Задачи по геометрии (2 часть) для подготовки к ГИА

Задачи по геометрии (2 часть) для подготовки к ГИА
1. В выпуклом четырехугольнике АВСД длины диагоналей равны 12и 7. Найдите
площадь четырехугольника, если длина отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон четырехугольника равны.
2. В выпуклом четырехугольнике АВСД длины отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника, если его
диагонали 9 и 6.
3. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 6, отрезок,
соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
4. В прямоугольной трапеции АВСД биссектрисы углов при меньшем основании
пересекаются в точке, лежащей на большем основании. Большая боковая сторона
образует с основанием угол в 30°. Найдите длину большего основания, если
меньшая боковая сторона равна 9.
5. Найдите площадь трапеции, боковые стороны которой равны 8 и 6, а основания 14
и 4.
6. Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности, лежит на пересечении
биссектрис треугольника.
7. Основания трапеции равны 20 и 60, боковые стороны 13 и 37. Вычислите высоту
трапеции.
8. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а
диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
9. Площадь равнобедренной трапеции описанной около окружности, равна 18, а
углы при основании равны 30° , Найдите длину боковой стороны.
10.В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно
равна 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
11.Докажите , что острый угол между хордой окружности и касательной к
окружности в конце хорды, равен половине угла между радиусами, проведенными
к концам хорды.
12.На продолжении стороны АС треугольника АВС (за точку С) взята точка Р
(СР=АС). В каком отношении прямая РК делит сторону ВС (К- середина АВ)?
13.В треугольнике АВС биссектриса угла С, равна 5√3, образует со сторонами углы в
30° и делит противоположную сторону в отношении 5:2. Найдите сторону ВС.
14.Докажите, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
15.Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.
16.Периметр равнобедренного треугольника АВС(АВ=ВС) равен 50, а периметр
∆АВД (ВД- высота) равен 40. Найдите высоту ВД.
17.В окружность вписан прямоугольник, одна из сторон которого стягивает дугу в
120° . найдите стороны прямоугольника, если радиус окружности равен 5.
18.В равнобедренной трапеции средняя линия равна 9, а площадь трапеции равна 54.
Найдите основания трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой
стороне.
19.Трапеция с основаниями 6 и 8 вписана в окружность, причем расстояние от центра
окружности до большего основания равно3. Найдите высоту трапеции.
20.В параллелограмме АВСД биссектрисы при сторонах АВ и СД пересекаются
точках К и L соответственно, КL= АВ. Известно, что АД>СД. Найдите, во сколько
раз АД больше СД.
21.Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности больше
радиуса окружности, вписанной в этот шести угольник, на 1. Найдите сторону
данного шестиугольника.
22.В ромб вписана окружность радиусом 5. Расстояние между точками касания этой
окружности с двумя соседними сторонами равно 6. Найдите сторону ромба.
23.В трапеции основания равны 9 и 15, а боковые стороны 2√3 и 2√6, при этом оба
угла при большем основании – острые. Продолжения серединных
перпендикуляров к боковым сторонам пересекаются в точке Р. Определите
расстояние от точки Р до большего основания.
24.В прямоугольной трапеции АВСД с прямым углами А и В, биссектрисы прямых
углов пересекаются в точке К, биссектрисы двух других углов– в точке L.
Основания трапеции равны 3 и 9, длина КL составляет 2. Найдите боковые
стороны трапеции, если известно, что их сумма меньше 9.
25.Основание ВС трапеции АВСД больше основания АД. В трапецию вписана
окружность, касающаяся стороны АВ в точке К так, что АК= 3√3, КВ= √3. Угол,
образованный прямыми АВ и СД и содержащий центр окружности, равен30°.
Найдите длину стороны СД.
26.Основание АВ трапеции АВСД больше основания СД. В трапецию вписана
окружность, касающаяся стороны АД в точке К так, что АК=4КД. Косинус угла,
образованный прямыми АД и ВС и содержащий центр окружности, равен 0,8.
Найдите отношение ВС : КД.
27. В трапеции АВСД боковая сторона СД равна 14, а расстояние от середины
боковой стороны АВ до прямой СД равно 5. Найдите площадь трапеции.
28.В трапеции АВСД расстояние от вершины А до прямой, содержащей боковую
сторону СД, равно 9. Найдите расстояние от середины боковой стороны АВ до
прямой СД, если АД : ВС= 3 : 4.
29.Биссектриса угла С параллелограмма АВСД пересекает сторону АД в точке М.
Докажите, что треугольник СДМ – равнобедренный.
30.Докажите , что биссектриса любого из внешних углов при вершине
равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Самостоятельная работа по теме «Соотношения между сторонами и углами в
прямоугольном треугольнике», 8 класс
Вариант 1
1)
В треугольнике АВС угол C равен 90° , угол А равен 30° , ВС = 2√3.
Найдите : АС и АВ.
2)
В треугольнике АВС угол C равен 90° , СН – высота, АС = 10, АН = 8. Найдите: сos B,
sin A, ВС.
3)
В треугольнике АВС АС= ВС =10 , АВ = 12, СН – высота. Найти sin A.
4)
В треугольнике АВС АB = ВС ,СН – высота, равная 8, АН = 16 ( угол АВС тупой).
Найдите тангенс угла АСВ и площадь треугольника АВС.
5)
В треугольнике АВС АС= ВС , АВ = 10, высота АН , ВН = 6. Найти sinA.
6)
Найти площадь ромба, сторона которого равна 2√3 , а острый угол равен 30°.
Вариант 2
1)
В треугольнике АВС угол C равен 90° , угол А равен 45° , ВС = 2√2. Найдите : АС и
площадь треугольника АВС .
2)
В треугольнике АВС угол C равен 90° , ВС = 9, tg A = 0,75. Найдите: сos B, sin A, AС.
3)
В треугольнике АВС АС= ВС, АВ = 10, АН = 8, AH – высота. Найти sin A.
4)
В треугольнике АВС АВ = ВС ,СН – высота, АB = 10, BH = 6 ( угол АВС тупой).
Найдите синус угла ВАС и угол ВАС.
5)
В треугольнике АВС АС= ВС , АВ =2√3, угол С равен 120°. Найти АС.
6)
Найти площадь ромба, сторона которого равна √3 , а острый угол равен 60°.
Самостоятельная работа по теме « Теорема синусов» для 9 класса
Вариант 1
1. В треугольнике АВС АС = 0, 59см, угол А равен 40° , угол С равен
35°. Вычислите ВС и ВА.
2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √2 ,
угол при основании равен 30° , АД – биссектриса угла. Найдите АД.
3. В треугольнике АВС угол С прямой , угол А равен 15° , СД биссектриса. Найдите АД , если АС = √3
.
Вариант 2
1. В треугольнике АВС АС = 0, 75см , угол А равен 40° , угол С равен
20°. Вычислите ВС и ВА.
2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √3 ,
угол при основании равен 30° , АД – биссектриса угла. Найдите АД.
3. В треугольнике АВС угол С прямой , угол А равен 15° , СД биссектриса. Найдите АД , если АС = √6
.
Вариант 3
1. В треугольнике АВС АС = 0, 59см, угол А равен 35° , угол С равен
40°. Вычислите ВС и ВА.
2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √6 ,
угол при основании равен 30° , АД – биссектриса угла. Найдите АД.
3. В треугольнике АВС угол С прямой , угол А равен 15° , СД биссектриса. Найдите АД , если АС = 2 √2
.
Вариант 4
1. В треугольнике АВС АС = 0, 6см, угол А равен 40° , угол С равен
30°. Вычислите ВС и ВА.
2. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна 2√3 ,
угол при основании равен 30° , АД – биссектриса угла. Найдите АД.
3. В треугольнике АВС угол С прямой , угол А равен 15° , СД биссектриса. Найдите АД , если АС = 3 √2
.
Самостоятельная по теме «Касательная к окружности»
Вариант1
1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5см в точке А.
Найдите ОВ, если АВ = 12см.
2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8см проведены две
касательные АВ и АС (В и С – точки касания). Найдите АВ и ВС, если угол
ВАС равен 60°.
3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом8см проведены две
касательные АМ и ВМ (А и В-точки касания). Найдите периметр треугольника
АВМ. Если угол АОВ равен 120°.
Вариант 2
4. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 15см в точке В.
Найдите АВ, если АО = 17см.
5. Из точки М к окружности с центром О проведены две касательные МА и
МВ (Аи В – точки касания). Найдите АМ и ВМ, если угол АМВ равен 90°и ОМ
=10см.
6. Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные АВ и АС
(В и С - точки касания). Найдите периметр треугольника АВС, если угол ВОС
равен 60° и ОА = 12см.
Тест по геометрии 9 класс «Метод координат»
Вариант 1
1. В какой четверти находится точка А(-7;6) ?
2. Даны точки: С(5;-1) и В(3;4).
а)найдите координаты вектора АВ и ВА.
б) найдите координаты середина отрезка АВ.
в) найдите длину вектора АВ.
г) постройте вектор АВ в прямоугольной системе координат.
3. Какие уравнения задают прямую, а какие окружность?
а) 2х – 3у +5 =0.
б) х+2 = 0.
в) у2 +х2 = 0.
г) у + х2 = 0.
д) х – 5у +9 = 0.
е) (у – 6)2 + х2 = 10.
в) у2 +х2 = 13.
4. Какой прямой из задания 3 принадлежит точка С (2;3)? .
Какой окружности из задания 3 принадлежит точка Д(2;3)?
(покажите это)
5. Запишите уравнение окружности с центром в точке М (-4;1)и радиусом 5.
Постройте ее в прямоугольной системе координат.
Часть 2 (вариант 1)
1. Расстояние между точками А(-2;4) и В(-4;5) будет равно _______________
2. С(-5;-9), К(6;7). Тогда координаты точки Р середины отрезка СК будут равны
_____________________________________________
3. Уравнением прямой , проходящей через точку А(-4; 5) и параллельной оси абсцисс,
будет____________
4. Окружность с центром в точке Д(0, -9) и радиусом 4 задается уравнением
_________________________________________________
5.Уравнением прямой, проходящей через точки А(-4;- 2) и В(4;2), будут ___________
6. Даны векторы а⃗{−4; −3} и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
в{2; 6}. Тогда координаты вектора с = 3а⃗ −
1
2
⃗ будут
в
равны_________
7. Разложить полученный вектор по единичным векторам i и j.
8. Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(0;8), В(-6;0),
С(2;-6), Д(8;2) является квадратом.
Вариант 2
1. В какой четверти находится точка А(2;-4) ?
2. Даны точки А(2;-3) и В(-1;2).
а)найдите координаты вектора АВ и ВА.
б) найдите координаты середина отрезка АВ.
в) найдите длину вектора АВ.
г) постройте вектор АВ в прямоугольной системе координат.
3. Какие уравнения задают прямую, а какие окружность?
а) 3х – 3у - 5 =0.
б) х+7 = 0.
в) (у-9)2 +х2 = 0.
г) у - х2 = 0.
д) 2х – 5у - 21 = 0.
е) (у – 6)2 + (х-6)2 = 10.
в) у2 + (х-5)2 = 18.
4. Какой прямой из задания 3 принадлежит точка С (-2;-5)? .
Какой окружности из задания 3 принадлежит точка Д(2;3)?
(покажите это)
5. Запишите уравнение окружности с центром в точке М (4;3)и радиусом 2.
Постройте ее в прямоугольной системе координат.
Часть 2 (вариант 2)
1. Расстояние между точками А(2;6) и В(4;8) будет равно _______________
2.C (5;9), К(1;7). Тогда координаты точки Р середины отрезка СК будут равны
_____________________________________________
3. Уравнением прямой , проходящей через точку А(-4; 5) и параллельной оси ординат,
будет
4. Окружность с центром в точке Д(8, -9) и радиусом 7 задается уравнением
_________________________________________________
5.Уравнением прямой, проходящей через точки А(-4; 1) и В(0;2), будут ___________
6. Даны векторы а⃗{4; −3} и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
в{−2; 6}. Тогда координаты вектора с = −3а⃗ +
1
2
⃗ будут
в
равны_________
7. Разложить полученный вектор по единичным векторам i и j.
8. Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(1;6), В(4;2),
1), Д(-3;3) является ромбом. Будет ли ромб АВСД квадратом?
С(0;-