Акперов

Дистанционная олимпиада по физике 11 класс (3 тур)
1.Игрушечный танк массы m начинает перемещаться с одного конца
доски массы М, первоначально покоящейся на горизонтальной
поверхности стола, на другой ее конец. Если поверхность стола идеально
гладкая, то после перемещения танка на правый край доски он
смещается на расстояние S1 относительно стола. На какое
максимальное расстояние S2 относительно стола он сможет
переместиться при наличии трения между доской и поверхностью
стола? Танк все время остается на доске и движется только вперед.
Считать, что двигатель танка может развивать любую мощность,
гусеницы ни при каких условиях не проскальзывают, и он способен
мгновенно останавливаться на доске.
Решение:
Так как поверхность стола гладкая, то центр масс системы останется неподвижен. Пусть L – путь танка по доске, Sо – смещение доски относительно
стола, тогда S1m  S0 M ; S1  L  S0 . Откуда: L  S1
M m
.
M
При наличии трения между доской и поверхностью стола танк должен ехать
по доске с ускорением атах,, при котором доска еще не движется, а на конце
доски резко остановиться, чтобы проехать дополнительное расстояние
вместе с доской. В этом случае:
amax 
( Fтр ) max
m
 g
M m
,
m
где  —
коэффициент трения между доской и поверхностью стола.
Перед резким торможением на конце доски танк будет иметь скорость
v  2amax L  2 gL
M m
m
Согласно закону сохранения импульса сразу после торможения доска и игрушка начнут совместное скольжение по поверхности с начальной скоростью
u
По
S
mv
m
 2 gL
.
M m
M m
закону
сохранения
энергии
они
остановятся,
пройдя
путь
2
u
m

L.
2 g M  m
Таким образом, S 2  L  S  S1 1 

2m 
.
M 
Заметно, что результат не зависит от коэффициента трения. Но при  = 0 танк
пройдет путь S1S2.
Ответ: S 2  L  S  S1 1 

2m 
.
M 
2. В открытой прямоугольной коробке сидит кузнечик,
который умеет прыгать со скоростью V0  3 м/с под
любым углом к горизонту. На какой минимальный угол
нужно наклонить коробку, чтобы кузнечик мог из нее
выпрыгнуть? Считать, что каждая грань коробки
является квадратом со стороной h  52 см. Ускорение
свободного падения g  10 м/с2. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
Решение:
Произвольно подпишем координатные оси х и у на рисунок.
В момент времени tn преодоления кузнечиком края коробки проекция его
скорости на ось у должна быть равна нулю, а координата y = h, и запишем
следующие уравнении:
V0 y  a ytп  0 ,
V0 ytп 
a ytп2
2
h,
где ay = −gcosα и voy − проекция векторов ускорения и начальной скорости
кузнечика на ось Y. Отсюда
h
V02y
2 g cos
При фиксированных значениях угла α и начальной скорости vo
максимальная высота над дном коробки достигается при voy = vo, то есть
кузнечику следует прыгать перпендикулярно дну коробки. При этом
cos 
V02y
 0,87 ,   arccos
V02y
 30o .
2 gh
2 gh
Вдоль оси X за время tn сместиться на расстояние
axtп2
l
2
где ax = gsinα. Отсюда
V02 sin 
l
 30 см
2 g cos 2 
Таким образом, размеры дна коробки достаточно велики, чтобы кузнечик
мог стартовать на нужном удалении от стенок.
3.Цикл тепловой машины состоит из двух изобар и двух изотерм, при
этом работа при изобарическом расширении такая же, как и при
изотермическом. Найдите КПД такого цикла, если рабочим веществом
является гелий, а максимальная температура в процессе вдвое больше
минимальной.
Решение. Цикл представлен на pV-диаграмме: 1-2 и
3-4 – изобары, 2-3 и 4-1 – изотермы. КПД цикла равен
отношению совершенной в цикле работы к полученному
на участке 1-2-3 количеству теплоты.
Рассчитаем работу на различных участках цикла.
Обозначим работу на участке 1-2 через A12  A ; тогда для работы на участке
имеем A23  A . Для расчета работы на участке 3-4 учтем, что в силу условия
задачи
V3 
T2  T3  Tmax ,
T1  T4  Tmin ,
T3  2T4 ,
p1  p2 ,
p3  p4 . Поэтому
T3
T
V4  2V4 , V2  2 V1  2V1 , p1V1  p4V4 ; отсюда
T4
T1
A34   p4 V3  V4    p4V4   p1V1   p1 V2  V1    A .
Для расчета работы на участке 4-1 заметим, что кривая 1-4 получается
из кривой 2-3 сжатием в два раза вдоль оси V , поэтому площади под
A
кривыми 1-4 и 2-3 отличаются в два раза: A41   . Суммарная работа в
2
цикле, таким образом, равна
A  A12  A23  A34  A41  A  A  A 
A A
 .
2 2
Рассчитаем полученные газом количества теплоты на участках 1-2 и 2-3.
Сообщаемое газу количество теплоты идет на изменение его внутренней
3
энергии, которая для одноатомного гелия равна
pV , и на совершение
2
3
5
работы: Q12  p1 V2  V1   p1 V2  V1   A , Q23  A . Суммарное количество
2
2
5
7
теплоты, полученное на участке 1-2-3, равно Q123  Q12  Q23  A  A  A .
2
2
Следовательно, КПД цикла равен  
A 1
  14% .
Q123 7
Ответ: 𝜼 =14%
4. Резисторы, сопротивлениями R1  10 Ом,
R2  20 Ом, R3  40 и R4  80 Ом припаяны к
клеммам A, B, C, D и E так, как показано на
рисунке. Имеется источник тока с ЭДС E  12
В и внутренним сопротивлением r  5 Ом, а
также много соединительных проводов малого сопротивления, которые
можно подключать к источнику и к любой из клемм. Как нужно
соединить источник и резисторы, чтобы общая тепловая мощность,
выделяющаяся на резисторах, была максимальной? Чему равна эта
мощность?
Решение.
Искомая тепловая мощность N max максимальна, когда сопротивление
нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника r  5 Ом. Это
достигается с наибольшей точностью при параллельном соединении всех
резисторов, так что их общее сопротивление R 
N max 
E2R
R  r
2
16
Ом  5,33 Ом, а
3
 7,19 Вт.
5.Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью v A  20
м/с, начинает ее преследовать. Разгоняясь равноускоренно, он за  1  4 с
развивает скорость vG  30 м/с, с которой бежит в течение  2  10 с.
Затем, почувствовав перегрев своего тела, гепард прекращает
преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и
при разгоне. На каком максимальном расстоянии S max должны
находиться друг от друга в начальный момент эти животные, чтобы
гепард мог полакомиться свежепойманной антилопой?
Замечание. Вследствие отсутствия потовых желез на теле и
плохого отвода теплоты через шкуру гепард не может развивать
максимальную скорость (примерно 110 км/ч) в течение длительного
времени без опасного для его организма перегрева.
Решение.
Поместим начало системы координат в точку старта гепарда, а координатную
ось направим вдоль прямой, по которой движутся животные. На рисунке
изображены графики зависимости координат и скоростей гепарда и антилопы
от времени. Из рисунка x  x  t  видно, что гепард догонит антилопу, если
расстояние между животными в момент начала погони не превышает S max . В
свою очередь, S max находится из условия, что в тот момент, когда гепард
догоняет антилопу, одновременно с равенством координат достигается и
равенство их скоростей (если в этот момент гепард не схватит антилопу, то в
следующем он будет отставать).
Из рисунка v  v  t  видно, что время движения животных до момента,
когда их скорости сравняются, равно
T  1   2   1    ,
при этом входящий в это время промежуток времени  может быть найден из
отношения
vG v A
 ,
1 
которое следует из условия подобия треугольников на графиках v  v  t  .
Отсюда
vA
.
vG
Пути, пройденные гепардом и антилопой за время T , равны:
1
SG  vG  1   2   vA , S A  vA  21   2    .
2
Начальное расстояние между гепардом и антилопой равно разности их
путей:
Smax  SG  S A .
  1
Ответ: Smax
1 vA2
 vG  1   2   vA  2 1   2  
1  86,7 м.
2 vG
6.Небольшой
брусок
массой
несущий
m,
q , удерживают на
положительный заряд
наклонной плоскости, образующей угол  с
горизонталью. Система находится в однородном
магнитном поле с индукцией B , направленной
перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Брусок отпускают без
начальной скорости. Чему равна максимальная скорость бруска vmax , если
коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью  ?
Ускорение свободного падения g .
Решение.
Брусок движется под действием сил, изображенных на рисунке, где mg
- сила тяжести, N - нормальная составляющая силы реакции поверхности,
Fmp - сила трения, FL - сила Лоренца.
При этом
Fmp   N ,
FL  qvB ,
где v - скорость бруска. Записывая уравнение движения в проекциях на
направление наклонной плоскости и на перпендикулярное ей направление,
имеем:
ma  mg sin    N ,
N  mg cos  qvB .
С увеличение скорости бруска сила трения возрастает, что приводит к
уменьшению ускорения. При достижении максимальной скорости ускорение
бруска обращается в нуль. Полагая a  0 , получаем ответ:
mg
vmax 
 sin    cos  .
 qB
mg
Ответ: vmax 
 sin    cos  .
 qB
7.Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 19,6 м
на две одинаковые части. Через секунду после взрыва одна часть падает
на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии S2
от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на
расстоянии
S1 = 1000 м от места выстрела? Силу сопротивления
воздуха при решении задачи не учитывать.
Решение.
Падение одной половины снаряда под местом разрыва показывает, что
весь импульс, который имел снаряд в верхней точке, передан второй
половине снаряда. Падение за 1с с высоты в 19,6 м говорит о том, что
падающая часть получила при разрыве начальную скорость υ0 вниз,
следовательно, и вторая половина получила такой же импульс вверх.
Поэтому вторая часть снаряда после разрыва имеет начальную скорость 2
υгор в горизонтальном направлении (где
υгор
есть горизонтальная
составляющая скорости снаряда при выстреле) и υ0 в вертикальном
g 2
направлении. Скорость υ0 определяется из равенства h   0  
, где τ
2
– время падения первого осколка. Горизонтальная составляющая скорости
gt 2
g
υгор определится из равенства S1 = υгор t и h 
: υгор = S1
.
2h
2
Расстояние до места падения второго осколка от места разрыва по
горизонтальному направлению можно определить по
описывающим полет снаряда в безвоздушном пространстве:
формулам,
2



h

2
h
h

S 2  S1  2 гор 
 

  .
g  g  2  
g  2


Заменяя υгор на S1
g
, получаем ответ:
2h
2



2h  h    
 2g  h 
S 2  S1 
 
 
   1 .
h
g

2
g
g

2  




 
Ответ: S2 = 5000 м.
8.Тело лежит на гладкой горизонтальной поверхности. К нему привязана
легкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок очень малого
радиуса. Блок подвешен на высоте h = 1 м над поверхностью. К другому
концу нити приложили постоянную горизонтальную силу Т.
Первоначально тело покоится, и нить образует с вертикалью угол α =
60о. Определить скорость тела в момент отрыва груза от поверхности,
если известно, что ускорение груза в начальный момент а = 15 м/с2.
Массой блока и трением пренебречь
Решение.
Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальное направление
ma = T sin α
Отсюда находим T 
ma
.
sin 
При отрыве нить будет составлять с вертикалью угол β , определяемый из
условия равенства нулю силы N давления тела на пол. Из второго закона
Ньютона в проекции на вертикальную ось:
0 = T cos β + N – mg , при N = 0
найдем cos 
mg g
 sin  .
T
a
Горизонтальный участок нити переместится на расстояние Δ l , равное
h
h
уменьшению длины ее наклонного участка:  l 
,

cos  cos
и сила T совершит работу
1  mah  1
a 
 1
A  Tl  Th



,

 cos  cos  sin   cos  g sin  
которая пойдет на приращение кинетической энергии груза. Из условия
m 2
A
2
Отсюда найдем  
2ah  1
a 


 = 3 м/с.
sin   cos  g sin  
Ответ: v=3 м/с
12.Объём 12 моль азота в сосуде при температуре 300 К и давлении 105
Па равен V1. Каков объём 1 моля азота при таком же давлении и вдвое
большей температуре?
Решение:
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона pV  RT
Отсюда V1 
V2 
 1 RT1
p1
 2 RT2
p2
По условию задачи p2 = p1
T2 = 2T1
2 
1
Получаем V2  12
1
 R  2T1
Вычисления: V2 
p1
12

1  1 RT1
6 p1
12  8,31  300
 0,049 м 3
5
6  10
Проверка размерности V  
моль 
Дж
К
Нм
моль  К

 м3
Н
Па
м2
Ответ: V2=0.049 м3
10.Длина цилиндрического медного провода в 10 раз больше, чем длина
алюминиевого, а их массы одинаковы. Найдите отношение
сопротивлений этих проводников.
Дано:
ρп1=8900кг/м3
ρп2=2700кг/м3
ρу1=1,7*10^-8 Ом*м
ρу2=2,8*10^-8 Ом*м
Найти: R1/R2 - ?
Решение:
m=ρп*V=ρп*S*L
R=ρу*L/S
ρп- плотность
ρу- сопротивление удельное
Умножим левые и правые части равенств
m*R=ρп*S*L*ρу*L/S
m*R=ρп*L*ρу*L
R=ρп*L2*ρу*L/m
R1=ρп1*L12*ρу1/m
R2=ρп2*L22*ρу2/m делим R1 на R2
R1/R2=(ρп1*(L12 *ρу1/m) : (ρп2*L22*ρу2/m)
R1/R2=(ρп1*L12*ρу1) / (ρп2*L22*ρу2)
по условию L1=10*L2
R1/R2=(ρп1*(10*L22*ρу1) / (ρп2*L22*ρу2)
R1/R2=(ρп1*100*ρу1) / (ρп2*ρу2)
Вычисления:
R1/R2=(8900*100*1,7*10-8) / (2700*2,8*10-8) =200
Oтвет: R1/R2=200