5у-14=0.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
7х4 −2х3 +2
х→∞
3+х4
√1+3х−√2х+6
х2 −5х
х→5
, б) lim
1
6. Задана функция f(x)=114+х и два значения аргумента х1 = −4и х2 = −2.
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
а) у=2х ∙ е−х , б) у=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
arcsin x
√1−x2
8. Исследовать на экстремум функцию у=
6х
1+х2
.
Вариант №10
1. Найти значение матричного многочлена Р(Х), если Р(х)=3х2 − 2х + 5 и
1
Х = (2
3
−2 3
−4 1)
−5 2
2. Решить систему методом Крамера
2х1 + х2 = 5
{х1 + 3х3 = 16
5х2 − х3 = 10
3. Дан вектор с̅ = 16𝑖̅ − 15𝑗̅ + 12𝑘̅. Определить вектор 𝑑̅, если он
параллелен с̅, противоположен ему по направлению и |𝑑̅ | = 50.
4. Составить уравнение сторон треугольника, если А(-3,3) и В(5,-1)- его
вершины, а М(4,3)- точка пересечения высот.
5. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя
а) lim
х→∞
8х5 −3х2 +9
2х5 +2х2 +5
, б) lim
х−2
х→2 √2х−2
1
6. Задана функция f(x)=135+х и два значения аргумента х1 = −5 и х2 = −3
Требуется:
а) установить,
является
ли
данная
функция
непрерывной
или
разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случаи разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и
справа;
в) сделать схематический чертеж.
7. Найти производные
𝑑𝑦
𝑑𝑥
данных функций
1
3−x
3
x−2
а) у= 𝑡𝑔3 х − 𝑡𝑔𝑥 + 𝑥 , б) у=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√
1
8. Выпукла или вогнута кривая у=2-3х- х3 в точках х=-2 и х=1 ?
3